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圆知识点复习圆学问点复习 本文关键词：学问点，复习圆学问点复习 本文简介：圆中常见的协助线的作法1遇到弦时（解决有关弦的问题时）经常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：利用垂径定理；利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，依据勾股定理求有关量。2遇到有直径时经常添加（画）直径所圆学问点复习 本文内容：圆中常见的协助线的作法1遇到弦时（解决有关弦的问题时）经常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：利用垂径定理；利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，依据勾股定理求有关量。2遇到有直径时经常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。3遇到90度的圆周角时经常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。4遇到弦时经常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：可得等腰三角形；据圆周角的性质可得相等的圆周角。5遇到有切线时（1）经常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OAAB，得到直角或直角三角形。（2）经常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。6遇到证明某始终线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。作用：若OA=r，则l为切线。（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）作用：只需证OAl，则l为切线。（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线7遇到两相交切线时（切线长）经常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到：角、线段的等量关系；垂直关系；全等、相像三角形。8遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得：内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；内心到三角形三条边的距离相等。9遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。10遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）经常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。作用：利用切线的性质；利用解直角三角形的有关学问。11遇到两圆相交时经常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。作用：利用连心线的性质、解直角三角形有关学问；利用圆内接四边形的性质；利用两圆公共的圆周的性质；垂径定理。12遇到两圆相切时经常作连心线、公切线。作用：利用连心线性质；切线性质等。13遇到三个圆两两外切时经常作每两个圆的连心线。作用：可利用连心线性质。14遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时经常添加协助圆。作用：以便利用圆的性质。三角形的外接圆与三角形的内切圆的区分与联系:圆的名称三角形的名称圆心的确定圆心的名称圆心的性质三角形的外接圆圆内接三角形三角形的三边中垂线的交点外心外心到三角形的三个顶点的距离相等三角形的内切圆圆外切三角形三角形的三角平分线的交点内心内心到三角形的三条边的距离相等(2022山东德州中考)如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_【解析】每段弧的长为=，故三段弧总长为【点评】此题主要考查圆的弧长公式此题还可以用转换法，实际三个弧之和相等于一个半圆（2022四川内江）如图2，AB是O的直径，弦CDAB，CDB30°，CD2，则阴影部分图形的面积为A4B2CDABDCO图2【解析】如下图所示，取AB与CD的交点为E，由垂径定理知CE，而COB2CDB60°，所以OC2，OEOC1，接下来发觉OEBE，可证OCEBED，所以S阴影S扇形COB·22ABDCO图2E【点评】圆的有关性质是中考高频考点，而图形面积也是多数地方必考之处，将它们结合可谓珠联璧合解答此题需在多处转化：一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决；二是由圆周角度数求出圆心角度数；三是发觉图中存在的全等三角形，这一点是解题关键(2022山东省临沂市）如图，AB是O的直径，点E是BC的中点，AB=4，BED=1200，则图中阴影部分的面积之和为（）A.1B.C.D.