第24章 圆 人教版九年级数学上册压轴题专题练习.pdf

人教版九年级数学上册第二十四章 圆 压轴题专题练习 1如图，在 ABC 中，AB CB，AB 是 O 的直径，D 为 O 上一点，且弧 AD弧 BD，直线 l 经过点 C、D，连接 AD，交 BC 于点 E，若 CAD CBA（1）求证：直线 l 是 O 的切线；（2）求 的值 2如图，D 为 O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，CDA CBD（1）求证：CD 是 O 的切线；（2）若 CBD 30，BC 3，求 O 半径 3 如图，AB 为 O 的直径，C、D 为圆上的两点，OC BD，弦 AD 与 BC，OC 分别交于 E、F（1）求证：；（2）若 CE 1，EB 3，求 O 的半径 4 如图，已知 O 是等边三角形 ABC 的外接圆，点 D 在圆上，在 CD 的延长线上有一点 F，使 DF DA，AE BC 交 CF 于 E（1）求证：EA 是 O 的切线；（2）判断 BD 与 CF 的数量关系？说明理由 5如图，CD 为 O 的直径，弦 AB CD，垂足为 H，P 是 CD 延长线上一点，DE AP，垂足为 E，EAD HAD（1）求证：AE 为 O 的切线；（2）已知 PA 2，PD 1，求 O 的半径和 DE 的长 6如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 是对角线，CAB 90，以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径作 A，交 BC 边于点 E，交 AC 于点 F，连接 DE（1）求证：DE 与 A 相切；（2）若 ABC 60，AB 4，求阴影部分的面积 7如图，在 Rt ABC 中，AC AB，BAC 90，以 AB 为直径作 O 交 BC 于点 D，E是 AC 的中点，连接 ED点 F 在 上，连接 BF 并延长交 AC 的延长线于点 G（1）求证：DE 是 O 的切线；（2）连接 AF，求 的最大值 8如图，点 D 是以 AB 为直径的 O 上一点，过点 B 作 O 的切线，交 AD 的延长线于点C，E 是 BC 的中点，连接 DE 并延长与 AB 的延长线交于点 F（1）求证：DF 是 O 的切线；（2）若 OB BF，EF 4，求阴影部分的面积 9如图，正方形 ABCD 顶点 B、C 在 O 上，边 AD 经过 O 上一定点 E，边 AB，CD 分别与 O 相交于点 G、F，且 EF 平分 BFD（1）求证：AD 是 O 的切线（2）若 DF，求 DE 的长 10如图，AB 为 O 的直径，C 为 O 上的一点，AD CD 于点 D，AC 平分 DAB（1）求证：CD 是 O 的切线（2）设 AD 交 O 于 E，ACD 的面积为 6，求 BD 的长 11 如图，Rt ABC 中，ABC 90，以 AB 为直径的 O 交 AC 于点 D，E 是 BC 的中点，连接 DE、OE（1）判断 DE 与 O 的位置关系并说明理由（2）若 O 半径 r 3，DE 4，求 AD 的长 12如图，O 与 Rt ABF 的边 BF，AF 分别交于点 C，D，连接 AC，CD，BAF 90，点 E 在 CF 上，且 DEC BAC（1）试判断 DE 与 O 的位置关系，并说明理由（2）若 AB AC，CE 4，EF 6，求 O 的直径 13以等边 ABC 的一边 AB 为直径作半圆，设圆心为点 O，半圆 O 与边 AC 交于点 D，与边 BC 交于点 E，取线段 CD 的中点 F，连结 EF、OE（1）求证：EF 是 的切线；（2）若 O 的半径是 2，求图中阴影部分的面积 14如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点，正方形 DEFG 的一边 DG 在直径 AB 上，另一边 DE 过 ABC 的内切圆圆心 I，且点 E 在半圆弧上（1）若设 ABC 的三边为 a，b，c（其中 A 对边为 a，B 对边为 b，C 对边为 c），试用含 a，b，c 的代数式表示 AD，BD 的长（2）证明：正方形 DEFG 的面积和 ABC 的面积相等 