江苏省南通市崇川区2022-2023学年高一上学期期末数学试题解析.pdf

20222023学 年（上）高一期末质量监测数学一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.I.已知角。终边经过点P。，-4）,则si n a的 值 为（）3 3 4 4A.-B.-C.-D.-5 5 5 5答案：D根据三角函数的定义si n。=）计算即可.r解：因为角a终边过点P（3,T）,所以 =3,丁 =-4 =|0升=7 7 =5,所以si na=%=故选：D.【点睛】本题考查三角函数的定义，是基础题.2 .已知集合 A =J l ,B=x|y=I n%,则 A cB等 于（）A.（0,1 B.1,+O O）C.0,1 D.1 答案：A分别求出集合A 5,再根据交集的定义即可得解.解：解：4=小=，1_ f）=卜卜一工2训=-1,B =l nx =（0,+e）,所以 4。3 =（0,1 .故选：A.j l 13 .若A eZ,则“x=2就+”是“si nx=的（）6 2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A结合三角函数性质，根据充分不必要条件的定义判断即可.JI 1解：解：当 x=T，Z w Z时，si n x=；6 2iTT57r反之，当si nx=时，x=2%乃+或x=2%乃+,ZwZ.2 6 61 1所以，“x=2 4万+”是 si nj:=-的充分不必要条件.6 2故 选:A4.心 理学家有时用函数L ）=A（1 e ）测定在时间r （单位：mi n）内能够记忆的量L其中A表示需要记忆的量，上 表示记忆率.假设一个学生需要记忆的量为2 0 0个单词，此时L表示在时间，内该生能够记忆的单词个数.已知该生在5mi n内能够记忆2 0个单词,则大的值约为（l n0.9。一0.1 0 5,I nO.1之一2.3 0 3 ）A.0.0 2 1 B.0.2 2 1 C.0.461 D.0.661答案：A由题意得出2 0 0（1-e-5A）=2 0簿巧 =0.9,再取对数得出k的值.解：由题意可知2 0 0 0 e）=2 0,0.9,所以I ne应=缶0.9。一0.1 0 5,解得攵。（）2 1故选：A5.已知 t an2 a-si n2 a=2，则 t ar c si n2 a 的 值 为（）A.3 B.-C.2 D.g32答案：C结合同角三角函数的基本关系式，先求得t ar?。，然后求得si i?a，进而求得t a/asi n2 a.解：由于 t an%-si n%=2，.2 2rr K l 2所 以 t ar n-s-m-。-=t arr2 a-t-a-r-r-a-=23,si n a+c os-a t an-a+1两边乘以t a/a+l并化简得t an4 a-2 t an2 a-2 =（），由于t an2 a 0，所以解得t an2 a=J +l,所以si n?a=t an2 a-2 =6-l，所以 t an%si n%=（6 +1）（石-1）=2.故选：C6.将函数y=si m:的图象向右平移（个长度单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=/（x）的图象，则/（力 的解析式为（）A.si n1 2犬一方）B.si n 2 x-j（1 兀、（1 5兀、C.c os x+D.c os x-（2 6）（2 6）答案：D根据三角函数图象变换以及诱导公式求得正确答案.解：函数y=si nx的图象向右平移 个长度单位得到y=si n1:一三），再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到y=si nx-g）.（1 5兀 兀、（1 5兀）=si n x-+=c os x-.（2 6 2）（2 6）故选：D7.已知函数“X）的定义域为+为偶函数，/（力 在上 单 调 递 增，则不等式+的解集为（）A.（-2,4-oo）B.（-oo,2）C.（oo,D.（-2,1）答案：C根 据 函 数 为 偶 函 数，可得函数“X）关于尤=g对称，从而可得出函数“X）在1-8,上单调递减，再根据函数得单调性解不等式即可.解：解：因为函数/(x+g)为偶函数,所以函数/(X)关于x=g对称，则1)=/，因为/(X)在g,+8)上单调递增，所以函数/(X)在 卜 8,；)上单调递减，由不等式/(x+l)/(-1)，得x+1 2或x+1 l或xV-2,所以不等式/(x+l)T)的解集为(口,2)U(l,Q).