数学高考圆锥曲线压轴题经典实用.pdf

高考数学压轴题圆锥曲线解题技巧一、常规七大题型：一、常规七大题型：（1 1）中点弦问题）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(x1,y1)，(x2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。x2y2如：（1）221(a b 0)与直线相交于 A、B，设弦 AB 中点ab为 M(x0,y0)，则有x0y0k 0。a2b2x2y2（2）221(a 0,b 0)与直线 l 相交于 A、B，设弦 ABab中点为 M(x0,y0)则有2x0y0k 0a2b2（3）y=2px（p0）与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.y2典型例题典型例题给定双曲线x 1。过 A（2，1）的直线22与双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点 P 的轨迹方程。（2 2）焦点三角形问题）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点 P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。x2y2典型例题典型例题设 P(x,y)为椭圆22 1上任一点，F1(c,0)，abF2(c,0)为焦点，PF1F2，PF2F1。（1）求证离心率e sin()；sinsin（2）求|PF1|3PF2|3的最值。（3 3）直线与圆锥曲线位置关系问题）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题典型例题抛物线方程y2 p(x 1)(p 0)，直线x y t与x轴的交点在抛物线准线的右边。（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为 A、B，且 OAOB，求 p关于 t 的函数 f(t)的表达式。（4 4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题）圆锥曲线的相关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。（1），可以设法得到关于 a 的不等式，通过解不等式求出 a的范围，即：“求范围，找不等式求范围，找不等式”。或者将 a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出 a 的范围；对于（2）首先要把NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想最值问题，函数思想”。最值问题的处理思路：最值问题的处理思路：1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求 x、y 的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例题典型例题已知抛物线 y=2px(p0)，过M（a,0）且斜率为 1 的直线 L与抛物线交于不同的两点 A、B，|AB|2p2（1）求 a 的取值范围；（2）若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求NAB 面积的最大值。（5 5）求曲线的方程问题）求曲线的方程问题1 1 曲线的形状已知曲线的形状已知-这类问题一般可用待定系数法解这类问题一般可用待定系数法解决。决。典型例题典型例题已知直线 L 过原点，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上。若点 A（-1，0）和点 B（0，8）关于 L 的对称点都在 C 上，求直线 L 和抛物线 C 的方程。2 2曲线的形状未知曲线的形状未知-求轨迹方程求轨迹方程典型例题典型例题M已知直角坐标平面上点 Q（2，0）和圆 C：x2+y2=1,动点 M 到圆 C 的NOQ切线长与|MQ|的比等于常数（0）,求动点 M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。（6 6）存在两点关于直线对称问题存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）x2y2典型例题典型例题已知椭圆 C 的方程 1，试确定 m 的取值43范围，使得对于直线y 4x m，椭圆 C 上有不同两点关于直线对称（7 7）两线段垂直问题）两线段垂直问题圆 锥 曲 线 两 焦 半 径 互 相 垂 直 问 题，常 用k1k2y1y2 1来处理或用向量的坐标运算来处理。x1x2典型例题典型例题已知直线l的斜率为k，且过点P(2,0)，抛物线。C:y2 4(x 1)，直线l与抛物线 C 有两个不同的交点（如图）（1）求k的取值范围；（2）直线l的倾斜角为何值时，A、B 与抛物线 C 的焦点连线互相垂直。