高考数学圆锥曲线专题复习22.pdf

高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-1-高考数学圆锥曲线专题复习(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高考数学圆锥曲线专题复习(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为高考数学圆锥曲线专题复习(word版可编辑修改)的全部内容。高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-2-圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中,如果某曲线 C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f（x，y)=0 的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系 若曲线 C的方程是 f（x,y)=0,则点 P0(x0，y0)在曲线 C上f(x0,y 0)=0；点 P0（x0,y0)不在曲线 C上f（x0，y0)0 两条曲线的交点 若曲线 C1，C2的方程分别为 f1(x，y)=0，f2(x，y）=0,则 f1（x0，y0)=0 点 P0(x0,y0）是 C1，C2的交点 f2（x0，y0)=0 方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有 n 个不同的交点；方程组没有实数解,曲线就没有 交点.高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-3-2。圆 圆的定义：点集：M|OM|=r,其中定点 O为圆心，定长 r 为半径.圆的方程：（1）标准方程 圆心在 c(a，b)，半径为 r 的圆方程是(x-a)2+（yb)2=r2 圆心在坐标原点,半径为 r 的圆方程是 x2+y2=r2（2)一般方程 当 D2+E24F0 时，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的 一般 方程,圆心为（-2D,-2E),半 径是24F-ED22。配方，将方 程x2+y2+Dx+Ey+F=0 化为（x+2D）2+（y+2E)2=44F-ED22 当 D2+E24F=0时，方程表示一个点（-2D，-2E）;当 D2+E2-4F0 时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系 已知圆心 C(a，b），半径为 r,点 M的坐标为（x0,y0），则 高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-4-MC r点 M在圆 C内，MC=r点 M在圆 C上，MC r点 M在圆 C内，其中|MC=2020b)-(ya)-(x.（3)直线和圆的位置关系 直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交有两个公共点 直线与圆相切有一个公共点 直线与圆相离没有公共点 直线和圆的位置关系的判定(i）判别式法(ii）利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0的距离 d=22CBbAaBA 与半径 r 的大小关系来判定.3。椭圆、双曲线和抛物线基本知识 椭 圆 双曲线 抛物线 轨迹条件 M|MF1+MF2=2a，F1F22a M|MF1|-MF2.=2a，F2F2|2a。M MF=点 M到直线 l 的距离。圆 形 标准方程 22ax+22by=1（ab0）22ax-22by=1(a 0，b0)y2=2px（p0)顶 点 A1(-a,0),A2（a,0）;B1(0,b)，B2（0，A1（0,a),A2（0,a）O（0,0)曲 线 性 质 高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-5-b）轴 对称轴 x=0，y=0 长轴长：2a 短轴长：2b 对称轴 x=0,y=0 实轴长：2a 虚轴长:2b 对称轴 y=0 焦 点 F1（-c,0）,F2(c,0)焦点在长轴上 F1(-c,0），F2(c，0)焦点在实轴上 F（2P，0)焦点对称轴上 焦 距|F1F2=2c，c=b2-a2 F1F2=2c，c=b2a2 准 线 x=ca2 准线垂直于长轴，且在椭圆外。x=ca2 准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧。x=2p 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等。离心率 e=ac，0e1 e=ac,e 1 e=1 4.圆锥曲线的统一定义 平面内的动点 P（x，y）到一个定点 F（c，0）的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l的距离之 比是一个常数 e（e0）,则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F（c，0)称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e 称为离心率.当 0e1 时，轨迹为椭圆,当 e=1 时，轨迹为抛物线当 e1 时,轨迹为双曲线 5.坐标变换 高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-6-坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向）叫做 坐标变换。实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程。坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴。坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M，它在原坐标系 xOy 中的坐标是 9x，y），在新坐标系 x Oy中的坐标是(x,y)。设新坐标系的原点O在原坐标系xOy中的坐标是(h，k），则 x=x+h x=x-h（1)或（2)y=y+k y=yk 公式(1）或（2)叫做平移（或移轴）公式.中心或顶点在(h,k）的圆锥曲线方程见下表.