2023年好高中数学排列组合问题常用的解题方法.pdf

排列组合常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组（当作一个元素）参与排列.例 1 五人并排站成一排，假如甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有 种。分析：把甲、乙视为一人，并且乙固定在甲的右边,则本题相称于4 人的全排列，谊=2 4 种。二、相离问题插空法元素相离（即不相邻）问题,可先把无位置规定的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端.例2 七个人并排站成一行，假如甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是 o分析：除甲乙外，其余5 个 排 列 数 为 种，再用甲乙去插6 个空位有可种，不同的排法种数是反反=3 6 0 0 种。三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法.例 3 A、B、C、D、E五个人并排站成一排，假如 B必须站A的右边（A、B可不相邻），那么不同的排法种数有 o分析：8在A的右边与8在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5 个元素全排列数的一半，即g&=60种。四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上,可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完毕.例 4 将数字1、2、3、4 填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有分析：先把1填入方格中，符合条件的有3 种方法,第二步把被填入方格的相应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字,只有一种填法，共有3X3X 1=9种填法。五、有序分派问题逐分法有序分派问题是指把元素按规定提成若干组,可用逐步下量分组法。例 5 有甲、乙、丙三项任务，甲需2 人承担，乙丙各需1人承担，从 10 人中选出4 人承担这三项任务,不同的选法总数有 o分析:先从10人中选出2 人承担甲项任务,再从剩下的8 人中选1人承担乙项任务，第三步从此外的7 人 中 选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有G：C；C；=2520 种。六、多元问题分类法元素多，取出的情况也有多种J 可按结果规定,提成不相容的几类情况分别计算,最后总计。例 6 由 数 字 0,1,2,3,4,5 组成且没有反复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 个。分析：按题意，个位数字只也许是0,1,2,3,4 共 5 种情况，分别有用个，个,合并总计 3 00 个。七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(AuB)=n(A)+H(B)-n(AnB)o例 9 从 6 名运动员中选出4个参与4义1 0 0m接力赛，假如甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？分析：设全集I=6 人中任取4 人参赛的排列,A=甲第一棒的排列,B=乙跑第四棒的排列,根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：n(I)n(A)n(B)+n(ACB)=P；-P；P；+P：=252(种).八、定位问题优先法某个（或几个）元素要排在指定位置，可先排这个（几个）元素，再排其他元素。例 10 1 名老师和4 名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有 种。分析：老师在中间三个位置上选一个有种，4 名同学在其余4 个位置上有种方法；所 以 共 有=72种。九、多排问题单排法把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑,再分段解决。例 11 6 个不同的元素排成前后两排，每排3 个元素，那么不同的排法种数 是 o分析:前后两排可当作一排的两段，因此本题可当作6 个不同的元素排成一排，共 父=720种。例 1 2 8 个不同的元素排成前后两排,每排4 个元素,其中某2 个元素要排在前排，某 1个元素要排在后排，有多少种排法？分析：当作一排，某 2 个元素在前半段四个位置中选排2 个，有A：种，某 1个元素排在后半段的四个位置中选一个有4 种,其余5个元素任排5个位置上有用种,故 共 有=5760种排法。十、“至少 问题间接法关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便。例 1 3 从 4 台甲型和5 台乙型电视机中任取出3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有 种。分析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有C；-C；=70种。分析2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1 台乙型2 台;甲型2 台乙型1 台；故不同的取法有C；C：+C；C：=70种。十一、选排问题先取后排法从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。例 14 四个不同的球放入编号为1 ,2,3,4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有 种分析:先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有心种,再排：在四个盒中每次排3 个有用种,故共有C：A；=144种。例15 9名乒乓球运动员，其中男5名，女4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？分析：先取男女运动员各2 名，有种，这四名运动员混和双打练习有中 排 法,故 共 有=120种。十二、部分合条件问题排除法在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数,即为所求。例 1 6 以一个正方体顶点为顶点的四周体共有 个。分析：正方体8 个顶点从中每次取四点，理论上可构成C：四周体，但 6 个表面 和 6 个对角面的四个顶点共面都不能构成四周体，所以四周体实际共有C；-12=58 个。例 17 四周体的顶点和各棱中点共1 0 点，在其中取4 个不共面的点，不同的取法共有 种。分析：10个点中任取4 个 点 共 有 种，其中四点共面的有三种情况：在四周体的四个面上，每面内四点共面的情况为C：,四个面共有4C；个;过空间四边形各边中点的平行四边形共3 个；过棱上三点与对棱中点的三角形共6个；所以四点不共面的情况的种数是6日-4。：-3-6=141种。十三、复杂排列组合问题构造模型法例1 8马路上有编号为1,2,3-9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种？分析:把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的 灯 种 方 法。所以满足条件的关灯方案有10种。说明：一些不易理解的排列组合题，假如能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型,装盒模型可使问题容易解决。十四、运用相应思想转化法例1 9圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？分析：由于圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就相应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以拟定多少个不同的四边形,显然有个，所以圆周上有10点，以这些点为端 点 的 弦 相 交 于 圆 内 的 交 点 有 个。一、相邻问题捆绑法例 1五人并排站成一排，假如甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有 种。二、相离问题插空法例 2 七个人并排站成一行,假如甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是 o三、定序问题缩倍法例 3 A、B、C、D、E五个人并排站成一排，假 如 B必须站A的右边（A、B可不相邻），那么不同的排法种数有 o四、标号排位问题分步法例 4将数字1、2、3、4 填入标号为1、2、3、4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 o五、有序分派问题逐分法例 5 有甲、乙、丙三项任务，甲需2 人承担，乙丙各需1 人承担,从10人中选出4 人承担这三项任务,不同的选法总数有 o六、多元问题分类法例 6 由数字0,1 ,2,3,4,5 组成且没有反复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 个。七、交叉问题集合法例7从 6 名运动员中选出4 个参与4X100m接力赛，假如甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？八、定位问题优先法例 8 1 名老师和4 名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有 种。九、多排问题单排法例 9 6 个不同的元素排成前后两排，每排3 个元素，那么不同的排法种 数 是 o十、“至少”问题间接法例 1 0 从 4 台甲型和5 台乙型电视机中任取出3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有 种。十一、选排问题先取后排法例 11 四个不同的球放入编号为1,2,3,4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有 种十二、部分合条件问题排除法例1 2 以一个正方体顶点为顶点的四周体共有 个。十三、复杂排列组合问题构造模型法例13 马路上有编号为1,2,3 9九只路灯，现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？十四、运用相应思想转化法例1 4圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？