15如图，已知点 D 是 ABC 外接圆 O 上的一点，AC BD 于 G，连接 AD，过点 B 作直线 BF AD 交 AC 于 E，交 O 于 F，若点 F 是弧 CD 的中点，连接 OG，OD，CD（1）求证：DBF ACB；（2）若 AG GE，试探究 GOD 与 ADC 之间的数量关系，并证明 16矩形 ABCD 的一边长 AB 4，且 BC AB，以边 AB 为直径的圆 O 交对角线 AC 于 H，AH 2如图，点 K 为优弧 AKB 上一点（）求 HKA 的度数；（）求 CH 的长；（）求图中阴影部分的面积；（）设 AK m，若圆 O 的圆周上到直线 AK 的距离为 1 的点有且仅有三个，求实数 m的值 17如图所示，在 ABC 中，CD 为 ACB 的平分线，以 CD 为弦作一与 AB 相切的圆，分别交 CA，CB 于点 M，N（1）求证：MN AB；（2）若 AC 12，AB 10，BC 8，求 MN 的长度 参考答案 1如图，在 ABC 中，AB CB，AB 是 O 的直径，D 为 O 上一点，且弧 AD弧 BD，直线 l 经过点 C、D，连接 AD，交 BC 于点 E，若 CAD CBA（1）求证：直线 l 是 O 的切线；（2）求 的值【解答】解：（1）如图 1，连接 BD，连接 OD，过点 C 作 CF AB 于点 F，DAB ABD，AB 为 O 的直径，ADB 90，DAB DBA 45，设 ABC，BA BC，BAC BCA，CAD CBA，BAC BAD+CAD 45+，30，CF，OD CF，AD BD，OA OB，OD AB，DP AB，CF OD 四边形 ODCF 是矩形，ODC 90，直线 l 是 O 的切线；（2）如图 2，过点 E 作 EG AB 于点 G，由（1）知，CAD ABE 30，CD AB，ADC EAB 45，则 ACD BEA，AE CD，DAB 45、ABC 30，BE 2EG 2 AE AE CD 2CD，2如图，D 为 O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，CDA CBD（1）求证：CD 是 O 的切线；（2）若 CBD 30，BC 3，求 O 半径【解答】解：（1）证明：如图，连接 OD，OD OB OA，OBD ODB，ODA OAD，CDA CBD，CDA ODB AB 为 O 的直径，ADB ODB+ODA 90，CDA+ODA ODC 90 OD CD，CD 是 O 的切线；（2）CBD 30，OBD ODB，AOD OBD+ODB 60，C 30 ODC 90 OD OB OC，OB BC，BC 3，OB 1，O 半径为 1 3 如图，AB 为 O 的直径，C、D 为圆上的两点，OC BD，弦 AD 与 BC，OC 分别交于 E、F（1）求证：；（2）若 CE 1，EB 3，求 O 的半径【解答】（1）证明：AB 是圆的直径，ADB 90，OC BD，AFO ADB 90，OC AD（2）解：连接 AC，如图，CAD ABC，ECA ACB，ACE BCA，AC2 CE CB，即 AC2 1（1+3），AC 2，AB 是圆的直径，ACB 90，AB 2，O 的半径为 4 如图，已知 O 是等边三角形 ABC 的外接圆，点 D 在圆上，在 CD 的延长线上有一点 F，使 DF DA，AE BC 交 CF 于 E（1）求证：EA 是 O 的切线；（2）判断 BD 与 CF 的数量关系？说明理由【解答】解：（1）证明：如图，连接 AO，O 是等边三角形 ABC 的外接圆，AO 平分 BAC，AE BC，CAE BCA 60，OAE OAC+CAE 90，OA AE，EA 为 O 的切线；（2）BD CF，理由如下：ABC 为正三角形，AB AC，BAC ABC 60；A、B、C、D 四边共圆，ADF ABC 60，DF DA，ADF 为正三角形，DAF 60 BAC，BAC+CAD DAF+CAD，即 BAD CAF，在 BAD 与 CAF 中，BAD CAF（SAS），BD CF 所以 BD 与 CF 的数量关系为相等 5如图，CD 为 O 的直径，弦 AB CD，垂足为 H，P 是 CD 延长线上一点，DE AP，垂足为 