方 程 焦 点 焦 线 对 称轴 椭圆 22h)-(xa+22k)-(yb=1（c+h,k)x=ca2+h x=h y=k 22h)-(xb+22k)-(ya=1（h,c+k)y=ca2+k x=h y=k 双 曲线 22h)-(xa22k)-(yb=1（c+h,k）=ca2+k x=h y=k 22k)-(ya-22h)-(xb=1（h,c+h）y=ca2+k x=h y=k 高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-7-抛 物线（y-k)2=2p（x-h)(2p+h,k）x=2p+h y=k（y-k)2=2p(x-h)(2p+h,k)x=2p+h y=k(x h）2=2p(y-k）(h,2p+k)y=2p+k x=h(x h）2=-2p（y-k)（h,2p+k）y=2p+k x=h 二、知识点、能力点提示（一）曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点 说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简。特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标。三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：.椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质。椭圆的参数方程；.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；.抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质;考试要求：.(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程;。（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；.（3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；.(4）了解圆锥曲线的初步应用.四对考试大纲的理解 高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-8-高考圆锥曲线试题一般有 3 题(1 个选择题，1 个填空题,1 个解答题)，共计 22 分左右，考查的知识点约为 20 个左右.其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查.选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主，难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题,综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视.求圆锥曲线的方程【复习要点】求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式-根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1（m0,n0）.定量-由题设中的条件找到“式中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-9-【例题】【例1】双曲线2224byx=1（bN）的两个焦点F1、F2,P为双曲线上一点，OP5,|PF1，F1F2，PF2成等比数列，则b2=_。解:设F1(c，0）、F2（c,0)、P（x，y），则|PF1|2+PF2|2=2（PO2+|F1O2）2（52+c2）,即PF1|2+|PF2|250+2c2,又|PF1|2+|PF2|2=(PF1|PF2）2+2|PF1|PF2，依双曲线定义，有PF1PF2=4,依已知条件有PF1|PF2|=|F1F2|2=4c2 16+8c250+2c2，c2317,又c2=4+b2317,b235,b2=1。【例2】已知圆C1的方程为 3201222yx，椭圆C2的方程为 12222byaxab 0，C2的离心率为22，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。解：由.,2,22,222222cbcaace得 设椭圆方程为.122222bybx 设).1,2().,().,(2211由圆心为yxByxA .2,42121yyxx 又,12,12222222221221bybxbybx 两式相减，得.022222122221byybxx ,0)(2)(21212121yyyyxxxx 又.1.2.421212121xxyyyyxx得).2(1xyAB的方程为直线 即3 xy yxC1F2F1OAB高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-10-将得代入,1232222bybxxy.021812322bxx.07224.22bCAB相交与椭圆直线 由.3204)(222122121xxxxxxBA 得.3203722422b 解得 .82b 故所有椭圆方程.181622yx【例3】过点（1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为22的椭圆C相交于A、B两点,直线y=21x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程。解法一：由e=22ac，得21222aba,从而a2=2b2,c=b.设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1，y1）,B（x2,y2）在椭圆上。则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12x22)+2(y12y22）=0,.)(221212121yyxxxxyy 设AB中点为(x0，y0)，则kAB=002yx,又(x0,y0)在直线y=21x上，y0=21x0，于是002yx=1，kAB=1,设l的方程为y=x+1。右焦点（b，0)关于l的对称点设为（x，y）,byxbxybxy11 1221解得则 由点(1,1 b)在椭圆上，得 1+2(1b)2=2b2，b2=89,1692a.