故选：C.8 设a =log 3 4+log 43,3 +40=56,则()A.a b 2 B.a 2 bC.b a 2 D.b 2 a答案：A根据基本不等式，结合指数函数的单调性、函数单调性的性质进行判断即可.解：因为I og 3 4 0,log 43 0,且log./w log d S,所以log 3 4+log 4 3 2 7 1 og34-log43 =2 =2,即2,因为函数y =3,y =4*是单调递增函数，所以函数y =3+4,是单调递增函数，所以当”2时，有3+4 3 2+42 =2 5，因为 3+4=5，所以有 5 2 5=52 =。2，（;、（4、。由3+4=5=-+-=5二、5）1 5,因为函数)，=(35、*，y=74Y5,是单调递减函数,所以函数/(%)+(1)是单调递减函数,因为a 2,所以/(a)5h a b aba 0 2,故 选:A【点睛】关键点睛：根据等式的形式构造函数，利用指数函数的单调性是解题的关键.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.9知幕函数y=的图象经过点P(4,2),则()A.y(x)=(V2yB./(X)的定义域为 0,+8)C./(X)的值域为 0,+8)D.的解集为(0,1)答案：BCD根据幕函数的定义，结合幕函数的性质逐一 判断即可.解：设 =/(x)=x，因为 =/(x)的图象经过点P(4,2),11 所以4a=2=/(X)=,显然选项A不正确；因为只有非负实数有算术平方根，所以/(X)定义域为 0,+8),因此选项B正确;因为x N O,所以有4 x)2 0,因此选项C正确；,、，/-,fxNO fx 0由/d=s,=0 x%I 故选：BCD10.下列命题正确的是()A.若 同 网,则1 b2B.若H g c Z 4 g c,贝 lj a bC.若 a h a Z?,则-c-a c-b答案：AC根据不等式得性质即可判断A B C,再利用作差法即可判断D.解：解:对 于 A,若 时 例，则/从，故A正确；对于B,当C=-时，lg c =-l,1 0若 a lg c b lg c,则ab,故 B 错误；对于C,若 a /?()时，则。(工-1)(%一。)0 (x-1)0a)v 0,若a 1 时，则 1 x。，若0”1 时，则 a c x v l,若a =1 时，则 0 ,当a 0时，则0 1)(不一乂。001)0)0,故 1综上，当4=（）,不等式的解集为0,当。=1时，不等式的解集为0,当。1时，不等式的解集为（1,a）,当0“1时，不等式的解集为（a,1）,当时，不等式的解集为（f o,a）5 1，+00），故选：ACD.1 2.对于任意两个正数”,v（v u D.2.L（u,v）1 时，L(u,v)=L(l,v)-L(l,M)=l nv-l nw ,当 y 1 时、L(u,v)=L(w,l)L(v,l)=L(l,v)L(l,u)=l n v Inw ,当 M 1 L(4,8)=l n8-l n4=l n2,即=L(4,8),故 A正确;对 B,L(21 00,31 00)=In 31 00-in 2ia,=1 OO(l n 3-In 2),而 L(2,3)=In3-l n2,所以L(2l o,3l(x,)=1 00L(2,3),故 B 正确；对 C,取”=l,v =2,则 L =L(l,2)=l n2 2 1 =1,故 C 错误;因为 S阴 影 S梯形，所以 L(u,v)=In v In w (v u)(l)=-2 v u 2 uv 2V Uu vB P 2,L(u,v)0,1 4.已知函数小)=若/(x)=i,则x的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.*0,答案：0或4利用换元法，结合函数的解析式进行代入求解即可.解：令/(x)=f,即/=1.当f 0时，/(r)=1 =l o g2/=1 =r =2,即x)=2,当x 0时，x)=2 =k)g 2 x =2 =x =4 0,符合题意;当x W O时,=2n x=0,)=1由符合题意;当r w o时,=1=/=1 0 不符合题意,故答案为：0或41 5.已知c o s(75o +c)=；,且一 1 8 00 a 90,贝1 8 s(1 5。一e)的值为.答案：一哀1#一2&3 3由c o s(l 5 a)=c o s 90一(75 +a)=s in(75 +a),结合已知即可求解.