四、解题的技巧方面：四、解题的技巧方面：在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：（1 1）充分利用几何图形）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。典型例题典型例题设直线3x 4y m 0与圆x2 y2 x 2y 0相交于 P、Q 两点，O 为坐标原点，若OPOQ，求m的值。（2 2）充分利用韦达定理及“设而不求”的策略充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题典型例题已知中心在原点 O，焦点在y轴上的椭圆与直线y x 1相交于 P、Q 两点，且OPOQ，|PQ|10，求此椭圆2方程。（3 3）充分利用曲线系方程充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典典 型型 例例 题题求 经 过 两 已 知 圆C1：x2 y2 4x 2y 0和C2：x2 y2 2y 4 0 的交点，2x 4y 1 0上且圆心在直线l：的圆的方程。（4 4）充分利用椭圆的参数方程）充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题这也是我们常说的三角代换法。x2y2典型例题典型例题P 为椭圆221上一动点，A 为长轴的右端ab点，B 为短轴的上端点，求四边形 OAPB 面积的最大值及此时点 P 的坐标。（5 5）线段长的几种简便计算方法）线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直 线 方 程y kx b代 入 圆 锥 曲 线 方 程 中，得 到 型 如ax2bx c 0的方程，方程的两根设为xA，xB，判别式为，则|AB|1 k2|xA xB|1 k2配方、开方等运算过程。，若直接用结论，能减少|a|例求直线x y 1 0被椭圆x2 4y2 16所截得的线段AB 的长。结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。x2y2例F1、F2是椭圆 1的两个焦点，AB 是经过F1的259弦，若|AB|8，求值|F2A|F2B|利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例点 A（3，2）为定点，点 F 是抛物线y2 4x的焦点，点 P 在抛物线y2 4x上移动，若|PA|PF|取得最小值，求点 P的坐标。圆锥曲线解题方法技巧归纳圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：第一、知识储备：1.直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率k tan,0,)点 到 直 线 的 距 离d tank2k11k2k1Ax0 By0CA B22 夹 角 公 式：（3）弦长公式直 线y kxb上 两 点A(x1,y1),B(x2,y2)间 的 距 离：AB 1k2x1 x2(1k2)(x1 x2)24x1x2或AB 11y1 y22k（4）两条直线的位置关系l1l2 k1k2=-1l1/l2 k1 k2且b1 b22 2、圆锥曲线方程及性质、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）x2y2标准方程：1(m 0,n 0且m n)mn距离式方程：(xc)2 y2(xc)2 y2 2a参数方程：x acos,y bsin(2)、双曲线的方程的形式有两种x2y2标准方程：1(mn 0)mn距离式方程：|(xc)2 y2(xc)2 y2|2a(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？2b22b22p椭圆：；双曲线：；抛物线：aa(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？x2y2如：已知F1、F2是椭圆1的两个焦点，平面内一个动43点 M 满足MF1 MF2 2则动点 M 的轨迹是（）A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：P在椭圆上时，SF PF b2tan122P在双曲线上时，SF PF b2cot122（其中|PF1|2|PF2|24c2F1PF2,cos,PF1PF2|PF1|PF2|cos|PF1|PF2|）(6)、记住焦半径公式：（1）椭圆焦点在x轴上时为aex0;焦点在y轴上，可简记为“左加右减，上加下减”。（2）双曲线焦点在x轴上时为e|x0|a（3）抛物线焦点在x轴上时为|x1|,焦点在y轴上时为|y1|(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）设Ax1,y1x2y2、Bx2,y2，Ma,b为椭圆1的弦AB中点43p2p2则有x x2xx1yy11，221；两式相减得144433222222y21 y232 0 x1 x2x1 x2 y1 y2y1 y243kAB=3a4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式 0，以及根与系数 的 关 系，代 入 弦 长 公 式，设 曲 线 上 的 两 点A(x1,y1),B(x2,y2)，将这两点代入曲线方程得到12 两个式子，然后1-2，整体消元 ，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点 A、B、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y kxb，就意味着 k 存在。