所求椭圆C的方程为2291698yx=1，l的方程为y=x+1.BAy=12xoyxF2F1高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-11-解法二：由e=21,22222abaac得,从而a2=2b2，c=b。设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x1），将l的方程代入C的方程，得（1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,则x1+x2=22214kk,y1+y2=k(x11）+k（x21)=k（x1+x2)2k=2212kk。直线l：y=21x过AB的中点(2,22121yyxx）,则2222122121kkkk，解得k=0,或k=1。若k=0，则l的方程为y=0,焦点F(c,0）关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0 舍去，从而k=1，直线l的方程为y=(x1),即y=x+1,以下同解法一。解法 3：设椭圆方程为)1()0(12222babyax 直线l不平行于y轴,否则AB中点在x轴上与直线ABxy过21中点矛盾。故可设直线)2()1(xkyl的方程为 整理得：消代入y)1()2()3(02)(2222222222bakaxakxbak)()(2211yxByxA，设，22222212bakakxx知：代入上式得：又kxxkyy2)(2121 21221xxkk，212222222akbakkk，2122kabkk，22e又 122)(22222222eacaabk，xyl1的方程为直线，222ba此时，02243)3(22bxx化为方程，0)13(8)1(241622bb 33b,)4(22222byxC的方程可写成：椭圆，2222bbac又，)0(，右焦点bF，)(00yxlF，的对称点关于直线设点，则byxbxybxy112121000000，,得：在椭圆上，代入，又点)4()11(b22)1(21bb，3343b，1692b,892a 高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-12-所以所求的椭圆方程为：11698922yx 【例4】如图,已知P1OP2的面积为427，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为213的双曲线方程。解：以O为原点,P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.设双曲线方程为2222byax=1(a0，b0）由e2=2222)213()(1abac，得23ab。两渐近线OP1、OP2方程分别为y=23x和y=23x 设点P1（x1,23x1)，P2(x2，23x2）（x10,x20),则由点P分21PP所成的比=21PPPP=2，得P点坐标为（22,322121xxxx）,又点P在双曲线222294ayax=1 上，所以222122219)2(9)2(axxaxx=1，即（x1+2x2）2(x12x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2 ,427131241321sin|211312491232tan1tan2sin21349|,21349|212121121212222212121121xxOPPOPOPSOxPOxPOPPxxxOPxxxOPOPP又 即x1x2=29 由、得a2=4,b2=9 故双曲线方程为9422yx=1.【例5】过椭圆 C：)0(12222babxay上一动点 P 引圆 O：x2+y2=b2的两条切线 PA、PB，A、B为切点，直线AB与x轴，y轴分别交于 M、N两点。（1)已知 P 点坐标为（x0，y0）oyxPP2P1高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-13-并且x0y00,试求直线AB方程；（2）若椭圆的短轴长为 8,并且1625|2222ONbOMa,求椭圆C的方程;（3)椭圆 C上是否存在点P，由 P 向圆 O所引两条切线互相垂直？若存在,请求出存在的条件；若不存在，请说明理由.解:(1）设A(x1，y1），B(x2，y2）切线 PA：211byyxx，PB：222byyxx P点在切线 PA、PB上,2020220101byyxxbyyxx 直线AB的方程为)0(00200yxbyyxx(2)在直线AB方程中，令y=0，则 M(02xb，0）；令x=0,则 N(0,02yb)1625)(|22220220222222babxaybaONbOMa 2b=8 b=4 代入得a2=25，b2=16 椭圆 C方程：)0(1162522xyxy （注:不剔除xy0,可不扣分）（3）假设存在点 P(x0,y0）满足 PAPB，连接 OA、OB由PA=|PB知，四边形 PAOB为正方形，OP|=2OA|220202byx 又P点在椭圆 C上 22202202baybxa 由知x2222202222220,)2(babaybabab ab0 a2 b20(1)当a22b20，即a2b时，椭圆 C上存在点，由 P 点向圆所引两切线互相垂直；(2)当a22b20，即ba2b时，椭圆 C上不存在满足条件的 P 点【例6】已知椭圆 C的焦点是 F1（3，0）、F2(3,0），点 F1到相应的准线的距离为33，过 F2点且倾斜角为锐角的直线l与椭圆 C交于 A、B两点，使得F2B|=3|F2A|。（1)求椭圆 C的方程；（2）求直线l的方程。高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-14-解:(1）依题意，椭圆中心为 O（0，0），3c 点 F1到相应准线的距离为1333,322bcb，a2=b2+c2=1+3=4 所求椭圆方程为1422yx（2)设椭圆的右准线l与l交于点 P，作 AM l，AN l,垂足 分别为 M、N.由椭圆第二定义，得|22AMeAFeAMAF 同理|BF2=e|BN 由 RtPAMRt PBN，得|2|2|21|2AMeAFABPA9 分 lePAAMPAM33232121|cos的斜率2tanPAMk.直线l的方程062)3(2yxxy即 【例7】已知点B（1,0）,C（1，0），P是平面上一动点,且满足.|CBPBBCPC（1）求点 P的轨迹 C对应的方程;（2）已知点 A（m，2）在曲线 C上，过点 A作曲线 C的两条弦 AD和 AE，且 AD AE,判断：直线 DE是否过定点?