江西省萍乡市安源区2022-2023学年高二上学期期中数学试题（含答案解析）.pdf

江西省萍乡市安源区2022-2023学年高二上学期期中数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.已知直线/：y=质的方向向量为（1,8）,则直线/的倾斜角为（）A.30B.60C.120 D.1502.已知A,B,C,。为空间中的任意四点，则 通-赤+前=（）A.CDB.BCc.BD D.A D3.双曲线1=1的右焦点到其渐近线的距离为（）A.1B.五C.G D.24.已知直线/过点A（-3），且与直线x-2 y +3=0垂直，则直线/的一般式方程为（）A.2x+y+3=0 B.2x+y+5=0 C.2x+y-=0 D.2x+y-2=05.在空间直角坐标系O-型 中，一束光线从点A（2,-l,3）发出，被平面yOz反射，到达点8。,1,2）之后被吸收，则光线所走的路程为（）A.2&B.5/10 C.D.V146.椭圆三+V=1 的左右焦点为、，尸为椭圆上的一点，ZFPF,=；,则4 尸 耳 F,的4 3面 积 为（）A.1 B.&C.立 D.237.在我国古代数学著作 九章算术 中，“鳖腌”是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在“鳖腌”A-8 C 3 中，AD_L平面8 8,8 c 1 平面4?。，Z B A D+Z C A D =9 0 ,AB=3,A C =4,则点。到平面4 3 c 的距 离 为（）8.已知点A（4,4）在抛物线c：y2=2 x（p 0）上，过点A 作 圆/+丁-8x+15=0 的两条切线，分别交抛物线C 于点M,N,则直线MN的方程为（）A.2x+4y+15=0B.15x+30y+56=0C.5x+10y+24=0D.x+3y+6=0二、多选题9.已知双曲线C：x2-y2=l,下列说法正确的是()A.双曲线C 的离心率为2及B.双曲线C 的焦距为2后C.双曲线C 的渐近线方程为y=xD.双曲线C 的虚轴长为11 0.已知空间向量1=(1,2,-3),5=(2,2,1),下列说法正确 的 是()A.同=/1B.万在B 方向上的投影向量为C.a!lbD.1 在5 方向上的投影数量为11.将一线段按如下比例分割：较长这段长与总长的比值等于较短这段长与较长这段长的比值，则该比值为或，约为0.6 1 8,这个分割比例被公认为是最能引起美感的比2例，因此被称为黄金分割比.我们将离心率为避二1 的椭圆称为“黄金椭圆”已知椭圆C：2二+4=1(6 0),其离心率e=,则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有a b a()A.(3-/5)2=2C2 B.(GT ：?从C.(2-石“一/=2,2 D.(3-V5)/22=(V5-1)C212.已知圆C1：/+y2-2x=0 与圆C”/+尸-4*-2)，+4=0 相交于A,8 两点，下列说法正确的是()A.直线AB的一般式方程为x+)-2 =0B.公共弦长|4 5|=0试卷第2 页，共 4 页C.过 A,13,c三点（其中点C 1 为圆C 1 的圆心）的圆的一般方程为f+y 2-3 x-y +2 =oD.同时与圆G和圆g 相内切的最大圆的方程为（x-1）2+（y _ g）2=（l *）2三、填空题1 3 .已知K，工为椭圆C：二+=1 的两个焦点，P为椭圆C上一点，则归用+仍可=1 4 .在正方体A B C。-AUG。中，E,F,G分别为棱A4，A D,8 片的中点，则异面直线E F与GG所 成 角 的 大 小 为.1 5 .在平面直角坐标系无0 y 中，圆（x-i y+（y-2）2 =4 上一点到直线m r “y+2（“一 m）=0的 最 大 星 巨 离 为.1 6 .设双曲线C：力 0）的左、右焦点分别为尸，区，以尸2 为圆心的圆与C的左支在第二象限交于点M,与C的右支在第一象限交于点N,若 M,N,K三点共线，且 NMN=9 0。