【解析】由图得，四边形ABED是圆内接四边形，B=D=DEC=600，弓形BE的面积等于弓形DE的面积，又AB是O的直径，点E是BC的中点，AB=4，BED=1200，BE=ED=AD=2，BC=4，阴影部分面积=SCDE,又CDEABC，SABC=,SCDE=SABC=【答案】选C。【点评】阴影部分的面积可以看作是ABC的面积减去四边形ABED的面积或阴影部分的面积就是CDE的面积求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求OABCDE（2022浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB是O的直径,点C、D在O上,点E在O外,EAC=D=60°.（1）求ABC的度数；（2）求证：AE是O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长.【解析】（1）依据相等的弧长对应的圆周角相等，得ABC=D=60°。（2）直径对应的圆周角为直角，则由三角形内角和为180°，得出BAC的大小，继而得出BAE的大小为90°，即AE是O的切线。（3）由题意易知，OBC是等边三角形，则由劣弧AC对应的圆心角可求出劣弧AC的长。20解：（1）ABC与D都是弧AC所对的圆周角ABC=D=60°2分（2）AB是O的直径ACB=90°3分BAC=30°BAE=BACEAC=30°60°=90°4分即BAAEAE是O的切线5分OABCDE（3）如图，连结OCOB=OC,ABC=60°OBC是等边三角形OB=BC=4,BOC=60°AOC=120°7分劣弧AC的长为8分【点评】此题考查圆弧的长与其对应的圆心角、圆周角的关系，及三角形的内角和为180°。相等的弧长对应的圆周角、圆心角相等(2022四川省南充市)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面绽开图的扇形的圆心角是（）A120°B180°C240°D300°解析：设母线长为R，底面半径为r，则底面周长=2r，底面面积=r2，侧面面积=rR，由题知侧面积是底面积的2倍。所以R=2r，设圆心角为n，则，解得n=180°.答案：B点评：已知圆锥的侧面积和底面积的倍数关系，可得到圆锥底面半径和母线长的关系，从而利用圆锥侧面绽开图的弧长=底面周长，即可得到该圆锥的侧面绽开图扇形的圆心角度数（2022浙江省绍兴）如图，扇形DOE的半径为3，边长为的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为（）A.B.C.D.【解析】连结AC、OB，相交于点G，则ACOB，OG=GB,在RtOGA，,所以,即,依据求得，所以圆锥的高为【答案】D【点评】本题主要考查圆锥的有关计算，关键在于求出扇形DOE的圆心角，具有肯定的综合性(2022年浙江省宁波市)如图，用邻边长为a,b(ab)的矩形硬纸板截出以a为直径的两个半圆，再截出与矩形的较边、两个半圆均相切的两个小圆，把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽视不计），则a与b关系式是（A）b=a(B)b=(C)(D)b=a【解析】首先利用圆锥形圣诞帽的底面周长等于侧面11题图的弧长求得小圆的半径，然后利用两圆外切的性质求得a、b之间的关系即可【答案】D【点评】本题考查切线、两圆外切及圆锥的侧面绽开图的有关学问，小圆的周长是大圆的周长的一半是确定相等关系的关键。(2022年浙江省宁波市)如图在ABC中,BE是它的角平分线,C=900,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E交BC于点F.(1)求证:AC是O的切线;(2)已知sinA=,O的半径为4,求图中阴影部分的面积.【解析】1）连接OE，OB=OEOBE=OEB.BE是ABC角平分线,OBE=EBC,OEB=EBC,OEBC,C=900,AEO=C=900,AC是O切线.连接OFsinA=，A=30°O的半径为4，AO=2OE=8，AE=4，AOE=60°，AB=12，23题图BC=AB=6AC=6，CE=AC-AE=2OB=OF，ABC=60°，OBF是正三角形FOB=60°，CF=6-4=2，EOF=60°S梯形OECF=（2+4）×2=6S扇形EOF=60×42÷360=S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF=6-(2022山东省临沂市）如图，AB是O的直径，点E是BC的中点，AB=4，BED=1200，则图中阴影部分的面积之和为（）A.1B.C.D.【解析】由图得，四边形ABED是圆内接四边形，B=D=DEC=600，弓形BE的面积等于弓形DE的面积，又AB是O的直径，点E是BC的中点，AB=4，BED=1200，BE=ED=AD=2，BC=4，阴影部分面积=SCDE,又CDEABC，SABC=,SCDE=SABC=【答案】选C。