2021年辽宁省本溪市中考数学真题(解析版).docx

2021年辽宁省本溪市中考数学试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 5的相反数是( )A. B. C. 5D. -5【答案】C【解析】【分析】根据相反数的定义解答即可.【详解】-5的相反数是5故选C【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键.2. 下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形及轴对称图形的概念即可解答【详解】选项A，是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；选项B，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；选项C，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；选项D，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意故选A【点睛】本题考查了中心对称图形及轴对称图形的概念，熟练运用中心对称图形及轴对称图形的概念是解决问题的关键3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂乘法法则、积的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则及合并同类项法则逐一计算即可得答案【详解】选项A，根据同底数幂乘法法则可得，选项A错误；选项B，根据积的乘方的运算法则可得，选项B正确；选项C，根据同底数幂的的除法法则可得，选项C错误；选项D，与x不是同类项，不能合并，选项D错误故选B【点睛】本题考查了同底数幂乘法法则、积的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则及合并同类项法则，熟练运用法则是解决问题的关键4. 如图，该几何体的左视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出从左面看到的图形即可【详解】解：该几何体的左视图是一个长方形，并且有一条隐藏的线用虚线表示，如图所示：，故选：D【点睛】本题考查三视图，具备空间想象能力是解题的关键，注意看不见的线要用虚线画出5. 如表是有关企业和世界卫生组织统计的5种新冠疫苗的有效率，则这5种疫苗有效率的中位数是（ ）疫苗名称克尔来福阿斯利康莫德纳辉瑞卫星V有效率79%76%95%95%92%A. 79%B. 92%C. 95%D. 76%【答案】B【解析】【分析】根据中位数的定义，对5种新冠疫苗的有效率从小到大（或从大到小）进行排序，取中间（第三个）的有效率即可【详解】解：根据中位数的定义，将5种新冠疫苗的有效率从小到大进行排序，如下：76%，79%，92%，95%，95%数据个数为5，奇数个，处于中间的数为第三个数，为92%故答案为B【点睛】此题考查了中位数的定义，求中位数之前不要忘记对原数据进行排序是解决本题的关键6. 反比例函数的图象分别位于第二、四象限，则直线不经过的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】先根据反比例函数y=的图象在第二、四象限内判断出k的符号，再由一次函数的性质即可得出结论【详解】解：反比例函数y=的图象在第二、四象限内，k0，一次函数y=kx+k的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限故选：A【点睛】本题考查的是反比例函数的性质和一次函数的性质，注意：反比例函数y=中，当k0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限7. 如图为本溪、辽阳6月1日至5日最低气温的折线统计图，由此可知本溪，辽阳两地这5天最低气温波动情况是（ ）A 本溪波动大B. 辽阳波动大C. 本溪、辽阳波动一样D. 无法比较【答案】C【解析】【分析】分别计算两组数据的方差，比较，即可判断【详解】解：辽阳的平均数为：，方差为：，本溪的平均数为：，方差为：，本溪、辽阳波动一样，故选：C【点睛】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好8. 一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ）A. 80°B. 95°C. 100°D. 110°【答案】B【解析】【分析】由三角形的外角性质得到3=4=35°，再根据三角形的外角性质求解即可【详解】解：如图，A=90°-30°=60°，3=1-45°=80°-45°=35°，3=4=35°，2=A+4=60°+35°=95°，故选：B【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键9. 如图，在中，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（ ）A. B. C. D. 4【答案】C【解析】【分析】根据作图可知平分，由三线合一，解，即可求得【详解】平分,点F为的中点的周长为:故选C【点睛】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出边是解题的关键10. 