试证明你的结论。（3）已知点 A（m，2）在曲线 C上,过点 A作曲线 C的两条弦 AD，AE,且 AD，AE的斜率k1、k2满足k1k2=2.求证:直线 DE过定点，并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(|),(222xyxyxCBPBBCPCyxP化简得得代入 xylOBNAMF2F1P高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-15-).2,5(),5(12,0)2()5()2(),14(444424:).24,14(4),1(12:).24,14(,242,0484,4)1(2).2,1(,14)2,()2(222222221222过定点即化简得方程为则直线得代入同理可设直线可得由得代入的方程为设直线的坐标为点得代入将xkkyyxkykkxkkkkkyDEkkExyxkyAEkkDkyykykyxyxkyADAmxymA),1,(21212,2,0)2(24),(),(,14)2,()3(212211222211112xxxyxykkbxkbxkxybkxyyxEyxDbkxyDEmxymAAEAD得由的方程为设直线得代入将)2,1(,),2,1(,2)1(22).2,1(,2)1(22).2().2(,)2(,)2(2,02)2()(22()2(,2222212212212122211定点为舍去不合过定点得代入将过定点得代入将代入化简得将且xkkkxybkxykbxkkkxybkxykbkbkbkbkbxxkkbxxbxxkkbxxkbkxybkxy【例8】已知曲线332)0,0(12222ebabyax的离心率，直线l过 A（a,0)、B（0，b）两点，原点 O到l的距离是.23(）求双曲线的方程；（）过点 B作直线 m交双曲线于 M、N两点，若23 ONOM，求直线m的方程.解：（)依题意，,0,1abaybxbyaxl即方程 由原点 O到l的距离 为23，得 2322cabbaab 又332ace 3,1ab 故所求双曲线方程为1322yx （)显然直线 m不与x轴垂直,设 m方程为y=kx1,则点 M、N坐标（11,yx）、(22,yx）是方程组 13122yxkxy 的解 高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-16-消去y，得066)31(22kxxk 依设，,0312k由根与系数关系,知136,136221221kxxkkxx)1)(1(),(),(212121212211kxkxxxyyxxyxyxONOM =1)()1(21212xxkxxk=113613)1(62222kkkk =11362k 23 ONOM 11362k=23，k=21 当 k=21时，方程有两个不等的实数根 故直线l方程为121,121xyxy或 【例9】已知动点P与双曲线13222yx的两个焦点1F、2F的距离之和为定值，且21cosPFF的最小值为91(1)求动点P的轨迹方程；（2）若已知)3,0(D，M、N在动点P的轨迹上且DNDM，求实数的取值范围 解：（1）由已知可得:5c，912)2(2222acaa 4,92222caba 所求的椭圆方程为 14922yx.(2）方法一:由题知点 D、M、N共线，设为直线 m,当直线 m的斜率存在时,设为 k,则直线 m的方程为 y=k x+3 代入前面的椭圆方程得 (4+9k 2）x 2+54 k+45=0 由判别式 045)94(4)54(22kk，得952k.再设 M（x 1，y 1），N(x 2，y 2),则一方面有)3(,()3,()3,(222211yxyxDNyxDM,得)3(32121yyxx 高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-17-另一方面有 2219454kkxx，2219445kxx 将21xx代入式并消去 x 2可得 94)1(532422k,由前面知，536402k 581)1(532492,解得 551。又当直线 m的斜率不存在时，不难验证：551或,所以 551为所求。方法二：同上得 )3(32121yyxx 设点 M（3cos，2sin）,N(3cos，2sin)则有)3sin2(3sin2coscos 由上式消去并整理得)(1251813sin22,由于1sin1 1)(1251813122,解得551为所求.方法三:设法求出椭圆上的点到点 D的距离的最大值为 5，最小值为 1.进而推得的取值范围为551.【求圆锥曲线的方程练习】一、选择题 1 已知直线x+2y3=0 与圆x2+y2+x6y+m=0 相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，则m等于（）A。3 B。3 C.1 D。1 2中心在原点，焦点在坐标为(0，52）的椭圆被直线 3xy2=0 截得的弦的中点的高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-18-横坐标为21，则椭圆方程为()12575D.17525C.1252752B.1752252A.22222222yxyxyxyx 二、填空题 3直线l的方程为y=x+3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线 12x24y2=3 的焦点作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为_.4已知圆过点P(4,2）、Q（1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为 43，则该圆的方程为_。三、解答题 5已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且|M1M2=3104,试求椭圆的方程。6某抛物线形拱桥跨度是 20 米，拱高 4 米，在建桥时每隔 4 米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.7已知圆C1的方程为（x2）2+(y1)2=320，椭圆C2的方程为高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-19-2222byax=1(ab0)，C2的离心率为22，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程.