，则双曲线C的 离 心 率 为.四、解答题17 .已知直线/：x-G y-2 G =0,点A（26,1）关于/的对称点为8,过点A作斜率大于0 的直线机，交直线/于点C,若.|A C|=&；点C在直线x+石 y+石=0（1）求点B的坐标；（2）从条件，中任选一个填入题中横线处，并求的一般方程.（参考数据:t a n 15。=2-力）（注：若选择多个条件分别作答，则按第一个解答记分.）18.已知圆心为C（a,0）3 .求证：A D J.B C；(2)若 M 是棱D4 上一点，且两三角形的面积满足S 通皿=2S,8M“求 直 线 与 平 面A C。所成角的正弦值.2 220 .己知椭圆C：5+与=1(。6 0)的长轴长为4,C的两个顶点和一个焦点围成等a b-边三角形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线y=H+2(&0)与椭圆c相交于A,8 两点，O为坐标原点，若 的 面 积 为4p求 4 的值.21.如图，在长方体A8 CO-AAGA 中，AB=2,A D =AA,=,E 为AB上一点，F为CD的中点.(1)若 E 为 AB的中点，求证：五平面(2)若 E 为异于4，8 的一点，且二面角E-AF-4 的平面角的余弦值为立，求四棱锥3E-A B C F的体积.22.已知双曲线C：-f-Ka。/0)的离心率为正,其左、右顶点分别为A，4,右焦点为工，尸为c的左支上不同于A的动点，当P的纵坐标为1时，线段 鸟的中点恰好在y 轴上.(1)求双曲线c的标准方程；(2)若点用(2,0),连接MP交 C的右支于点。，直线P A 与直线Q4 相交于点T，证明：当尸在C的左支上运动时，点T在定直线上.试卷第4 页，共 4 页参考答案:1.B则右焦点(6,0)到它的渐近线y=土 第 的 距 离 为d【分析】利用直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角作答.【详解】因直线/：V=履的方向向量为(1,6),则直线/的斜率A =石，直线/的倾斜角a*90,于是得 tana=g,a e 0,7 r),解得夕=601所以直线/的倾斜角为60.故选：B2.D【分析】直接利用向量的线性运算求出结果.【详解】己知A,B,C,。为空间中的任意四点，则 而 丽+丽=而+肥+丽=万.故选：D.3.A【分析】由已知可得焦点坐标及渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可.【详解】双曲线可得 b=,c=，=1 故选：A.4.B【分析】由题意设直线/方程为2x+y+w=0,然后将点(-3,1)坐标代入求出机，从而可求出直线方程【详解】因为直线/与直线x-2)，+3=0垂直，所以设直线/方程为2x+)，+机=0,因为直线/过点(-3,1),所以-6+1+?=0,得加=5,所以直线/方程为2x+y+5=0,故选：B.5.D【分析】首先求出点关于面的对称点的坐标，进一步利用两点间的距离公式求出结果.【详解】空间直角坐标系。-型 中，一束光线从点A(2,-l,3)发出，被平面yOz反射，答案第1页，共14页所以点A（2,-l,3）关于平面y O z的对称点的坐标为C（-2,-l,3）,故光线所走的路程等于忸=7（-2-1）2+（-1-1）2+（3-2）2=714,故选：D6.C【分析】由椭圆方程可得|制+归 用=4,结合余弦定理求得|尸制忖周=g,最后根据三角形面积公式求 的面积.【详解】.点户是椭圆E+y 2=l上的一点，尸|、鸟是焦点，4.归曰+归周=4,即信用+俨/勖二房，.在 尸 片 中/片 8 二?，.|用|”-2|P耳HP周 cosq=（2 G=12，-得：|尸周疗局g 5防=；阀 卜|明 呜=；x：x =J乙 D N D N D故选：C.7.A【分析】将绕AO顺时针旋转90。，使得V437）与AACD共面，首先计算长度关系,然后利用等体积法求出点。到平面ABC的距离.【详解】将。绕入。顺时针旋转90。，使得丫河）与4 4 8 共面，如图所示，因为 N84L+NC4=90。