例 1、已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆4x25y2 80上，且点 A 是椭圆短轴的一个端点（点 A 在 y 轴正半轴上）.（1）若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC 的方程;（2）若角 A 为900，AD 垂直 BC 于 D，试求点 D 的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC 的斜率，从而写出直线 BC 的方程。第二问抓住角 A 为900可得出 ABAC，从而得x1x2 y1y214(y1 y2)16 0，然后利用联立消元法及交轨法求出点 D 的轨迹方程；解：（1）设 B（x1,y1）,C(x2,y2),BC 中点为(x0,y0),F(2,0)22x12y12x2y2则有1,120162016两式作差有(1)(x1 x2)(x1 x2)(y1 y2)(y1 y2)02016x0y0k 054F(2,0)为三角形重心，所以由x1 x2 2，得x0 3，由3y1 y2 46 0得y0 2，代入（1）得k 53直线 BC 的方程为6x 5y 28 02)由 ABAC 得x1x2 y1y214(y1 y2)16 0（2）设 直 线BC方 程 为y kx b,代入4x25y2 80，得(45k2)x210bkx 5b280 05b28010kbx1 x2，x1x245k245k28k4b280k2y1 y2,y1y2代入（2）式得2245k45k9b232b 164b 4(舍)0b ，解得或945k2直线过定点（0，)，设 D（x,y），则9y29x232y 16 049y 49y 4 1，即xx所 以 所 求 点x2(y D的 轨 迹 方 程 是16220)()2(y 4)。994 4、设而不求法例 2、如图，已知梯形ABCD 中AB 2CD，点E 分有向线段AC所成的比为，双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点当23时，求双曲线离心率e的取值范围。34分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问c题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，若设 C,h，代入2x2y21a2b2，求 得h，进 而 求 得xE,yE,再 代 入x2y221，建立目标函数f(a,b,c,)0，整理f(e,)0，此运2ab算量可见是难上加难.我们对h可采取设而不求的解题策略,建立目标函数f(a,b,c,)0，整理f(e,)0,化繁为简.解法一：如图，以 AB 为垂直平分线为y轴，直线 AB 为x轴，建立直角坐标系xOy，则 CDy轴因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知 C、D 关于y轴对称c依题意，记 Ac,0，C,h，Ex0,y0，2其中c 1|AB|为双曲线的半焦距，h是梯2形的高，由定比分点坐标公式得cc22cx0121y0，h1x2y2设双曲线的方程为221，则离心率e caaba由点 C、E 在双曲线上，将点 C、E 的坐标和e c代入双曲线方程得e2h221，4be22 h221411 bh2e2由式得21，4b将式代入式，整理得e24412，4故123e 1由题设23得，21233343e 24解得7 e 10所以双曲线的离心率的取值范围为7,10分析：考虑AE,AC为焦半径,可用焦半径公式,AE,AC用E,C的横坐标表示，回避h的计算,达到设而不求的解题策略解法二：建系同解法一，AE aexE,AC aexC，cc2cAE2xE，又，代入整理123，121e 1AC1由题设23得，2134333e224解得7 e 10所以双曲线的离心率的取值范围为5 5、判别式法、判别式法例例 3 3 已知双曲线C:y7,10斜率为k，2,0，x2直线l过点A1，222当0 k 1时，双曲线的上支上有且仅有一点 B 到直线l的距离为2，试求k的值及此时点 B 的坐标。分析 1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与l平行的直线，必与双曲线 C 相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 0.由此出发，可设计如下解题思路：l:y k(x 2)0 k 12直线 l在 l 的上方且到直线 l 的距离为l:y kx 2k2 2 2k解得k的值解题过程略.