2017年吉林省全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版).pdf

第 1 页（共 2 9 页）2 0 1 7 年全 国统 一高 考数 学试 卷（理科）（新 课标）一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项中，只 有一项 是符 合题目 要求的。1（5 分）=（）A 1+2 i B 1 2 i C 2+i D 2 i2（5 分）设集合 A=1，2，4，B=x|x24 x+m=0 若 A B=1，则 B=（）A 1，3 B 1，0 C 1，3 D 1，5 3（5 分）我 国古 代数 学名 著 算 法统 宗 中有 如下 问题：“远 看巍 巍塔 七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 3 8 1 盏灯，且 相邻两层中的下 一层灯数是上 一层灯数的 2 倍，则塔 的顶层共有灯（）A 1 盏 B 3 盏 C 5 盏 D 9 盏4（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体 由一平面 将一圆柱 截去一部分 后所得，则该几何 体的体积为（）A 9 0 B 6 3 C 4 2 D 3 6 5（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2 x+y 的最小值是（）A 1 5 B 9 C 1 D 9第 2 页（共 2 9 页）6（5 分）安 排 3 名 志 愿 者 完 成 4 项 工 作，每 人 至 少 完 成 1 项，每 项 工 作 由 1人完成，则不同的安排方式共有（）A 1 2 种 B 1 8 种 C 2 4 种 D 3 6 种7（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩 老师说：你 们 四 人 中 有 2 位 优 秀，2 位 良 好，我 现 在 给 甲 看 乙、丙 的 成 绩，给 乙 看 丙的成绩，给丁看 甲的成绩 看后甲 对大家说：我还是不 知道我的 成绩根据以上信息，则（）A 乙可以知道四人的成绩 B 丁可以知道四人的成绩C 乙、丁可以知道对方的成绩 D 乙、丁可以知道自己的成绩8（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a=1，则输出的 S=（）A 2 B 3 C 4 D 59（5 分）若双 曲线 C：=1（a 0，b 0）的 一条 渐近 线被圆（x 2）2+y2=4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（）第 3 页（共 2 9 页）A 2 B C D 1 0（5 分）已 知 直 三 棱 柱 A B C A1B1C1中，A B C=1 2 0，A B=2，B C=C C1=1，则异面直线 A B1与 B C1所成角的余弦值为（）A B C D 1 1（5 分）若 x=2 是 函数 f（x）=（x2+a x 1）ex1的 极值 点，则 f（x）的极小值为（）A 1 B 2 e3C 5 e3D 11 2（5 分）已知A B C 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 A B C 内一点，则（+）的最小值是（）A 2 B C D 1二、填空 题：本 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 2 0 分。1 3（5 分）一批产品 的二等品 率为 0.0 2，从 这批产品 中每次随 机取一件，有放回地抽取 1 0 0 次X 表示抽到的二等品件数，则 D X=1 4（5 分）函数 f（x）=s i n2x+c o s x（x 0，）的最大值是 1 5（5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=1 0，则=1 6（5 分）已知 F 是抛物线 C：y2=8 x 的焦点，M 是 C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点 N 若 M 为 F N 的中点，则|F N|=三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 第 1 7 2 1 题 为 必 考 题，每 个 试题 考 生 都 必 须 作 答 第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根据要 求作 答（一）必 考题：共 6 0 分。1 7（1 2 分）A B C 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 s i n（A+C）=8 s i n2（1）求 c o s B；（2）若 a+c=6，A B C 的面积为 2，求 b 第 4 页（共 2 9 页）1 8（1 2 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 1 0 0 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：k g），其频率分布直方图如图：（1）设 两 种 养 殖 方 法 的 箱 产 量 相 互 独 立，记 A 表 示 事 件“旧 养 殖 法 的 箱 产 量 低于 5 0 k g，新养殖法的箱产量不低于 5 0 k g”，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 9 9%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量5 0 k g 箱产量5 0 k g旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.0 1）附：P（K2k）0.0 5 0 0.0 1 0 0.0 0 1k 3.8 4 1 6.6 3 5 1 0.8 2 8K2=第 5 页（共 2 9 页）1 9（1 2 分）如图，四棱锥 P A B C D 中，侧面 P A D 为等边三角形且垂直于底面A B C D，A B=B C=A D，B A D=A B C=9 0，E 是 P D 的中点（1）证明：直线 C E 平面 P A B；（2）点 M 在棱 P C 上，且直线 B M 与底面 A B C D 所成角为 4 5，求二面角 M A BD 的余弦值2 0（1 2 分）设 O 为坐 标原 点，动 点 M 在椭 圆 C：+y2=1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足=（1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线 x=3 上，且=1 证明：过点 P 且垂直于 O Q 的直线l 过 C 的左焦点 F 第 6 页（共 2 9 页）2 1（1 2 分）已知函数 f（x）=a x2a x x l n x，且 f（x）0（1）求 a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e2f（x0）22（二）选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则按 所做 的第一 题计 分。选修 4-4：坐 标系 与参数 方程（1 0 分）2 2（1 0 分）在直角坐标系 x O y 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 c o s=4（1）M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 O M 上，且满足|O M|O P|=1 6，求点P 的轨迹 C2的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为（2，），点 B 在曲线 C2上，求O A B 面积的最大值选修 4-5：不 等式 选讲（1 0 分）2 3 已知 a 0，b 0，a3+b3=2 证明：（1）（a+b）（a5+b5）4；（2）a+b 2 第 7 页（共 2 9 页）2 0 1 7 年 全 国 统 一 高 考 数 学 试 卷（理 科）（新 课 标）参 考 答 案 与 试 题 解 析一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项中，只 有一项 是符 合题目 要求的。