解：解：.,c o s(75 +a)=1且一1 8 0 -9(),3.一 1()50 2+75-1 5,s in(75 +a)=-则 c o s(1 5一a)=c o s 90-(75+a)=s in(75。+a)=一 半.故答案为：一 述.31 6.设函数“无)=(凶2),+1|,则/(x)在R上的最小值为；若/(x)的定义域与值域都是a,b,则 a+Z?=.答案：.4或 2或4 4将“X）表示为分段函数的形式，画出“X）的图象，结合二次函数的知识求得了（力 在R上的最小值.对x进行分类讨论，根据定义域与值域都是 4句列式，化简求得a+0.(-2)|-(x+l),x-1解:/(尢)=(国-2)|x+l|=v (-x-2)(x+l),-l x 0 x2 4-3X+2,X-1_f _ 3尤 _ 2,_1 x 0=01 一34一1、23X H 2744画出了(X)的图象如下图所示，结合图象以及二次函数的性质可知:/(x)在R上的最小值为/(3)=-依题意，的定义域与值域都是。向，3(1)当 (一耳时，了)在句上递减,所以/(a)=b j =a,。-+3ci+2=b即，两式相减并整理得a+b=T.b-+3b+2=a(2)当时，/(x)在 a,。上的最小值为因为/(%)的值域为 a,。,所以。=一 与a 5矛盾.3(3)当-WabW-l时，/(X)在 a,5递增，f(a)=a,f =b,-24+3。+2=4 一 一所以9,两式相减并整理得。+。=-2与。人工一1矛盾.b2+3 b+2 b(4)当一2。一1。2时，“X)在 a,句的最大值为0,所以b=0,区间为 a,0,所以/(x)的最小值为0)=-2,所以。=2,所以 +/?=2.(5)当-laZ?0时，/(x)在。,以递减，于(a)=b,f(b)=a,_ ci _ 3ci _ 2=b,两式相减并整理得。+/?=2,与l a 0|.(1)若a =(,求 A I (B)；(2)从5 U(A)=R；=A n(B)=0 这三个条件中任选一个，补充在下面横线上,并进行解答.问题：若,求实数a的取值范围.答案：(1)1,2)(2)(1)解不等式可分别求得集合A 由补集和交集定义可求得结果；(2)根据条件中的交集、并集结果都可以确定4=8,分别在a =()、。()和 2 ,即8 =2,+0 0),4 B=(o o,2),n&B)=i,2).【2详解】由(1)知：A =l,5 ；若选条件，条4=(F,1)U(5,+8),若5UA)=R,则 1,5仁3,即当a =()时，8 =0,不合题意；当a0时，B=-,+o c I,则解得：a；.a)a当 a 5 ,解得：0 a 0时，B=-,+o c|,则L =解得：a l；a)a当 a0 时，3=1 -0,一I a,则,2 5,解得：0 a 0%时,+8|,则一 1,解得：a 2 1 ；)aB=当时，B =1-0 0,一a,则,2 5,解得：5（舍）;综上所述：实数a的取值范围为 1,+8）.19.求解下列问题:(1)已知 tana=2，求7 1cos+a12sin(-(2)+cos）_ _ _ _ _ 的值.（2H-6Z）11 7 1 、(2)已知sina+cosa=一,一 兀，求3 2sin a cos a的值.答案：（1）2(2)35/n4（1）利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式求得正确答案.（2）求得cos a-sin a,sin a cos a,从而求得正确答案.【1详解】（7 tcos+a12sin（一a）+cos（2兀 一 a）=sina=-tana=_ 2 _=/n.sin c+cos 2 tana+1 -2+1【2详解】由 sina+cosa=一 两边平方得 sin2 a+2sin a cos a+cos2 a=l+2sinacosa=-，sinacosa=4-9兀由于一v a 0,cosa 0,co sa-sin a 0,所 以 cos a-sin a=-J (cos a-sin a)2*,、，1 1 cos a-sin a 3 1 7所以-=-=-sin a cos a sinacosa _ 4 492 0.已知函数/(x)=2sin 2x+；+l.(1)求函数/(x)的最小正周期、图象的对称中心及其单调减区间;jr jr(2)求函数/(x)在 一彳，5上的最值及其对应的x的值.答案：(1)答案见解析(2)当*=-；或三时，函数有最小值为1 _ 0,当=四 时，函数有最大值为3.4 2 8(1)根据正弦函数的性质求解即可；(2)根据三角函数在给定区间上的最值分布求解即可.