参考答案 一、1.解析：将直线方程变为x=32y，代入圆的方程x2+y2+x6y+m=0,得（32y）2+y2+(32y）+m=0。整理得 5y220y+12+m=0,设P(x1，y1）、Q(x2,y2）则y1y2=512m,y1+y2=4.又P、Q在直线x=32y上,x1x2=（32y1）（32y2)=4y1y26(y1+y2）+9 故y1y2+x1x2=5y1y26（y1+y2）+9=m3=0，故m=3。答案：A 2.解析：由题意,可设椭圆方程为：2222bxay=1,且a2=50+b2,即方程为222250bxby=1.将直线3xy2=0代入，整理成关于x的二次方程.由x1+x2=1 可求得b2=25,a2=75。答案：C 二、3。解析:所求椭圆的焦点为F1(1，0),F2（1，0）,2a=PF1|+PF2|。欲使 2a最小，只需在直线l上找一点P.使|PF1+PF2最小,利用对称性可解。答案：4522yx=1 4。解析:设所求圆的方程为（xa）2+（yb)2=r2 则有222222222)32(|)3()1()2()4(rarbarba 2745130122rbarba或 由此可写所求圆的方程.高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-20-答案:x2+y22x12=0 或x2+y210 x8y+4=0 三、5.解：MF|max=a+c，|MF|min=ac，则(a+c)(ac)=a2c2=b2,b2=4，设椭圆方程为14222yax 设过M1和M2的直线方程为y=x+m 将代入得:（4+a2）x22a2mx+a2m24a2=0 设M1(x1,y1）、M2(x2，y2），M1M2的中点为(x0，y0)，则x0=21（x1+x2)=224ama,y0=x0+m=244am。代入y=x，得222444amama，由于a24,m=0,由知x1+x2=0，x1x2=2244aa,又M1M2|=31044)(221221xxxx,代入x1+x2，x1x2可解a2=5,故所求椭圆方程为：4522yx=1.6.解:以拱顶为原点,水平线为x轴,建立坐标系，如图,由题意知，|AB|=20，OM|=4,A、B坐标分别为（10，4)、(10,4）设抛物线方程为x2=2py，将A点坐标代入，得 100=2p（4),解得p=12.5，于是抛物线方程为x2=25y.由题意知E点坐标为(2，4）,E点横坐标也为 2，将 2 代入得y=0.16,从而EE=(0.16）（4)=3。84.故最长支柱长应为 3.84 米。7。解:由e=22,可设椭圆方程为22222bybx=1,高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-21-又设A(x1,y1）、B(x2，y2)，则x1+x2=4,y1+y2=2,又2222222212212,12bybxbybx=1，两式相减，得22221222212byybxx=0，即(x1+x2）（x1x2）+2(y1+y2)(y1y2）=0。化简得2121xxyy=1,故直线AB的方程为y=x+3，代入椭圆方程得3x212x+182b2=0。有=24b2720，又AB|=3204)(221221xxxx,得3209722422b，解得b2=8。故所求椭圆方程为81622yx=1.直线与圆锥曲线【复习要点】直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等。突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能。1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2。当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍。高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-22-【例题】【例1】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上,直线y=x+1 与椭圆交于P和Q,且OPOQ,PQ|=210,求椭圆方程。解：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0，n0)，P(x1,y1）,Q(x2,y2）由1122nymxxy 得（m+n)x2+2nx+n1=0,=4n24（m+n）(n1）0，即m+nmn0,由OPOQ，所以x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+（x1+x2)+1=0，nmnnmn2)1(2+1=0，m+n=2 又 2)210()(4nmmnnm2，将m+n=2，代入得mn=43 由、式得m=21，n=23或m=23，n=21 故椭圆方程为22x+23y2=1或23x2+21y2=1.【例2】如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为4的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A）且交抛物线于M、N两 点，求AMN面积最大时直线l的方程，并求AMN的最大面积。解：由题意,可设l的方程为y=x+m,5m0。由 方 程 组xymxy42，消 去y,得x2+（2m 4）x+m2=0 直线l与抛物线有两个不同交点M、N，方程的判别式=（2m4）24m2=16（1m)0,解得m1，又5m0,m的范围为（5，0)设M（x1,y1），N（x2，y2)则x1+x2=42m，x1x2=m2，高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-23-MN|=4)1(2m.点A到直线l的距离为d=25m.S=2（5+m）m1，从而S2=4(1m）（5+m）2=2(22m）(5+m）(5+m)2(35522mmm）3=128.S82，当且仅当 22m=5+m,即m=1 时取等号。故直线l的方程为y=x1，AMN的最大面积为 82。【例3】已知双曲线C：2x2y2=2 与点P（1,2）。（1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.（2)若Q（1，1）,试判断以Q为中点的弦是否存在。解：（1)当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=1，与曲线C有一个交点。