E，EAD HAD（1）求证：AE 为 O 的切线；（2）已知 PA 2，PD 1，求 O 的半径和 DE 的长【解答】解：（1）证明：连接 AO 并延长交 O 于点 M，连接 MD，如图，AB CD，M BAD，EAD HAD M EAD，AM 为直径，ADM 90，M+MAD 90，EAD+MAD 90，即 MAE 90，AM AE，AE 为 O 的切线；（2）EAD HAD，DH AH，DE AE，AD AD，AHD AED（AAS）DE DH，AH AE，设 DE x，AH y，则 DH x，AE y，EPD HPA，PED PHA 90，Rt PED Rt PHA，即，解得 x，y，即 DE 的长为，AH，设圆的半径为 r，则 OH r，在 Rt OAH 中，（r）2+（）2 r2，解得 r，即 O 的半径为 答：O 的半轻和 DE 的长分别为：，6如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 是对角线，CAB 90，以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径作 A，交 BC 边于点 E，交 AC 于点 F，连接 DE（1）求证：DE 与 A 相切；（2）若 ABC 60，AB 4，求阴影部分的面积【解答】（1）证明：连接 AE，四边形 ABCD 是平行四边形，AD BC，AD BC，DAE AEB，AE AB，AEB ABC，DAE ABC，AED BAC（SAS），DEA CAB，CAB 90，DEA 90，DE AE，AE 是 A 的半径，DE 与 A 相切；（2）解：ABC 60，AB AE 4，ABE 是等边三角形，AE BE，EAB 60，CAB 90，CAE 90 EAB 90 60 30，ACB 90 B 90 60 30，CAE ACB，AE CE，CE BE，SABC AB AC 8，SACE SABC 4，CAE 30，AE 4，S扇形AEF，S阴影 SACE S扇形AEF 4 7如图，在 Rt ABC 中，AC AB，BAC 90，以 AB 为直径作 O 交 BC 于点 D，E是 AC 的中点，连接 ED点 F 在 上，连接 BF 并延长交 AC 的延长线于点 G（1）求证：DE 是 O 的切线；（2）连接 AF，求 的最大值【解答】（1）证明：连接 OD，AD AB 为 O 直径，点 D 在 O 上，ADB 90，ADC 90，E 是 AC 的中点，DE AE，EAD EDA，OA OD，OAD ODA，OAD+EAD BAC 90，ODA+EDA 90，即 ODE 90，OD DE，D 是半径 OD 的外端点，DE 是 O 的切线；（2）解：过点 F 作 FH AB 于点 H，连接 OF，AHF 90 AB 为 O 直径，点 F 在 O 上，AFB 90，BAF+ABF 90 BAC 90，G+ABF 90，G BAF，又 AHF GAB 90，AFH GBA，由垂线段最短可得 FH OF，当且仅当点 H，O 重合时等号成立 AC AB，上存在点 F 使得 FO AB，此时点 H，O 重合，即 的最大值为 8如图，点 D 是以 AB 为直径的 O 上一点，过点 B 作 O 的切线，交 AD 的延长线于点C，E 是 BC 的中点，连接 DE 并延长与 AB 的延长线交于点 F（1）求证：DF 是 O 的切线；（2）若 OB BF，EF 4，求阴影部分的面积【解答】解：（1）如图，连接 OD，BD，AB 为 O 的直径，ADB BDC 90，在 Rt BDC 中，BE EC，DE EC BE，1 3，BC 是 O 的切线，3+4 90，1+4 90，又 2 4，1+2 90，DF 为 O 的切线；（2）OB BF，OF 2OD，F 30，FBE 90，BE EF 2，DE BE 2，DF 6，F 30，ODF 90，FOD 60，OD OA，A ADO BOD 30，A F，AD DF 6，OD BD DF 2，阴 影 部 分 的 面 积 AD BD+2 3+2 9如图，正方形 ABCD 顶点 B、C 在 O 上，边 AD 经过 O 上一定点 E，边 AB，CD 分别与 O 相交于点 G、F，且 EF 平分 BFD（1）求证：AD 