，在 RtZsABC 中，43=3,AC=4,可得 AO=5,8 7)=3=*,C=*B C =设点。到平面ABC的距离为人，由 A-BCD=O-ASC 得：S.BCD A0=AliC J l x3x/z,答案第2 页，共 14页解得力=J.故选：A8.B【分析】设 M&，x）,N（x2,y2）,根据条件求出15占+30%+56=0,15%+30%+56=0,即可得直线MN的方程.【详解】因为点A（4,4）在抛物线C：y2=2px（0）上，所以16=8p=p=2,所以为抛物线C：y2=4x,设M(XQI),2 2因为抛物线C：y 2=4 x,则玉=,%=&4 4则 AM：i斜(),即 4 x-(y+4)y+4M=0,-44|16+4y.|由 AM 与圆(-4)2+9 =1 相切得：/不 印，即 15y：+120%+224=0,J16+(y+4又 犬=4%,则15凡+3。凹+56=0；同理 15匹+30%+56=0,所以“a，y）,N（w，%）都在直线 15x+30y+56=0 上，所以直线MN的方程15x+30y+56=0,故选：B.9.BC【分析】由双曲线的标准方程求出a，），c 的值，进而判断选项即可.【详解】因为双曲线C：x2-y2=l,所以”=1,b=,c=J L双曲线的虚轴长为=2,故D 不正确；双曲线的焦距2c=2式，故B 正确；离心率为 =血，故A 不正确；a双曲线C 的渐近线方程为 =2*=，故C 正确.故选：BC.答案第3 页，共 14页10.ABD【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的模的运算及向量的数量积和向量的投影分别判断即可.【详解】已知空间向量 =（1,2,-3）,5=（2,2,1）,对于A：同=1I2+2?+（3.=yA,故A 正确；对于 B：由于 1=（1 2-3）,=（2,-2,1）,所以同=J 值，1。+（一 2）2+仔=3,a-b=2-4-3 =-5,则哂儡=/去，a 在日方向上的投影向量为同,cos（哂 缸（彳 空，高，故 B 正确；1=22对于C：空间向量牛=。,2,-3）,5=（2,2,1）,使=万，2=2 则不存在实数力,故C 错-3=2误；对于D：口在B 方向上的投影数量为同.cos他 与=胃=一|,故 D 正确.故选：ABD.11.ABD【分析】分别计算A,B,C,D 选项中椭圆的离心率，即可求解.【详解】解：A 选项，由（3-新）a=2/,得 =匕 叵，解得 =且 二 1,A 正确;V7a2 2 a 2B 选 项,由 a-l）/=2 凡 得（6-1.=2（标-/）,整 理 得（3-司/=2,2,即 _=_且，解得 =必二1,B正确；a2 2 a 2C 选 项,由（2-6）/_ 从=2心 得（2-逐）/_（、2_。2）=2/,整理得（1-6）/=0 2,无解，C 错误;D 选 项,由 卜-百）/=（石-I p,得（3-石）（片-。2）=a-,2,整理得（3-6）a2=2c，即，=三 叵，解得6=（=与1,D 正确.故选：ABD.答案第4 页，共 14页1 2.A B C【分析】两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程；求得圆心到直线的距离，利用弦长等于2 户二厂即可求得弦长；设过A,8两点的圆的方程将G（1,O）代入，即可求解；同时与圆G，圆C 2,相内切的圆没有最大，可判断A B C D.【详解】将圆 G：X?+2 _ 2 x=0 与圆 c2 ：x2 +y2-4 x-2 y+4 =0 相减得 x+y-2 =0,所以直线AB的一般式方程为x+y-2 =0,A正确；圆心G（1,O）,半径等于1,圆 心 到 直 线 中-2 =0 的距离为2 =乍=%V 2 2|A B|=2VF=J 1 _（争=叵,B 正确；过 A,8两点的圆的方程可设为（f+J-2 x）+X（x2+y2-4 x-2 y+4）=0,将 G（1,0）代入，可得2 =1,所以过A,B,G三点（其中点C 1 为圆C 1 的圆心）的圆的一般方程为V+y2-3 x-y+2 =0,C正确；同时与圆C 1,圆C 2,相内切的圆没有最大，D错误.