分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点 B 到直线l的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：关于x的方程问题kx2 x22kk 1求解220 k 1有唯一转化为一元二次方程根的问题简解：设点M(x,2 x2)为双曲线 C 上支上任一点，则点M到直线l的距离为：kx2 x22kk 1220 k 1于是，问题即可转化为如上关于x的方程.由于0 k 1，所以2 x2 x kx，从而有kx2 x22k kx2 x22k.于是关于x的方程 kx 2 x22k 2(k21)2 x22(2(k21)2k kx)2,22(k 1)2k kx 0k21 x2 2k2(k21)2k x 2(k21)2k2 0,222(k 1)2k kx 0.由0 k 1可知：方 程k 1x 2k2(k 1)2k x 2(k 1)2k 2 022222 的二根同正，故2(k21)2k kx 0恒成立，于是等价于k21 x 2k2(k 1)2k x 22 2(k21)2k 2 0.2由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式 0，就可解得k 2 5.5点评点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.例例 4 4 已知椭圆 C:x2 2y2 8和点 P（4，1），过 P 作直线交APAQ椭圆于 A、B 两点，在线段 AB 上取点 Q，使，求动 PBQB点 Q 的轨迹所在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点Q(x,y)的变化是由直线 AB 的变化引起的，自然可选择直线 AB 的斜率k作为参数，如何将x,y与k联系起来？一方面利用点 Q 在直线 AB 上；另一方面就是运用题目条件：APAQ 来转化.由 A、B、P、Q 四点共线，不难得到PBQBx 4(xA xB)2xAxB8(xA xB)，要建立x与k的关系，只需将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.将直线方程代入椭圆方程，消去 y，利用韦达定理APPB AQQBx 4(xA xB)2xAxB8(xA xB)x fk利用点 Q 满足直线 AB 的方程：y=k(x4)+1，消去参数点 Q 的轨迹方程在得到x fk之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于x,y的方程（不含k），则可由y k(x 4)1解得k y 1，直接代入x fk即可得到轨迹方x 4程。从而简化消去参的过程。简解：设Ax1,y1,B(x2，y2),Q(x,y)，则由4 x1x x1，x24x2 xAPAQ PBQB可得：解之得：x 4(x1 x2)2x1x2（1）8(x1 x2)设直线 AB 的方程为：y k(x 4)1，代入椭圆 C 的方程，消去y得出关于 x 的一元二次方程：2k21 x2 4k(1 4k)x 2(1 4k)28 0（2）4k(4k 1)x x,122k212x x 2(14k)8.122k21代(3)入（1），化简得：x 4k 3.k 2与y k(x 4)1联立，消去k得：2x y 4(x 4)0.在（2）中，由 64k264k 24 0，解得2410 k 2 104，结合（3）可求得16 2910 x 16 2 10.9故 知 点（16 2910 x Q的 轨 迹 方 程 为：2x y 4 0）.16 2 109点评：点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.6 6、求根公式法、求根公式法例例 5 5 设直线l过点B 两点，试求x2y2P（0，3），和椭圆 1顺次交于94A、AP的取值范围.PBPB分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP=xA，但从xB此后却一筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.APx分析分析 1:1:从第一条想法入手，=A已经是一个关系PBxB式，但由于有两个变量xA,xB，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第 3 个变量直线AB的斜率k.问题就转化为如何将xA,xB转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.把直线 l 的方程 y=kx+3 代入椭圆方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程求根公式xA=f（k），xB=g（k）AP/PB=（xA/xB）得到所求量关于 k 的函数关系式由判别式得出 k 的取值范围所求量的取值范围简解简解 1 1：当直线l垂直于 x 轴时，可求得AP1;PB5当l与 x 轴不垂直时，设Ax1,y1,B(x2，y2)，直线l的方程为：y kx3，代入椭圆方程，消去y得9k2 4x254kx 45 0解之得x1,227k 6 9k25.9k2 4因为椭圆关于 y 轴对称，点 P 在 y轴上，所以只需考虑k 0的情形.