是 O 的切线（2）若 DF，求 DE 的长【解答】（1）证明：连接 OE，OE OF，OEF OFE，FE 平分 BFD，DFE OFE，DFE OEF，OE CD，OED+D 180，四边形 ABCD 是正方形，D 90，OED 90，即 OE AD，OE 过 O，AD 是 O 的切线；（2）解：连接 BE，四边形 ABCD 是正方形，D A 90，AB CD，AD AB，OE AD，AB CD OE，O B OF，AE DE，设 DE AE x，则 AD AB 2x，BF 为 O 直径，BEF 90，A D 90，ABE+AEB 180 90 90，DEF+AEB 180 BEF 90，DEF ABE，ABE DEF，即得：x 2，即 DE 2 10如图，AB 为 O 的直径，C 为 O 上的一点，AD CD 于点 D，AC 平分 DAB（1）求证：CD 是 O 的切线（2）设 AD 交 O 于 E，ACD 的面积为 6，求 BD 的长【解答】（1）证明：连接 OC，OA OC，OAC OCA，AC 平分 DAB，OAC DAC，DAC OCA，OC AD，OCE ADC 90，CD 是 O 的切线；（2）解：，设 AC 5x，CD 3x，AD 4x，ACD 的面积为 6，AD CD 6，x 1（负值舍去），AD 4，CD 3，AC 5，连接 BC，AB 为 O 的直径，ACB 90，ACB ADC，DAC CAB，ADC ACB，AB，DAC CAB，连接 BE 交 OC 于 F，OC BE，BF EF，AB 为 O 的直径，AEB DEB 90，四边形 CDEF 是矩形，EF CD 3，BE 6，AE，DE 4，BD 11 如图，Rt ABC 中，ABC 90，以 AB 为直径的 O 交 AC 于点 D，E 是 BC 的中点，连接 DE、OE（1）判断 DE 与 O 的位置关系并说明理由（2）若 O 半径 r 3，DE 4，求 AD 的长 【解答】解：（1）连接 OD、BD，如图所示 点 O 为 AB 的中点，点 E 为 BC 的中点，OE AC，且 AC 2OE，A BOE 又 BOD 2 A，DOE A BOE 在 BOE 和 DOE 中，BOE DOE（SAS），ODE OBE 90，DE 与 O 相切；（2）AB 为 O 的直径，BD AC，ADB BDC 90，ADB ABC，A+ABD A+C 90，ABD C，ABD ACB，AB 6，BC 2DE 8，AC 10，AB2 AD AC，62 AD 10，AD 12如图，O 与 Rt ABF 的边 BF，AF 分别交于点 C，D，连接 AC，CD，BAF 90，点 E 在 CF 上，且 DEC BAC（1）试判断 DE 与 O 的位置关系，并说明理由（2）若 AB AC，CE 4，EF 6，求 O 的直径【解答】解：（1）如图，连接 BD，BAD 90，点 O 必在 BD 上，即：BD 是直径，BCD 90，DEC+CDE 90，DEC BAC，BAC+CDE 90，BAC BDC，BDC+CDE 90，BDE 90，即：BD DE，点 D 在 O 上，DE 是 O 的切线；（2）BAF BDE 90，F+ABC FDE+ADB 90，AB AC，ABC ACB，ADB ACB，F EDF，DE EF 6，CE 4，BCD 90，DCE 90，CD 2，BDE 90，CD BE，CDE CBD，BD 3，O 的直径 3 13以等边 ABC 的一边 AB 为直径作半圆，设圆心为点 O，半圆 O 与边 AC 交于点 D，与边 BC 交于点 E，取线段 CD 的中点 F，连结 EF、OE（1）求证：EF 是 的切线；（2）若 O 的半径是 2，求图中阴影部分的面积【解答】（1）证明：连接 BD，OE，AE，AB 是 O 的直径，BDF AEB 90，BD CD，AE BC，点 D，A，B，E 在 O 上，ADE+ABE 180，ADE+CDE 180，ABE CDE，AB AC，C ABE CDE，DE CE，点 F 是 CD 中点，EF CD，BD CD，EF BD，AB AC，AE BC，CE BE，AO BO，OE 是 ABC 的中位线，OE AC，四边形 FDGE 是矩形，OE EF，又 OE 