故选：A B C.1 3.6 /2【分析】根据椭圆的定义可知|产甲+俨国=2。，即可求解.【详解】由题意得，a =30，P为椭圆C上一点，则忸用+|尸周=2 =6 点.故答案为：6&1 4.L2【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线E 尸与C。所成角的大小.【详解】在正方体A B C。A4GA中，E,F,G分别为棱44，A D,的中点，设棱长为2,建立空间直角坐标系。-外z,如图所示：答案第5页，共 1 4 页故 E（2,l,2）,尸（1,0,0）,G（O,2,2）,G（2,2,l）,所 以 方=（1,1,2）,束=（2,0,1）,故 西 布=-2+2=0,所以EFLCQ,所以异面直线EF与GG所成角的大小为:7r.故答案为：21 5.3【分析】由于直线侬一引+2（一m）=0恒过点（2,2）,则圆心（1,2）与点（2,2）连线与 直 线 松-做+2（-相）=0垂直，进而可得答案.【详解】圆5-1）2 +（尸2）2=4的圆心为（1,2）,半径为2,因 为 直 线 侬-政+2（-m）=0为0 1（-2）+（2-，）=0,所以直线向一犯+2（鹿 一 根）=0恒过点（2,2）,若圆（-1）2 +（丫-2）2=4上一点到直线侬-），+2（-加）=0的距离最大，则圆心（1,2）与点（2,2）连线与直线侬-利+2（-加）=0垂直，又圆心与（2,2）距离 d =J（i 2）2+（2 2）2 =1 ,所以最大距离为d +r =l +2 =3,故答案为：3.1 6.6【分析】设因M=|g N|=f,则=由已知可得r =2伍，进而可得c=6，可求答案第6页，共1 4页离心率.【详解】设|玛必=|甲V|=f,则|例=,由 双 曲 线 的 定 义 得 忻 2a=2，,M=l 玛M+2a=t+2a,MN=忸叶|耳叫=4。=，.-.t =2y2a，在NFE 中，|KN|=2缶+北，|玛 N|=2夜 4,|优|=2c,哂=45。，由余弦定理得(Ze)。=(2&+2)+(2 6 a)-2(2x/Ja+2a).2&a.cos45。，c2=3 a2,c=Ga,，双曲线C 的离心率为6.故答案为：上J 5 g 。17.(1)8(2)答案见解析【分析】(1)设 3 小,为)，表达出线段AB的 中 点 怨),根 据 斜 率 乘 积 为-1及 D 点在直线/上，列出方程组，解得点B 的坐标；(2)若选，由|A C|=6,|4。|=且，可得ZACD=30。，由直线/的斜率为半，进而可得直线也的斜率，即可得出直线机的方程；若 选 ，可求得C 点的坐标，进而可得直线，”的一般方程；若 选 ，由邑g=3,斗仁。|=殳芋，解得|C。，再计算tanNACO=慨，进而可得48=15。，得到直线，”的倾斜角，斜率，从而求出用的一般方程.【详解】(1)设 8(与,券)，则线段A 8的 中 点 /叵，号k 2 2)上后X。2y 3所以 厂 厂,、，x0+2/3 (y0+1)2,0I 2 2解得：y=2,答案第7 页，共 14页所以8 若 选 ，M=M一丝也且,1 1 7173 2由|A C|=6,AD=-,可得N4CO=30。,因为直线/的斜率为且，3所以直线/的倾斜角为30。，因为直线，”的斜率大于0,所以直线机的倾斜角为60。，斜率为6,所以直线?的一般方程为6-,-5 =0；若 选 ，联立，工_3 _ 2 6 =0 x+3y+!?=0，解得：x=23y=2可得C因为A（2G,1）在直线加上,3所以直线，的一般方程为上2X-整理得：5x-9y-21=0；若 选 ,|AM =2|A0 =后,S.ACB=B-CD=XCD =得|CD|=3+；石,所以 tanNACD=2,即 NACZ)=15。,因为直线/的倾斜角为30。，机的斜率大于0,所以直线?的倾斜角为45。，即加的斜率为1,答案第8 页，共 14页所以直线的一般方程为x-y +1-2G=0.18.