当k 0时，x127k 62所x19k 2 9k2518kAP18=1=122PBx29k 2 9k 59k 2 9k 59 2 959k259k 4，x2 27k 629k259k 4，以.k2由 (54k)21809k2 4 0,解得k2，所以11综上1189 2 95k2 1，559AP1.PB5分析分析 2:2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于xAP 1不是关于x1,x2的对PBx2称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于x1,x2的对称关系式.韦达定理把直线 l 的方程 y=kx+3 代入椭圆方程，消去 y得到关于 x 的一元二次方程xA+xB=f（k），xA xB=g（k）AP/PB=（xA/xB）构造所求量与 k 的关系式由判别式得出 k 的取值范围关于所求量的不等式简解简解 2 2：设直线l的方程为：y kx3，代入椭圆方程，消去y得9k则2 4 x254kx 45 0（*）54kx x,219k2 4x x 45.129k2 4令x1k2，则，1 2 324.x245k2 2059在（*）中，由判别式 0,可得k2，136324k236从而有4 2，所以4 2 545k 205，解得 5.结合0 1得1.综上，1AP1.PB51515点评点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。例例 6 6 椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AF FB 1，OF 1（）求椭圆的标准方程；（）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由。思维流程：思维流程：（）由AF FB 1，OF 1由 F 为PQM的重心(ac)(ac)1，c1a 2,b1写出椭圆方程PQ MF,MP FQk（）y x m3x24mx2m22 022消元x 2 y2两根之和，两根之积MP FQ 0得出关于m 的方程解题过程：解题过程：x2y2（）如图建系，设椭圆方程为221(a b 0),则c 1ab又AF FB 1即(ac)(ac)1 a2c2，a2 2x2故椭圆方程为 y212（）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且F恰为PQM的垂心，则设P(x1,y1),Q(x2,y2)，M(0,1),F(1,0)，故kPQ1，于 是 设 直 线l为y xm，由3x2 4mx 2m22 0 y xm得，22x 2y 2MPFQ 0 x1(x21)y2(y11)又yi xim(i 1,2)得x1(x21)(x2m)(x1m1)0即2x1x2(x1 x2)(m1)m2m 0由韦达定理得2m224m2(m1)m2m 033解得m 或m 1（舍）经检验m 符合条件点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零例 7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，43433且经过A(2,0)、B(2,0)、C1,三点2（）求椭圆E的方程：（）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F(1,0),H(1,0)，当DFH内切圆的面积最大时，求DFH内心的坐标；思维流程：思维流程：由椭圆经过 A、B、C 三点设方程为mx ny 122（）解出m,n（）由DFH内切圆面积最大转化为DFH面积最大D为椭圆短轴端转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大得出D点坐标为0,DFH面积最大值为3SDFH1周长r内切圆23解题过程：解题过程：（）设椭圆方程为mx2 ny21m 0,n 0，将A(2,0)、B(2,0)、C(1,)代入椭圆E的方程，得4m 1,x2y211解得m,n.椭圆E的方程194343mn 143212（）|FH|2，设DFH边上的高为SDFH2h h当点D在椭圆的上顶点时，h最大为3，所以SDFH的最大值为3设DFH的内切圆的半径为R，因为DFH的周长为定值6所以，SDFHR6所以R的最大值为3所以内切圆圆心的坐标为(0,3)33.1212点石成金：点石成金：S的内切圆的周长r的内切圆0)及椭圆及椭圆x23y2 5，过点，过点C的动直的动直例 8、已知定点已知定点C(1，线与椭圆相交于线与椭圆相交于A，B两点两点.（）（）若线段若线段AB中点的横坐标是中点的横坐标是，求直线求直线AB的方程；的方程；（）在（）在x轴上是否存在点轴上是否存在点M，使，使MAMB为常数？若存为常数？若存在，求出点在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由.思维流程：（）解：依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y k(x 1)，将y k(x 1)12代 入x23y2 5，消 去y整 理 得(3k21)x2 6k2x 3k25 0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，36k44(3k21)(3k25)0，(1)则6k2x1 x2 2.