如图，在矩形中，动点P沿折线运动到点B，同时动点Q沿折线运动到点C，点在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度设运动时间为t秒，的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合运动状态分段讨论：当点P在AD上，点Q在BD上时，过点P作，通过解直角三角形求出PE，表示出面积的函数表达式；当点P在BD上，点Q在BC上时，过点P作，通过解直角三角形求出PE，表示出面积的函数表达式，利用二次函数的性质即可得出结论【详解】解：当点P在AD上，点Q在BD上时，则，过点P作，的面积，为开口向上的二次函数；当时，点P与点D重合，点Q与点B重合，此时的面积；当点P在BD上，点Q在BC上时，过点P作，则，即，的面积，为开口向下的二次函数；故选：D【点睛】本题考查动态问题的函数图象，根据运动状态写出函数解析式，利用二次函数的性质进行判断是解题的关键二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为_【答案】x2【解析】【分析】二次根式的被开方数大于等于零，据此解答【详解】解：依题意得 2-x0解得 x2故答案为：x2【点睛】考查了二次根式的意义和性质概念：式子（a0）叫二次根式性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义12. 分解因式：_【答案】【解析】【分析】先提公因式2，再利用完全平方公式分解即可【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键13. 有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着，0，2，从中随机抽取一张，则抽出卡片上写的数是的概率为_【答案】【解析】【分析】利用概率公式即可求解【详解】解：抽出卡片上写的数是的概率为，故答案为：【点睛】本题考查简单事件求概率，掌握概率公式是解题的关键14. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_【答案】【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，得出关于k的方程，求解即可【详解】关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，=4+12k=0，解得k=故答案为：【点睛】本题考查了运用一元二次方程根的判别式，当>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当< 0时，一元二次方程没有实数根15. 为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同设B种奖品的单价是x元，则可列分式方程为_【答案】【解析】【分析】设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合用300元购买A种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同，即可得出关于x的分式方程【详解】解：设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，依题意得：，故答案为：【点睛】本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程16. 如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C和点D，则_【答案】【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得，再利用正切的定义求解即可【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等、求角的正切值，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键17. 如图，是半圆的直径，C为半圆的中点，反比例函数的图象经过点C，则k的值为_【答案】【解析】【分析】连接CD，并延长交x轴于点P，分别求出PD，PO，CD和PC的长，过点C作CFx轴于点F，求出PF，CF的长，进一步得出点C的坐标，从而可得出结论【详解】解：连接CD，并延长交x轴于点P，如图，C为半圆的中点，CPAB，即ADP=90°又AOB=90°APD=ABOA（2，0），B（0，1）AO=2，OB=1 又 过点C作CFx轴于点F， 点C的坐标为（，）点C在反比例函数的图象上，故答案为：【点睛】本题考查反比例函数解析式，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；求出点C坐标是关键18. 如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，交于点G，连接交于点H，连接下列四个结论中：；平分；，正确的是_（填序号即可）【答案】【解析】【分析】用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；过点C作CMEG于M，通过证明BECMEC进而说明CMGCDG，可得SCEG=SBEC+SCDG>SBECS四边形CDQH ；由折叠可得:GEC=DCE，由ABCD可得BEC=DCE，结论成立；连接DH，MH，HE，由BECMEC，CMGCDG可知：BCE=MCE,MCG=DCG，则ECG=ECM+GCM=BCD，由于ECHP，则CHP=45°，由折叠可得:EHP=CHP=45°，利用勾股定理可得 EG2-EH2=GH2，由CMEG，EHCG，得到EMC=EHC=90°，所以E，M，H，C四点共圆，通过CMHCDH，易证GHQGDH，则得GH2=GQ·GD，从而说明成立【详解】解：四边形ABCD是正方形,A=B=BCD=D=90°由折叠可知:GEP=BCD=90°，F=D=90BEP+AEG=90°，A=90°AEG+AGE=90°，BEP=AGE，FGQ=AGE，BEP=FGQ，B=F=90，PBEQFG，故说法正确，符合题意；过点C作CMEG于M，由折叠可得:GEC=DCE，ABCD，BEC=DCE，BEC=GEC，在BEC和MEC中，B=EMC=90°，BEC=GEC， CE= CEBECMEC(AAS)CB=CM，SBEC=SMBC ，CG=CG，RtCMGRtCDG(HL)，SCMG=SCDG ，SCEG=SBEC+SCDG>SBEC +S四边形CDQH说法不正确，不符合题意；由折叠可得:GEC=DCE，ABCD，BEC=DCE，BEC=GEC，即EC平分BEG说法正确，符合题意；连接DH，MH，HE，如图：BECMEC，CMGCDG，BCE=MCE，MCG=DCG，ECG=ECM+GCM=BCD=45°，ECHP，CHP=45°，GHQ=CHP=45°，由折叠可得:EHP=CHP=45°，EHCGEG2 -EH2=GH2由折叠可知:EH=CHEG2 -CH2= GH2，CMEG，EHCG，EMC=EHC=90°，E，M，H，C四点共圆，HMC=HEC=45°，在CMH和CDH中，CM=CD，MCG=DCG， CH= CHCMHCDH(SAS)CDH=CMH=45 °，CDA=90°，GDH=45°GHQ=CHP=45°，GHQ=GDH=45°，HGQ=DGH，GHQGDH ，GH2=GQ·GD GE2-CH2=GQ·GD故说法正确，符合题意；综上可得，正确的结论有:故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质、翻折问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、三角形的相似的判定与性质翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）19. 先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】先把分式化简后，再求出的值代入求出分式的值即可【详解】当时，原式【点睛】本题考查了分式的化简值，特殊角的三角函数值，熟练分解因式是解题的关键20. 为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动竞赛项目有：A回顾重要事件；B列举革命先烈；C讲述英雄故事；D歌颂时代精神学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）本次被调查的学生共有_名；（2）在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为_，并把条形统计图补充完整；（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率【答案】（1）60；（2）90°，补全条形统计图见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可知A项目的有9人，占15%，即可求出总人数；（2）作差求出B项目的人数，按照比例求出其圆心角度数并补全条形统计图；（3）列出表格，利用概率公式即可求解详解】解：（1）；（2）B项目的总人数为人，“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为，补全条形统计图如下：；（3）列出表格如下：小华小光小艳小萍小华小华，小光小华，小艳小华，小萍小光小华，小光小光，小艳小光，小萍小艳小华，小艳小光，小艳小萍，小艳小萍小华，小萍小光，小萍小萍，小艳共有12种情况，其中恰好小华和小艳的有2种，P(恰好小华和小艳)【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图综合，从统计图中获取相关信息是解题的关键四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）21. 某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，购买5本手绘纪念册和2本图片纪念册共需225元（1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共40本，总费用不超过1100元，那么最多能购买手绘纪念册多少本？【答案】（1）每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元；（2）最多能购买手绘纪念册10本【解析】【分析】（1）设每本手绘纪念册x元，每本图片纪念册y元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；（2）设购买手绘纪念册a本，则购买图片纪念册本，根据题意列出不等式，求解不等式即可【详解】解：（1）设每本手绘纪念册x元，每本图片纪念册y元，根据题意可得：，解得，答：每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元；（2）设购买手绘纪念册a本，则购买图片纪念册本，根据题意可得：，解得，最多能购买手绘纪念册10本【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、不等式的实际应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键22. 如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°（1）求无人机的高度（结果保留根号）；（2）求的长度（结果精确到1m）（参考数据：，）【答案】（1）无人机的高度AC=；（2）AB的长度为382m【解析】【分析】（1）在RtCDA中，利用正切函数即可求解；（2）先证明四边形ABFC为矩形，在RtBFE中，求得EFm，即可求解【详解】（1）根据题意得：CD=8(m)，在RtCDA中，ACD=90°，ADC=60°，AC=120(m)，答：无人机的高度AC=；（2）根据题意得：DE=8(m)，则CE= DE+CD=520(m)，过点B作BFCE于点F，则四边形ABFC为矩形，AB=FC，BF=AC=，在RtBFE中，BFE=90°，BEF=37°，EF=138.4(m)，AB=FC=CE-EF=520-138=382(m)，答：AB的长度为382m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用五、解答题（满分12分）23. 