是 O 的半径，EF 是 O 的切线；（2）解：由（1）知 OEF 90，BD EF，OGE 90，即 OE BD，DE BE，弓形 BE 的面积弓形 DE 的面积，阴影部分面积 SDEF，ABC 是等边三角形，ABC 60，BOE 60，CAE 30，DE OA 2，DF DE 1，EF，图中阴影部分的面积 14如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点，正方形 DEFG 的一边 DG 在直径 AB 上，另一边 DE 过 ABC 的内切圆圆心 I，且点 E 在半圆弧上（1）若设 ABC 的三边为 a，b，c（其中 A 对边为 a，B 对边为 b，C 对边为 c），试用含 a，b，c 的代数式表示 AD，BD 的长（2）证明：正方形 DEFG 的面积和 ABC 的面积相等 【解答】解：（1）如图，设圆 I 与 AC 切于点 M，与 BC 切于点 N，由切线长定理可知：AD AM，CM CN，BN BD，AD+AM AB+BC+CA CM CN BN BD a+b+c 2a b+c a，AD，BD（2）连接 AE、BE AB 是直径，AEB ACB 90，c2 a2+b2，四边形 DEFG 是正方形，ED AB，由射影定理可知：DE2 AD BD ab 正方形 DEFG 的面积和 ABC 的面积相等 15如图，已知点 D 是 ABC 外接圆 O 上的一点，AC BD 于 G，连接 AD，过点 B 作直线 BF AD 交 AC 于 E，交 O 于 F，若点 F 是弧 CD 的中点，连接 OG，OD，CD（1）求证：DBF ACB；（2）若 AG GE，试探究 GOD 与 ADC 之间的数量关系，并证明【解答】（1）证明：BF AD，ADB DBF，ADB ACB，DBF ACB；（2）GOD 与 ADC 之间的数量关系为：2 GOD+ADC 240 理由如下：作 OM DC 于点 M，连接 OC AD BF，AB DF，F 为 CD 中点，CF DF AB，ACB CBF DBF，AC BD 于 G，BGC AGD 90，DBF+CBF+ACB 90，ACB CBF DBF 30，DBC 60，ADB ACB 30，DOC 2 DBC 120，OD OC，ODM 30，设 GE x，则 AG x，DG x，BG x，GC 3x，DC x，DM x，OD x，DG OD，2 GOD+ODG 180，ADB+ODC 60，2 GOD+ODG+ADB+ODC 240，即 2 GOD+ADC 240 16矩形 ABCD 的一边长 AB 4，且 BC AB，以边 AB 为直径的圆 O 交对角线 AC 于 H，AH 2如图，点 K 为优弧 AKB 上一点 （）求 HKA 的度数；（）求 CH 的长；（）求图中阴影部分的面积；（）设 AK m，若圆 O 的圆周上到直线 AK 的距离为 1 的点有且仅有三个，求实数 m的值【解答】解：（）连接 BH，AB 为 O 的直径，AHB 90，AB 4，AH 2，sin ABH，ABH 30，HKA ABH 30；（）AHB 90，ABH 30，BAH 60，四边形 ABCD 是矩形，ABC 90，AC 2AB 8，CH AC AH 6；（）连接 OH，则 AOH 是等边三角形，AO AH 2，AOH 60，过 H 作 HE AO 于 E，则 HE，AC 8，CD AB 4，AD 4，图中阴影部分的面积 4 4（2）9；（）过 O 作平行于 AK 的直线交 O 于 MN，过 O 作 OP AK 于 Q 交 O 于 P，O 的半径 2，则 PQ OQ 1，OA 2，AQ，AK 2AQ 2，m 2 17如图所示，在 ABC 中，CD 为 ACB 的平分线，以 CD 为弦作一与 AB 相切的圆，分别交 CA，CB 于点 M，N（1）求证：MN AB；（2）若 AC 12，AB 10，BC 8，求 MN 的长度【解答】（1）证明：连接 DN，AB 是 O 的切线，BCD BDN，CD 为 ACB 的平分线，ACD BCD，ACD MND，MND BDN，MN AB；（2）解：MN AB，CMN CAB，CD 为 ACB 的平分线，AD 6，AD2 AC AM，62 12AM，AM 3，CM 9，MN