(2)3k 1x1 x23k211 2，由线段AB中点的横坐标是，得解23k 122得k 33，符合题意。所以直线AB的方程为x 3y1 0，或x3y1 0.（）解：假设在x轴上存在点M(m,0)，使MAMB为常数.当 直 线AB与x轴 不 垂 直 时，由（）知6k23k25x1 x2 2，x1x22.(3)3k 13k 1所以MAMB (x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m)k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k2m)(x1 x2)k2m2.将(3)代入，整2理得114(2m)(3k21)2m(6m1)k 5233m2MAMB m 3k213k2116m14 m22m.33(3k21)注意到MAMB是与k无关的常数，从而有6m14 0，m ，此时MAMB.当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为4973742 2 m MAMB.1，、1，当时，亦有 3933 0，使MAMB为常数.综上，在x轴上存在定点M，73点点石石2成成金金：114(2m)(3k21)2m(6m1)k 5233m2MAMB m 3k213k21 m22m16m14.33(3k21)例 9、已知椭圆的中心在原点，焦点在已知椭圆的中心在原点，焦点在 x x 轴上，长轴长是短轴上，长轴长是短轴长的轴长的 2 2 倍且经过点倍且经过点 M M（2 2，1 1），平行于，平行于 OMOM 的直线的直线l在在 y y 轴上轴上的截距为的截距为 m m（m m0 0），l交椭圆于交椭圆于 A A、B B 两个不同点。两个不同点。（）求椭圆的方程；（）求椭圆的方程；（）求（）求 m m 的取值范围；的取值范围；（）（）求证直线求证直线 MAMA、MBMB 与与 x x 轴始终围成一个等腰三角形轴始终围成一个等腰三角形.思维流程：x2y2解：（1）设椭圆方程为221(a b 0)aba 2b2a 8则 41解得2椭圆方程为1b 2a2b2x2y2182（）直线l平行于 OM，且在 y 轴上的截距为 m又 KOM=l的方程为：y x m1y x m222由x 2mx 2m 4 022xy12 81212 直 线l与 椭 圆 交 于A、B两 个 不 同 点，(2m)2 4(2m2 4)0,解得 2 m 2,且m 0（）（）设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1，k2，只需证明 k1+k2=0即可设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1 x2 2m,x1x2 2m2 4则k1y11y 1,k22x1 2x2 2由x2 2mx 2m2 4 0可得x1 x2 2m,x1x2 2m2 4而k1 k2y11y21(y11)(x2 2)(y21)(x1 2)x1 2x2 2(x1 2)(x2 2)11(x1 m1)(x2 2)(x2 m1)(x1 2)22(x1 2)(x2 2)x1x2(m 2)(x1 x2)4(m1)(x1 2)(x2 2)2m2 4(m 2)(2m)4(m 1)(x1 2)(x2 2)2m2 4 2m2 4m 4m 4 0(x1 2)(x2 2)k1 k2 0故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.点石成金：直线点石成金：直线 MAMA、MBMB 与与 x x 轴始终围成一个等腰三角形轴始终围成一个等腰三角形k1 k2 0 x2y22 3例 10、已知双曲线221的离心率e，过A(a,0),B(0,b)ab3的直线到原点的距离是3.2（1）求双曲线的方程；（2）已知直线y kx5(k 0)交双曲线于不同的点 C，D 且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.思维流程：解解：（1）d c23,a3原点到直线AB：xy 1的距离ababa2 b23.ab3.c2.b 1,a 故所求双曲线方程为x（2）把23 y2 1.y kx 5代入 x2 3 y2 3中 消 去y，整 理 得(13k2)x230kx78 0.设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，则x0kBEx1 x215 k5 y0 kx0 5,221 3k1 3k2y 110.x0kx0 ky0 k 0,15 k5 k2 k 0,又 k 0,k 7即221 3 k1 3 k故所求k=7.