当l的斜率存在时，设直线l的方程为y2=k(x1)，代入C的方程，并整理得（2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0(）(）当 2k2=0，即k=2时，方程(）有一个根,l与C有一个交点()当 2k20，即k2时=2(k22k)24（2k2）（k2+4k6）=16(32k）当=0,即 32k=0,k=23时，方程（）有一个实根，l与C有一个交点.当0,即k23，又k2,故当k2或2k2或2k23时，方程(*）有两不等实根，l与C有两个交点。当0，即k23时，方程(*）无解，l与C无交点.综上知:当k=2，或k=23,或k不存在时,l与C只有一个交点；当2k23，或2k2,或k2时,l与C有两个交点；高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-24-当k23时，l与C没有交点.(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A（x1，y1）,B(x2，y2），则 2x12y12=2,2x22y22=2 两式相减得:2(x1x2)(x1+x2）=(y1y2)（y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=2 2(x1x2)=y1y1 即kAB=2121xxyy=2 但渐近线斜率为2,结合图形知直线AB与C无交点,所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在。【例4】如图，已知某椭圆的焦点是F1(4,0)、F2(4，0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B=10，椭圆上不同的两点A（x1，y1），C（x2,y2)满足条件:F2A、|F2B、|F2C|成等差数列。(1)求该弦椭圆的方程;（2）求弦AC中点的横坐标；（3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取值范围.解:（1）由椭圆定义及条件知，2a=F1B|+F2B|=10，得a=5,又c=4,所以b=22ca=3。故椭圆方程为92522yx=1。（2)由点B（4,yB)在椭圆上，得F2B|=|yB=59。因为椭圆右准线方程为x=425，离心率为54，根据椭圆定义,有F2A|=54(425x1）,|F2C|=54（425x2），由|F2A、F2B、F2C|成等差数列，得 54（425x1)+54(425x2)=259,由此得出:x1+x2=8.设弦AC的中点为P(x0,y0)，则x0=221xx=4.(3)解法一:由A(x1，y1）,C(x2,y2）在椭圆上。oyxCABBF1F2高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-25-得25925925925922222121yxyx 得 9(x12x22)+25（y12y22)=0，即 9)()2(25)2(21212121xxyyyyxx=0（x1x2)将kxxyyyyyxxx1,2,422121021021(k0）代入上式，得 94+25y0(k1)=0（k0)即k=3625y0(当k=0时也成立)。由点P（4,y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y04k=y0925y0=916y0.由点P(4，y0)在线段BB(B与B关于x轴对称）的内部，得59y059，所以516m516。解法二:因为弦AC的中点为P（4,y0），所以直线AC的方程为 yy0=k1（x4)（k0)将代入椭圆方程92522yx=1，得（9k2+25）x250(ky0+4)x+25（ky0+4）2259k2=0 所以x1+x2=259)4(5020kk=8，解得k=3625y0。（当k=0时也成立)（以下同解法一)。【例5】已知双曲线 G 的中心在原点,它的渐近线与圆2210200 xyx相切过点 4,0P 作斜率为14的直线l,使得l和G交于,A B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足2PAPBPC（1)求双曲线G的渐近线的方程；(2)求双曲线G的方程；（3）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程 高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-26-解：(1）设双曲线G的渐近线的方程为：ykx，则由渐近线与圆2210200 xyx相切可得：2551kk 所以,12k 双曲线G的渐近线的方程为：12yx（2）由（1）可设双曲线G的方程为：224xym 把直线l的方程144yx代入双曲线方程，整理得2381640 xxm 则8164,33ABABmxxx x （*）2PAPBPC,P A B C共线且P在线段AB上,2PABPPCxxxxxx，即：4416BAxx,整理得：4320ABABxxx x 将（*)代入上式可解得：28m 所以，双曲线的方程为221287xy（3）由题可设椭圆S的方程为:22212 728xyaa下面我们来求出S中垂直于l的平行弦中点的轨迹 设弦的两个端点分别为 1122,M x yN xy，MN的中点为00,P xy，则 2211222222128128xyaxya 两式作差得:121212122028xxxxyyyya 由于12124yyxx，1201202,2xxxyyy 所以，0024028xya,高考数学圆锥曲线专题复习(word 版可编辑修改)-27-所以，垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线24028xya截在椭圆 S 内的部分 又由题，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以,211122a所以，256a，椭圆 S 的方程为：2212856xy 点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标)之间的关系)是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）【例6】设抛物线过定点 1,0A,且以直线1x 为准线（1）求抛物线顶点的轨迹C的方程；(2）若直线l与轨迹C