2023年平面解析几何初步-知识点总结归纳.pdf

学习必备 精品知识点 平面解析几何初步 一、直线的概念与方程 1.直线的倾斜角：在直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l，把 x 轴（正方向）按_方向绕着交点旋转到_所成的角，叫做直线 l 的倾斜角。当直线 l 和 x 轴平行时，它的倾斜角为 0O.倾斜角通常用 表示，倾斜角 的范围是 1800 2.直线的斜率：倾斜角的_值叫做直线的斜率。通常用字母 k 来表示，即k=_.当k=时,直线平行于x轴或者与x轴重合;当k 0 时,直线的倾斜角为锐角;当k 0 时,直线的倾斜角为 ;当倾斜角=90o时，直线的斜率_.3.直线的斜率公式：直线上两点 A(1x,1y),B(2x,2y),当1x=2x时,直线的斜率 ,当1x2x时,直线的斜率为2121tanyykxx 4.直线方程的五种表达形式及适用条件 5.几种特殊的直线方程（1）过点),(baP垂直于x轴的直线的方程为：过点),(baP垂直于y轴的直线的方程为 （2）已知直线的纵截距为b，可设其方程为：（3）过原点且斜率为k的直线的方程为 6两条直线的位置关系：（1）直线平行的条件：两条不重合的直线21ll、，根据两条直线平行的定义及性质可知1l/212l,再由k与的关系可知:21/ll时 或者21kk、均 ；反之21kk 或者21kk、均不存在时两条直线平行。注：考查两条直线平行时，应首先考虑斜率是否存在。（2）直线垂直的条件：两条直线21ll、的倾斜角为21,则两条直线21ll 90|21.根据两条直线的斜率判断两条直线垂直的情况分为两类,一是:其中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 ;二是:两条直线的斜率都存在,且乘积为 .（3）方程 直线111:lyk xb,直线222:lyk xb，直线0:1111CyBxAl 直线0:2222CyBxAl,关 系 重合 bbkk2121且 0012211221CBCBBABA 平行 1212,kk bb 0012211221CBCBBABA或0012211221CACABABA 垂直 121k k 12120AAB B 相交 kk21 01221BABA 7.直线的交角：直线1l到2l的角（方向角）；直线1l到2l的角，是指直线1l绕交点依逆时针方向旋转到与2l重合时所转动的角，它的范围是),0(，当90时21121tankkkk.两条相交直线1l与2l的夹角：两条相交直线1l与2l的夹角，是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围是2,0，当90，则有21121tankkkk.名称 方程 说明 适用条件 斜截式 y=kx+b k斜率 b纵截距 倾斜角为 90 的直线不能用此式 点斜式 y-y0=k(x-x0)(x0，y0)直线上已知点，k 斜率 倾斜角为 90 的直线不能用此式 两点式 121yyyy=121xxxx(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点 与两坐标轴平行的直线不能用此式 截距式 xa+yb=1 a直线的横截距 b直线的纵截距 过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式 一般式 0CByAx)0(22 BA A、B 不能同时为零 学习必备 精品知识点 8.距离公式（1）两点间的距离公式：平面内任意两点1P),(11yx,2P),(22yx之间的距离为 21221221yyxxPP（2）点到直线的距离公式：设点),(00yxP，直线PCByAxl,0:到l的距离为d，则有2200BACByAxd.(3)两条平行线间的距离公式：设两条平行直线11:0,lAxByC)(0:2122CCCByAxl，它们之间的距离为d，则有2221BACCd.9.直线系 在点斜式方程 y-y0=k(x-x0)中，当（x0，y0）确定，k变化时，该方程表示过定点（x0，y0）的旋转直线系，当 k确定，(x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系.已知直线 l：0AxByC 则方程0AxBy(0)，是参变量，表示与 l 平行的直线系；方程0BxAy,是参变量，表示与 l 垂直的直线系。过两直线0:0:22221111CyBxAlCyBxAl的交点的直线系方程为(0)(222111CyBxACyBxA为参数，0222CyBxA不包括在内）二、圆的方程 1.圆的方程的几种表达形式（1）圆的标准方程：222)()(rbyax，其中点),(baC为圆心，r为半径.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx.注：特殊圆的方程：与x轴相切的圆方程222)()(bbyax ),(),(,bababr或圆心 与y轴相切的圆方程222)()(abyax ),(),(,babaar或圆心 与x轴y轴都相切的圆方程222)()(aayax ),(,aaar圆心（2）圆的一般方程：022FEyDxyx.当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr.当0422FED时，方程表示一个点2,2ED.当0422FED时，方程无图形（称虚圆）.（3）圆的参数方程：sincosrbyrax（为参数）.（4）圆的直径式方程：1212()()()()0 x xx xyyyy,其中 1122(,),(,)A xyB xy是圆的一条直径的两个端点.（用向量可推导）2.用待定系数法求圆的方程王新敞：（1）根据提议，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组；（3）解出 a、b、r 或 D、E、F，代入标准方程或一般方程。三、点、线、圆的位置关系 1.点和圆的位置关系：给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.M在圆C内22020)()(rbyax M在圆C上22020)()rbyax（M在圆C外22020)()(rbyax 2.直线与圆的位置关系 代数法：直线l：)0(022BACByAx，圆C：022FEyDxyx联立得方程组 2200AxByCxyDxEyF 消元一元二次方程24bac 000 相交相切相离（2）几何法：设圆C：)0()()(222rrbyax；直线l：0CByAx；倾斜角的范围是直线的斜率倾斜角的值叫做直线的斜率通常用字母来表的斜率为直线方程的五种表达形式及适用条件几种特殊的直线方程过点行的定义直线平行的条件两条不重合的直线再由与的关系可知及性质可学习必备 精品知识点 圆心),(baC到直线l的距离22BACBbAad，则drdrdr 相离相切相交 注：若圆 C 的半径为 R，AB 是长度为 L 的弦，弦心距为 d，则_.3.直线与圆相切的问题（1）.求过圆上的一点00(,)xy圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为1k,由点斜式方程可求得切线方程;（2）.求过圆外一点00(,)xy圆的切线方程:(几何方法)设切线方程为00()yyxxk即00-0 x yxykk,然后由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,切线方程即可求出.(代数方法)设切线方程为00()yyxxk,即00yxxykk代入圆方程得一个关于x的一元二次方程,由0,求得k,切线方程即可求出.注：以上方法只能求存在斜率的切线,斜率不存在的切线,可结合图形求得.过圆222xyr上一点00(,)P xy的切线方程为200 xxyyr.4.圆和圆的位置关系：（1）设两圆圆心分别为 O1、O2，半径分别为 r1，r2，21OO为圆心距，则两圆位置关系如下：2121rrOO2两圆外离；2121rrOO两圆外切；|21rr2121rrOO两圆相交；|2121rrOO两圆内切；|2121rrOO两圆内含。（2）设两圆221111:0CxyD xE yF,222222:0CxyD xE yF，若两圆相交，则其公共弦方程为 0)()()(212121FFyEExDD（3）过两圆221111:0CxyD xE yF,222222:0CxyD xE yF 的交点的圆系方程为：（不包含圆2C）四、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系：（1）如图，,OBCDD AB C是单位正方体.以 A为原点，分别以 OD,OA,OB 的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y 轴.z 轴。这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz.1）A叫做坐标原点 2）x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴.3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。（2）.右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为 x 轴正方向，食指指向为 y 轴正向，中指指向则为 z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。（3）.有序实数组 1）空间一点 M 的坐标可以用有序实数组(,)x y z来表示，有序实数组(,)x y z叫做点 M在此空间直角坐标系中的坐标，记作(,)M x y z（x 叫做点 M的横坐标，y 叫做点 M的纵坐标，z 叫做点 M的竖坐标）。（4）点),(cbaP关于x轴的对称点的坐标为 点),(cbaP关于y轴的对称点的坐标为 点),(cbaP关于z轴的对称点的坐标为 点),(cbaP关于xOy平面的对称点的坐标为 点),(cbaP关于xOz平面的对称点的坐标为 点),(cbaP关于yOz平面的对称点的坐标为 点),(cbaP关于原点的对称点的坐标为 2.空间两点间的距离公式 空间中任意一点),(1111zyxP到点),(2222zyxP之间的距离公式 22122122121)()()(zzyyxxPP 特殊的，点zyxA,到原点的距离为 OA 倾斜角的范围是直线的斜率倾斜角的值叫做直线的斜率通常用字母来表的斜率为直线方程的五种表达形式及适用条件几种特殊的直线方程过点行的定义直线平行的条件两条不重合的直线再由与的关系可知及性质可