【1详解】2兀最小正周期为T=兀，2jr jr KTV由 2x+=解得 x=-1-,k G Z,4 8 2所以对称中心为,k e Z,jrTT 37r 7 1 57r由一+21al 2x+1对任意x e-2,2都成立,(/t+2)x+3 2 0 对任意 x G-2,2都成立，3当=()时，一2x+3 2 0,x,不符合，2当。0时，八=(+2)2-12 =？-8及+4,由A()解得4 2 6 0解得 4+2百当几 0时，要使凡一 一(+2卜+3N 0对任意x e-2,2都成立，0则需、7 勺、八，此不等式组无解4 +2(+2)+3204z?-2(n+2)+30当 0,函数、二加2-(+2)工+3的开口向上，对称轴 二 叶2=+，,2n 2 n 2要使nr2-(n+2)x+3 0对任意x w -2,2都成立，n0A01十 1c 2，2 n4M-2(H+2)+3 0解得4-2百 V/W4+2百 或;4“0或,A0则需，(i)求实数k的取值范围；(i i)证明：国+同+国+同 4.答案：(1)/(x)=(V 2+l)(2)(i)(-6,-4 7 2)；(i i)证明详见解析(1)根据指数函数的知识求得/(x)的解析式.(2)利用换元法，结合指数函数二次函数的性质以及基本不等式求得左的取值范围.结合图象、对称性以及放 缩 法 证 得 +闻+闯+同 ()且a *1),由于/(1)-/(-1)=2,所以a _ L =2,a 2 _ 2“_ =0,由于a 0且aw l,所以解得a =0 +1，所以=+【2详解】(i)g(x)=+以,(同=(&+1广+M/+1)，方程g(X)+g(-X)+1 0 =0有4个不相等的实数解芭,尤2，,.即(亚+1广+M痣+1)+(拒+1广+M四+1)+1 =0有4个不相等的实数解X，无2，占，*4令f =(&+l)+(拒+1，则/=(痣+1广+(&+1广+2,/=(0+1了 +(0+1 2 2,(0 +1.(血+1 =2，当且仅当(、历+1=(、q+1，=龙=0时等号成立.所以化为/一 2+笈+1()=/+右+8 =0，对于函数力(x)=(女 +1)+(V 2 +，h(-x)=(V 2 +1)+(V 2 +1)=/(x),所以(x)是偶函数，图象关于V轴对称,当x 0时，令u =(0+l),v l,m(v)=v+,/、/、1 1 (v.-v9)(v.v,-1)任取 1 v,v,m(v-m(v2=vi+-v2-=-=-片 v2 v,v2其中 V 岭 1，/丫2 1 0,加(%)，(均)。,/n(v1)m(v2),所以加(U)在(1,+c o)上递增，根据复合函数单调性同增异减可知hx)在(0,+0k所以 一5 2 ，解得-6%0所以攵的取值范围是(-6,-4&).(ii)由于(X)是偶函数，图象关于V轴对称，所以不妨设工3 =一%O,X4=-x2 0,所以要证明归|+|七|+同+同 4,即证明2(天+尤4)4,即证明工3 +工4 由 f =+(夜+l，(x 0)整理得(&+1)”f (四+l,+l=0(x 0),解得(、回+i)=铐 三(对 应 鼻,匕，所 以 上 学a舍去)，一(7 +，2 -4、所以x =lo g、&i Z-，则 t,+JR-4 try+J w 4 +lo g+1 一kJ 宿 +仙；-4+12 J，；-4 +J(g _ 4)：_4)=l0g -1-%+V 2x J t港 一4彳+广片一 4g+J f芯-4（f；+幻 +16-：-：一8+V2x 1 2 8-4（2-1 6）+j6 4 4（2 16）+16=b g a 4,8+0 x J 1 9 2 4左 2 +J144 4A?=*1-4-，由于 6%-4 夜,公 （32,36）,_,18+0 x J192-422+J 1 4 4-4/8+&x J l9 2-4 x 3 2+J1 4 4-4x3 2-所以 log 应M-4-lg 应M-4-二 1g局 8+8 f+4=iog曰 13+2&）=io g （亚 +i）2=2,/即x,+Z 2,所 以 +同+闻+同 4.【点睛】本题的主要难点有两个，一个是根据方程的根的个数求参数的取值范围，涉及到了二次函数的性质、指数型复合函数以及函数的奇偶性.第二个难点是不等式的证明，首先根据奇偶性将所证明的不等式简化，然后通过解复杂的指数方程，再结合基本不等式、放缩法等知识来证得结论成立.基本不等式的变形:a h （三色，右侧部分还可变形为a+-W 0 x，片+化.