【点评】阴影部分的面积可以看作是ABC的面积减去四边形ABED的面积或阴影部分的面积就是CDE的面积求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求（2022浙江省衢州）用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是()A.cmB.cmC.cmD.4cm【解析】利用已知得出圆锥底面圆的半径为：2，母线长为6cm，进而由勾股定理，即可得出答案【答案】C【点评】此题主要考查了圆锥绽开图与原图对应状况，以及勾股定理等学问，依据已知得出圆锥底面圆的半径长是解决问题的关键ABCOD第12题图（2022北海,12，3分）12如图，等边ABC的周长为6，半径是1的O从与AB相切于点D的位置动身，在ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则O自转了：（）A2周B3周C4周D5周【解析】三角形的周长恰好是圆周长的三倍，但是圆在点A、B、C处分别旋转了一个角度，没有滚动，在三个顶点处旋转的角度之和是三角形的外角和360°。所以O自转了4圈。【答案】C(2022广东汕头)如图，在?ABCD中，AD=2，AB=4，A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（结果保留）分析：过D点作DFAB于点F可求?ABCD和BCE的高，视察图形可知阴影部分的面积=?ABCD的面积扇形ADE的面积BCE的面积，计算即可求解解答：解：过D点作DFAB于点FAD=2，AB=4，A=30°，DF=AD?sin30°=1，EB=ABAE=2，阴影部分的面积：4×12×1÷2=41=3故答案为：3点评：考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，本题的关键是理解阴影部分的面积=?ABCD的面积扇形ADE的面积BCE的面积(2022山东日照)如图1，正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图2，最大圆半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则S1S2（用“>”、“<”或“=”填空）.解析：把图1中的阴影部分拼在一起即是矩形ACDF,因为正方形OCDE的边长为1，所以正方形的对角线长，所以OA=，S1=S矩形ACDF=-1；把图2中的阴影部分拼在一起即是圆，故S2=.所以S1S2.点评：本题主要考查勾股定理、扇形的面积等，解题的关键是运用割补法把阴影部分转化为规则图形求其面积.（2022山西）如图是某公园的一角，AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CDOB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）A（10）米2B（）米2C（6）米2D（6）米2【解析】解：弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，OC=OA=×6=3米，AOB=90°，CDOB，CDOA，在RtOCD中，OD=6，OC=3，CD=3米，sinDOC=，DOC=60°，S阴影=S扇形AODSDOC=×3×3=（6）平方米（2022年广西玉林市）如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，NMB的度数是.分析：首先连接OB，由矩形的性质可得BOC是直角三角形，又由OB=ON=2OC，BOC的度数，又由圆周角定理求得NMB的度数解答：解：连接OB，CN=CO，OB=ON=2OC，四边形OABC是矩形，BCO=90°，cosBOC=，BOC=60°，NMB=BOC=30°故答案为：30°点评：此题考查了圆周角定理、矩形的性质以及特别角的三角函数值此题难度适中，留意协助线的作法，留意数形结合思想的应用(2022广安中考试题)如图6，RtABC的边BC位于直线l上，AC=，ACB=90o，A=30o，若RtABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线上l时，点A所经过的路途的长为_（结果用含的式子表示）ABCl图6思路导引：确定路途长度，由于路途是圆弧，因此确定旋转角，与旋转半径是解决问题的关键，解析：计算斜边长度是2，第一次经过路途长度是，其次次经过路途长度是，第三次经过路途长度与其次次经过路途长度相同，也是，所以当点A三次落在直线l上时，经过的路途长度是2×（）=2×=点评：解答旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是前提，另外计算连续的弧长问题，留意旋转规律，进行多次循环旋转的有关弧长之和的计算.（2022贵州遵义）如图，半径为1cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）Acm2Bcm2Ccm2Dcm2解析：过点C作CDOB，CEOA，则AOB是等腰直角三角形，由ACO=90°，可知AOC是等腰直角三角形，由HL定理可知RtOCERtACE，故可得出S扇形OEC=S扇形AEC，与弦OC围成的弓形的面积等于与弦AC所围成的弓形面积，S阴影=SAOB即可得出结论解：过点C作CDOB，CEOA，OB=OD，AOB=90°，AOB是等腰直角三角形，OA是直径，ACO=90°，AOC是等腰直角三角形，CEOA，OE=AE=OC=AC，在RtOCE与RtACE中，RtOCERtACE，S扇形OEC=S扇形AEC，与弦OC围成的弓形的面积等于与弦AC所围成的弓形面积，同理可得，与弦OC围成的弓形的面积等于与弦BC所围成的弓形面积，S阴影=SAOB=×1×1=cm2故选C答案：C点评：本题考查的是扇形面积的计算与等腰直