(1)(x+5)_+y2=(2)2 7 7【分析】（1）由题知，点C（a,0）（a 0）到两直线的距离相等，即 口 穿 =1,解得“，进而可得圆的半径,，即可得出答案.（2）当直线/与直线C P 垂直时，线段AB的中点恰好为尸（-2,-1）,又b p*,可得直线/的斜率，进而可得直线/的方程，计算点。（-5,0）到直线/的距离d,进 而 可 得 弦 长|相|,再 计 算 的 面 积.【详解】（1）由题知，点C（a,0）（。0=0,4 0,。/3ax-百az=0取x=l可得万=设直线8M 与平面4。所成的角为6,则sin”反(两 用卜筋=噜.所以直线B M与平面A C D所 成 角 的 正 弦 值 为 亚.10 人 半 或 E【分析】(1)由已知可得。，b,可求椭圆C 的标准方程;答案第10页，共 14页（2）设4（%,乂），8（孙力），将椭圆方程与直线方程联立，可 得%+%=-L条1 1 TK与 =7 7，由 己 知可得生画1 =3,求解即可【详解】（1）由题知，2 a=4,得。=2,要满足两个顶点和一个焦点围成等边三角形.两顶点只能在短轴上,则 a=2 Z?=2,：,b=l,故椭圆C的标准方程为+/=1；4（2）设A（x”y）,将椭圆方程与直线方程联立 了+）一，y=kx+2化简得（l +4X）f+16 h+12 =0,其中 =（16 2）2 4 8（1 +4 公）。，即公 （,口 16k 12目 一 X,+X?=T，XiX-f-T1 +4/1-1 +4 公UB|=J1+&2 X J(x,+X?)2-4XXX,=Jl+、2 X J(-16k,一)2 _ 4 8；=Ji +q?x 二 ,1 1 V-V l+4 k2 1+4&2 1 +4/r2原点到直线的距离“二 小 二，S 4。5 2 阴 =4*;3=收+1 21 1 1 +4/5化简得4/_2 3 +19 =0,解得公=:或 2 =1，4又A 0 且 公 3，./=胆 或 k =l.4 22 1.(1)证明见解析【分析】（1）取 AA的中点G ,连接G D,G E,通过证明G E F D为平行四边形，得到E F H G D,即可证明；（2）建立空间直角坐标系，利用二面角E-A 尸-A的平面角的余弦值求得E 点的坐标，进而求得四棱锥E-4 J C F的体积.【详解】（1）取 AA的中点G,连接GO,G E,因为E 为48的中点，所以GE/AB,且G E =gA B,因为尸为C。的中点，AB/CD,所以GE/DF,且G E =OF,答案第I I 页，共 1 4 页即G E F D为平行四边形，故EFHGD,又 防 二 平 面A A。，G O u平面例所以。平面（2）以A为坐标原点，4 5,柏,4 的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图空间直角坐标系，则 A（0,0,0）,A（，O，1），8（020）,*1,1,0）,设E(x,y,z),则 AE =(x,y,z-l),5=(0,2,-1),且 AE =2 A B(0 2 （U O）的方程得：从=,故双曲线C的标准方程/-丁=；（2）设点Q（毛,%）,7（%,%）,其中占 1,由题意知，直 线 的 斜 率 存 在 且 不 为 0 ,设 M P：y=k（x-2）,代入 2-丁=1,得（1 一公）1+4公x-4 公一 1 =0,=1 2 公+4 0,4 k2 A 4 4 k2+A 5贝!|玉1+x2=r=4+F,X.X,=-3-=4+F,2 k2-l k2-k2-l k2-则 X-=|（X,+X2）-1 ,由题意知，直线?4：y=h（x+i）,直线O&：J=*（X-I）相交于点T,所 以*（%+1）=*7（与-1）,-|+I%2-答案第1 3 页，共 1 4 页即 包 宁（/+i）=华a&f,X +1 X 2 -1解得X ：_ 3 芭 f _ 2（丹 +&）_ 2 _ 3 再-2 +3%_ 4 _ 1 ,0 X j +3 x -4 -%+3 x -4 2 -玉+3%2 4 2故当P 在 C的左支上运动时，点T在直线X =；上.答案第1 4 页，共 1 4 页