点石成金:C，D都在以B为圆心的圆上BC=BDBC=BDBEBECD;例 11、已知椭圆已知椭圆C C的中心在坐标原点，焦点在的中心在坐标原点，焦点在x x轴上，椭圆轴上，椭圆C C上的点到焦点距离的最大值为上的点到焦点距离的最大值为 3 3，最小值为，最小值为 1 1（）求椭圆（）求椭圆C C的标准方程；的标准方程；（IIII）若直线）若直线l:y y=k=kx x+m m与椭圆与椭圆C C相交于相交于A A、B B两点（两点（A A、B B不是左右顶点）不是左右顶点），且以，且以ABAB为直径的圆过椭圆为直径的圆过椭圆C C的右的右顶点求证：直线顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标过定点，并求出该定点的坐标思维流程：x2y2解：（）由题意设椭圆的标准方程为221(a b 0)，ab由已知得：ac 3，ac 1，x2y2椭圆的标准方程为122243b a c 3a 2，c 1，（II）设A(x1，y1)，B(x2，y2)y kxm，联立x2y21.3 4得(34k2)x28mkx4(m23)0，则 64m2k216(34k2)(m23)0，即34k2m2 0，8mk，x1 x2 234k4(m23).x1x234k23(m24k2)又y1y2(kx1m)(kx2m)k x1x2mk(x1 x2)m 34k222因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2，0)，kADkBD 1，即y1y2 1x1 2 x2 2.y1y2 x1x22(x1 x2)4 03(m24k2)4(m23)15mk4 022234k34k34k7m216mk 4k2 0解得：m1 2k，m2 2k，且均满足34k2m2 070)，与已知当m1 2k时，l的方程y k(x2)，直线过点(2，矛盾；当m2 2k2 2x，0时，l的方程为y k，直线过定点777所以，直线l过定点，定点坐标为，027点石成金：点石成金：以以ABAB为直径的圆过椭圆为直径的圆过椭圆C C的右顶点的右顶点 CA CACB;例x2y212、已知双曲线221(a 0,b 0)的左右两个焦点分别为abF1、F2,点 P 在双曲线右支上.3 41 16,)时,PF1 PF255（）若当点 P 的坐标为(程；,求双曲线的方（）若|PF1|3|PF2|,求双曲线离心率e的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.思维流程：解：（）(法 一)由 题 意 知,PF2(c 3 4116,),55PF1(c 3 4116,)55,PF1 PF2,PF1 PF20,(c 3 41163 41)()2 0)(c（1555分）解得c2 25,c 5.由双曲线定义得:|PF1|PF2|2a,2a(5 3 412163 41216)()2(5)()25555(41 3)2(41 3)2 6,a 3,b 4所求双曲线的方程为:x2y21916(法二)因PF1 PF2,由斜率之积为1,可得解.（）设|PF1|r1,|PF2|r2,(法 一)设 P 的 坐 标 为(x,y),由 焦 半 径 公 式 得,r1|a ex|a ex,r2|a ex|ex a2a2r13r2,a ex3(ex a),xce2a2 a,2a c，,x a,c的最大值为2,无最小值.此时cbc2 a2 2,e21 3,aaa此时双曲线的渐进线方程为y 3x(法二)设F1PF2,(0,.(1)当时,r1 r2 2c,且r13r2，2c 4r2,2a r1 r2 2r2此时e 2c2a4r2 2.2r2(2)当,由余弦定理得:（0，）2（2c）r1 r2 2r1r2cos10r2 6r2cos2222e 2cr2 10 6cos10 6cos2a2r22,cos(1,1),e(1,2),综上,e的最大值为 2,但e无最小值.(以下法一)附：1.1.圆锥曲线的两个定义圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义第一定义中要重视重视“括号”“括号”内的限制条件内的限制条件：椭圆中椭圆中，与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数常数2a一定一定要大于要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中双曲线中，与两定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与“绝对值”与2a|F|F1F F2|不可忽视不可忽视。若2a|F1F2|，则轨迹是以 F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如如（1 1）已知定点F1(3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上 动 点P的 轨 迹 中 是 椭 圆 的 是A PF1 PF2 4BPF1 PF2 6 CPF1 PF2 10 DPF12 PF22 12（答：C）；（2 2）方程(x6)2 y2(x6)2 y28表示的曲线是_（答：双曲线的左支）（2）第二定义第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准注意定点和定直线是相应的焦点和准线线，且“点点距为分子、点线距为分母点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对