角三角形的判定与性质，依据题意作出协助线，构造出直角三角形得出S阴影=SAOB是答案此题的关键（2022湖北荆州）(本题满分9分)如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图已知图中ABCD为等腰梯形(ABDC)，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m设油罐横截面圆心为O，半径为5m，D56°，求：U型槽的横截面(阴影部分)的面积(参考数据：sin53°0.8，tan56°1.5，3，结果保留整数)图4ADEFOMNCB第22题图ACODB【解析】如图，连结AO、BO过点A作AEDC于点E，过点O作ONDC于点N，ON交O于点M，交AB于点F则OFABOAOB5m，AB8m，AFBFAB4(m)，AOB2AOF在RtAOF中，sinAOF0.8sin53°AOF53°，则AOB106°OF3(m)，由题意得：MN1m，FNOMOFMN3(m)四边形ABCD是等腰梯形，AEDC，FNAB，AEFN3m，DCAB2DE在RtADE中，tan56°，DE2m，DC12mS阴S梯形ABCD(S扇OABSOAB)(812)×3(×52×8×3)20(m2)答：U型槽的横截面积约为20m2【答案】U型槽的横截面积约为20m2【点评】在计算阴影部分的面积问题时，首先推断是否是规则图形，假如是就利用所学的图形面积公式计算；假如不是规则图形，利用和差法，把所求的面积转化为几个规则图形的面积和或者差进行计算。（2022年吉林省）如图，在扇形OAB中，AOB=90°，半径OA=6将扇形OAB沿过点B的直线折叠点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积【解析】阴影部分的周长包括线段AC+CD+DB的长和弧AB的长由折叠的性质可知，AC+CD=OA=6;DB=OB=6.故周长可求求面积须要连接OD,证明ODB是正三角形，得到CBO=30°，求出OC的长，阴影部分的面积=-2.【答案】解：连接ODOB=OD,OB=BDODB是等边三角形DBO=60°OBC=CBD=30°在RtOCB中，OC=OBtan30°=有图可知，CD=OC,DB=OB弧AB+AC+CD+DB=2×6+6=12+6（2022南京市）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在O1和扇形O2CD中，O1与O2C、O2D分别相切于点A、B，已知CO2D=600,E、F是直线O1O2与O1、扇形O2CD的两个交点，且EF=24厘米，设O1的半径为x厘米.（1）用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；（2）若O1、扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/厘米2和0.06元/厘米2，当O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？解析：连接AO1,在RtAO1O2中，利用三角函数表示出O1O2D的长，求出O2F;其次问中将两个面积用x的代数式表示出来，利用二次函数求最值.答案：（1）连接AO1,O1与O2C、O2D分别相切于点A、B，O1AO2A,AO2E=DO2ECO2D=600,AO2O1=300,在RtAO1O2中，O1E=O1A=xO1O2=24-3x(2)费用y总=y圆+y扇y总=0.45x2+0.06×=0.9x2-7.2x+28.8当x=-=4时，该玩具的制作成本最小,最小值y=14.4.点评：本题涉及到了三角函数，切线的性质，扇形的面积公式，二次函数最值问题等，是一道综合性题目.（2022山东莱芜）已知：如图，在菱形ABCD中，AB=2，A=60°,以点D为圆心的D与边AB相切于点E.（1）求证：D与边BC也相切；（2）设D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积（结果保留）；（3）D上一动点M从点F动身，按逆时针方向运动半周，当SHDF=SMDF时，求动点M经过的弧长（结果保留）.【解析】（1）证明：连结DE，过点作DNBC，垂足为点四边形ABCD菱形BD平分ABC.1分边AB与D相切于点E.DEAB,DN=DED与边BC也相切.3分（2）四边形ABCD菱形又A=60°°=3，即D的半径是3.4分又HDF=CDA=60°,DH=DF,HDF是等边三角形.过点H作HGDF于点G，则HG=3×sin60°=故SHDF=，S扇形HDF=.S阴影=S扇形HDFSHDF分（）假设点运动到点时，满意SHDF=SMDF，过点作PDF于点P，则,解得P=.故FD=30°，此时经过点M的弧长为：8分过点作DF交D于点,则满意SHDF=,此时FD=150°，点M经过的弧长为：.综上所述，当SHDF=SMDF时，动点M经过的弧长为或.10分（2022四川成都）如图，AB是O的直径，弦CDAB于H，过CD延长线上一点E作O的切线交AB的延长线于F切点为G，连接AG交CD于K（1）求证：KE=GE；（2）若=KD·GE，试推断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长解析：利用切线的性质和等边对等角可以证明EGK=EKG，然后依据等角对等边，即可证明第（1）小题；对于第（2）小题，可以先由等积式得到比例式，然后得到三角形相像，依据角的关系可以推断两条直线的位置关系；对于第（3）小题，可以先利用方程的思想求出相关线段的长，然后利用三角函数求FG的长。