某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y=-2x+220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；（3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元【解析】【分析】（1）根据题意中销售量y（个）与售价x（元）之间的关系即可得到结论；（2）根据题意列出方程（-2x+220）（x-40）=2400，解方程即可求解；（3）设每星期利润为w元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题【详解】（1）由题意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220；（2）由题意可得，（-2x+220）（x-40）=2400，解得，当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元（3）设该网店每星期的销售利润为w元，由题意可得w=（-2x+220）（x-40）=，当时，w有最大值，最大值为2450，当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性质解决最值问题六、解答题（满分12分）24. 如图，在中，延长到点D，以为直径作，交的延长线于点E，延长到点F，使（1）求证：是的切线；（2）若，求的长【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OE，通过倒角得到，即可得证；（2）连接DE、OF，通过证明求出AB的长度，在和中应用勾股定理，得出方程，即可求解【详解】解：（1）连接OE，即，是切线；（2）连接DE、OF，的半径为5，AD为直径，设BF的长为x，则，在中，在中，解得【点睛】本题考查切线的判定、相似三角形的判定与性质，掌握上述基本性质定理、并作出合适的辅助线是解题的关键七、解答题（满分12分）25. 在中，平分，交对角线于点G，交射线于点E，将线段绕点E顺时针旋转得线段（1）如图1，当时，连接，请直接写出线段和线段的数量关系；（2）如图2，当时，过点B作于点，连接，请写出线段，之间的数量关系，并说明理由；（3）当时，连接，若，请直接写出与面积的比值【答案】（1）；（2）,理由见解析；（3）【解析】【分析】（1）延长，交于点，根据已知条件证明即可；（2）连接，过F作交的延长线于点，由，得，在由 三边关系利用勾股定理可得；（3）证明，得值，与的面积分别与的面积成比例，可得与面积的比值【详解】（1）如图,延长，交于点，由题意，将线段绕点E顺时针旋转，四边形是平行四边形四边形是平行四边形平分四边形是菱形是等边三角形,，四边形是平行四边形=在和中（2）连接，过F作交的延长线于点四边形是矩形，平分四边形是矩形在和中设则在中即整理得：（3）如图由（1）可知平分四边形是平行四边形【点睛】本题考查了轴对称性质，旋转的性质，三角形全等的性质与判定，三角形相似，勾股定理，锐角三角函数，相似比的概念，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，知识点比较多，熟练掌握以上知识点是解题的关键八、解答题（满分14分）26. 如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作轴于点D，交于点E（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作于点P，使，以，为邻边作矩形当矩形的面积是面积的3倍时，求点P的坐标；（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围【答案】（1）（2）（1，）或（3，3）；（3）-n或n5【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）先求出直线AB的解析式，表示出P，E的坐标，故可表示出PE的长，再根据矩形是面积的3倍，得到方程，故可求解；（3）当ABQ为直角时，求出直线BQ的解析式，得到n的值，当BQA为直角时，利用解直角三角形的方法求出此时n的值，同理求出当BAQ为直角时n的值，故可求解【详解】（1）把，代入解析式得解得抛物线的解析式为（2）对于，令y=0解得x=4或-1A（4,0），则=2设直线AB的解析式为y=px+q把A（4，0），代入得，解得直线AB的解析式为设P（x，），则E（x，）矩形的面积=3解得x=1或3P点坐标为（1，）或（3，3）；（3）由可得其对称轴为x=，设Q点坐标为（，n）当ABQ为直角时，如图2-1设BQ交x轴于点H，在RtABO中，tanABO=，ABO+BAO=BAO+BHO=90°BHO =ABOtanBHO= tanABO =可设直线BQ的解析式为y=x+t，代入可得t=3直线BQ的解析式为y=x+3当x=时，y=x+3=5故n=5；当BQA为直角时，如图2-2，过点Q作直线MNy轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，BQN+MQA=90°，MQA+MAQ=90°，BQN=MAQtanBQN=tanMAQ即，则解得n=当BAQ为直角时，同理可设直线AQ的解析式为y=x+h代入A（4，0）得h=-直线AQ的解析式为y=x-当x=时，y=x-=-故n=-；综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则ABQ不为直角三角形，故点Q纵坐标n的取值范围为-n或n5【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、矩形的特点及面积公式、解直角三角形的方法及数形结合的特点