答案：（1）如下图，连接OG，EG是O的切线OGGEOGK+EGK90°CDABOAG+AKH90°OG=OAOGK=OAGEGK=AKH=EKGKE=GE；（2）ACEF理由如下：=KD·GE，GE=KEKGDKGEKGDEKGDCECACEF（3）在（2）的条件下，ACEFCAFF，ECsinE=sinC=,sinF=,tanE=tanC=连接BG，过G作GNAB于N，交O于Q则弧BQ=弧BGBGNBAG设AH=3k，则CH=4k于是BH=，OG=EG是切线，CDABOGF90°，FOG+F=E+FFOG=E，NG=OGsinFOG=BN=OB-ON=OG-OGcosFOG=BG=cosBAG=cosBGN=FG=QN(2022山东省聊城）如图，O是ABC外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是弧上一动点，过点P作BC的平行线交AB延长线与点D.（1）当点P在什么位置时，DP是O的切线？说明理由.（2）当DP是O的切线时，求DP的长.解析：（1）依据PD/BC，可以天加协助线由切线判定定理解题；（2）依据勾股定理与垂径定理求出O半径r，再结合ABEADP即可.解：（1）当P是BC中点时，DP是O的切线.理由如下：AB=AC，又PA是O的直径.又AB=AC，PABC.DP/BC，PDAP.DP是O的切线.（2）连接OB，设PA交BC于点E.由垂径定理得，BE=.在RtABE中，据勾股定理，.设O的半径为r，则OE=8-r.在RtOBE中，.解得r=.DP/BC，ABE=D.又1=1，ABEADP.，即，DP=点评：本题是一道综合试题，以圆为载体考查了圆的基本学问、圆的切线、平行线、勾股定理、相像三角形、方程思想等，解题要冷静、细心、充分拓展数学核心学问，达到敏捷解决问题.（2022浙江省湖州市）已知，如图，在梯形ABCD中，ADBC,DA=DC,以点D为圆心，DA长为半径的D与AB相切于点A，与BC交于点F，过点D作DEBC,垂足为E。（1）求证：四边形ABED为矩形；（2）若AB=4，,求CF的长。【解析】（1）依据切线的性质可得，DAB=900，由平行关系ADBC可得，ABE=900，又DEBC,BED=900，即三个角是直角，可判定四边形是矩形；（2）分析图形，构建RtDEC,由（1）的结论可得，DA=DC,AB=DE,应用勾股定理可求得CF的长CF=。【答案】（1）D与AB相切于点A，ABAD，即DAB=900，又，ADBC,DEBC,ADE=DEB=900，四边形ABED为矩形；(2)四边形ABED为矩形；DE=AB=4，DA=DC,点C在D上，在D中，DEBC,CF=2EC，又，设AD=3k,则BC=4k,BE=3k,EC=BC-BE=k,DC=AD=3k,由勾股定理得，DE2+EC2=DC2，即42+k2=(3k)2,解得，k=±,负值无意义舍去，k=,CF=2k=2.【点评】本题是圆、四边形、三角形的综合题目，这三部分性质得综合应用，应用时要留意结合图形，合理选择方法解题的关键.(2022四川省南充市)如图，平面直角坐标系中，O半径长为1，点P(a,0)，P的半径长为2，把P向左平移，当P与O相切时，a的值为（）A3B1C1，3D±1，±3解析：P在向左移动时首先会与O外切，此时点P的坐标为（3,0）；当P接着向左平移，则会与O内切，此时点P坐标为（1,0）；接着向左平移则会与O另一侧出现内切、外切，点P的坐标依次为（-1,0）、（-3,0）。点评：本题考查了两圆相切时，圆心距与半径的关系。对于没有明确两圆内切或外切的状况下，要全面考虑，以免出现漏解。（2022安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为，则阴影部分的面积为（）A.2B.3C.4D.5解析：图案中间的阴影部分是正方形，面积是a2，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为a的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算解答：解：故选A点评：本题考查了正多边形的性质，关键要找出正八边形和原来正方形的关系，尽量用所给数据来计算.（2022浙江省温州市）如图，ABC中，D是边AB上一点，且是BC边上的一点，以EC为直径的经过点D。（1）求证：AB是的切线；（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长。【解析】欲证AB是的切线，只需证明ODAB欲求BD的长，只需利用特别的三角函数值或勾股定理即可。【答案】（1）证明：连结OD，DOB=2DCB，又A=2DCB，A=DOBA+B=90°，BDO=90°，ODAB，AB是O的切线（2）解法一：过点O作OMCD于点M，OD=OE=BE=BO，BDO=90°，B=30°，DOB=60°，DCB=30°，OC=2OM=2，OD=2，BO=4，BD=解法二：过点O作OMCD于点M，连结DE，OMCD，CM=DM又OC=OE，DE=2OM=2，RtBDO中，OE=BE，BO=4，OD=OE=2，BD=（2022湖北襄阳）如图11，PB为O的切线，B为切点，直线PO交O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交O于点A，延长AO与O交于点C，连接BC，AF（1）求证：直线PA为O的切线；（2）摸索究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC6，tanF，求cosACB的值和线段PE的长图11ACBDEFOP【解析】（1）要证PA是O的切线，只要连接OB，再证PAOPBO90°即可（2）OD，OP分别是RtOAD，RtOPA的边，而这两个三角形相像且这两边不是对应边，所以可证得OA2OD·OP，再将EF2OA代入即可得出EF，OD，OP之间的等量关系（3）利用tanF，得出AD，OD之间的关系，据此设未知数后，依据ADBD，ODBC3，AOOCOFFDOF，将AB，AC也表达成含未知数的代数式，再在RtABC中运用勾股定理构建方程求解【答案】解：（1）证明：如下图，连接OB，PB是O的切线，PBO90°OAOB，BAPO于D，ADBD，POAPOB又POPO，PAOPBOPAOPBO90°直线PA为O的切线ACBDEFOP（2）EF24OD·OP证明：PAOPDA90°，OADAOD90°，OPAAOP90°OADOPAOADOPA，即OA2OD·OP又EF2OA，EF24OD·OP（3）OAOC，ADBD，BC6，ODBC3设ADx，tanF，FD2x，OAOF2x3在RtAOD中，由勾股定理，得(2x3)2x232解之得，x14，x20（不合题意，舍去）AD4，OA2x35AC是O的直径，ABC90°而AC2OA10，BC6，cosACBOA2OD·OP，3(PE5)25PE【点评】本题考查了切线的判定、相像三角形的判定和性质以及勾股定理等学问，综合性很强，并富有探究性要证某线是圆的切线，若已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可；若此线与圆的切点未知，可以过圆心作这条直线的垂线段（即为垂直），再证半径即可另外，与圆有关的探究、计算问题，多与相像三角形和勾股定理有关，上来从这方面着手分析思索，有利于思路的快速打开（2022山东东营）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是cmBDCA（第16题图2）（第16题图1）【解析】当圆柱形饮水桶的底面半径最大时，圆外接于ABC；连接外心与B点，可通过勾股定理即可求出圆的半径连接OB，如图，当O为ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，O点在AD上，BD=24cm；在RtOBD中，设半径为r，则OB=r，OD=48-r，r2=（48-r）2+242，解得r=30即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为30cm【答案】30【点评】此题考查把实物图转化为几何图形的实力以及垂径定理和勾股定理的综合应用（2022山西，9，2分）如图，AB是O的直径，CD是O上一点，CDB=20°，过点C作O的切线交AB的延长线于点E，则E等于（）A40°B50°C60°D73°【解析】解：连接OC，如图所示：圆心角BOC与圆周角CBD都对，BOC=2CBD，又CDB=20°，BOC=40°，又CE为圆O的切线，OCCE，即OCE=90°，则E=90°40°=50°故选B（2022年广西玉林市）如图，RtABC的内切圆O与两直角边AB、BC分别相切于点D，E，如图，RtABC的内切圆O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若O的半径为r，则RtMBN的周长为（）ArBrC2rDr分析：连接OD、OE，求出ODB=DBE=OEB=90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD=BE=OD=OE=r，依据切线长定理得出MP=DM，NP=NE，代入MB+NB+MN得出BD+BE，求出即可解：连接OD、OE，O是RtABC的内切圆，ODAB，OEBC，ABC=90°，ODB=DBE=OEB=90°，四边形ODBE是矩形，OD=OE，矩形ODBE是正方形，BD=BE=OD=OE=r，O切AB于D，切BC于E，切MN于P，MP=DM，NP=NE，RtMBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=r+r=2r，故选C（2022湖北武汉）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2，设tanBOC=m，则m的取值范围是解析：解答本题可先画出图形，以A为圆心，2为半径作圆，过O作A切线AC，明显当C与C重合时m取最小值，此时m=tanBOC=tanOAC=，故m答案m（2022甘肃兰州）如图，已知O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，AOB=45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是。第19题图解析：由题意得x有两个极值点，过点P的直线与O相切时，x取得极值，作出切线，利用切线的性质求解即可如图，设过点P且与OA平行的直线与O相切于点D，连接OD，由题意得，OD=1，DOP=45°，ODP=90°，故可得OP=，即x的极