1（5 分）=（）A 1+2 i B 1 2 i C 2+i D 2 i【考点】A 5：复数的运算菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位 i 的幂运算性质，求出结果【解答】解：=2 i，故选：D【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数2（5 分）设集合 A=1，2，4，B=x|x24 x+m=0 若 A B=1，则 B=（）A 1，3 B 1，0 C 1，3 D 1，5【考点】1 E：交集及其运算菁 优 网 版 权 所 有【专题】3 4：方程思想；4 O：定义法；5 J：集合【分析】由 交集 的定 义可 得 1 A 且 1 B，代入 二次 方程，求 得 m，再解 二次 方程可得集合 B【解答】解：集合 A=1，2，4，B=x|x24 x+m=0 若 A B=1，则 1 A 且 1 B，可得 1 4+m=0，解得 m=3，第 8 页（共 2 9 页）即有 B=x|x24 x+3=0=1，3 故选：C【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题3（5 分）我 国古 代数 学名 著 算 法统 宗 中有 如下 问题：“远 看巍 巍塔 七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 3 8 1 盏灯，且 相邻两层中的下 一层灯数是上 一层灯数的 2 倍，则塔 的顶层共有灯（）A 1 盏 B 3 盏 C 5 盏 D 9 盏【考点】8 9：等比数列的前 n 项和菁 优 网 版 权 所 有【专题】3 4：方程思想；4 O：定义法；5 4：等差数列与等比数列【分 析】设 塔 顶 的 a1盏 灯，由 题 意 an 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列，利 用 等 比 数 列前 n 项和公式列出方程，能求出结果【解答】解：设塔顶的 a1盏灯，由题意an是公比为 2 的等比数列，S7=3 8 1，解得 a1=3 故选：B【点 评】本 题 考 查 等 比 数 列 的 首 项 的 求 法，是 基 础 题，解 题 时 要 认 真 审 题，注意等比数列的性质的合理运用4（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体 由一平面 将一圆柱 截去一部分 后所得，则该几何 体的体积为（）第 9 页（共 2 9 页）A 9 0 B 6 3 C 4 2 D 3 6【考点】L!：由三视图求面积、体积菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；3 1：数形结合；4 4：数形结合法；5 Q：立体几何【分 析】由 三 视 图 可 得，直 观 图 为 一 个 完 整 的 圆 柱 减 去 一 个 高 为 6 的 圆 柱 的 一半，即可求出几何体的体积【解 答】解：由 三 视 图 可 得，直 观 图 为 一 个 完 整 的 圆 柱 减 去 一 个 高 为 6 的 圆 柱的一半，V=32 1 0 326=6 3，故选：B【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2 x+y 的最小值是（）第 1 0 页（共 2 9 页）A 1 5 B 9 C 1 D 9【考点】7 C：简单线性规划菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；3 1：数形结合；3 5：转化思想；5 T：不等式【分 析】画 出 约 束 条 件 的 可 行 域，利 用 目 标 函 数 的 最 优 解 求 解 目 标 函 数 的 最 小值即可【解答】解：x、y 满足约束条件 的可行域如图：z=2 x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值，由 解得 A（6，3），则 z=2 x+y 的最小值是：1 5 故选：A【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力6（5 分）安 排 3 名 志 愿 者 完 成 4 项 工 作，每 人 至 少 完 成 1 项，每 项 工 作 由 1人完成，则不同的安排方式共有（）A 1 2 种 B 1 8 种 C 2 4 种 D 3 6 种【考点】D 9：排列、组合及简单计数问题菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；4 9：综合法；5 O：排列组合【分析】把工作分成 3 组，然后安排工作方式即可【解答】解：4 项工作分成 3 组，可得：=6，安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，第 1 1 页（共 2 9 页）可得：6=3 6 种故选：D【点 评】本 题 考 查 排 列 组 合 的 实 际 应 用，注 意 分 组 方 法 以 及 排 列 方 法 的 区 别，考查计算能力7（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩 老师说：你 们 四 人 中 有 2 位 优 秀，2 位 良 好，我 现 在 给 甲 看 乙、丙 的 成 绩，给 乙 看 丙的成绩，给丁看 甲的成绩 看后甲 对大家说：我还是不 知道我的 成绩根据以上信息，则（）A 乙可以知道四人的成绩 B 丁可以知道四人的成绩C 乙、丁可以知道对方的成绩 D 乙、丁可以知道自己的成绩【考点】F 4：进行简单的合情推理 菁 优 网 版 权 所 有【专题】2 A：探究型；3 5：转化思想；4 8：分析法；5 M：推理和证明【分 析】根 据 四 人 所 知 只 有 自 己 看 到，老 师 所 说 及 最 后 甲 说 话，继 而 可 以 推 出正确答案【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩 乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是 良，假定 乙丙都是 良，则甲 是优，那么 甲就知道 自已的成 绩了给乙看丙成 绩，乙没 有说不知 道自已的 成绩，假定 丙是优，则乙是良，乙就知道自己成 绩给丁 看甲成绩，因为甲 不知道自己 成绩，乙 丙是一优 一良，则甲丁也是 一优一良，丁看到 甲成绩，假定甲是优，则丁是 良，丁肯 定知道自已的成绩了故选：D 第 1 2 页（共 2 9 页）【点 评】本 题 考 查 了 合 情 推 理 的 问 题，关 键 掌 握 四 人 所 知 只 有 自 己 看 到，老 师所说及最后甲说话，属于中档题8（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a=1，则输出的 S=（）A 2 B 3 C 4 D 5【考点】E F：程序框图菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；2 7：图表型；4 B：试验法；5 K：算法和程序框图【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，K 值，当 K=7 时，程序终止即可得到结论【解答】解：执行程序框图，有 S=0，K=1，a=1，代入循环，第一次满足循环，S=1，a=1，K=2；满足条件，第二次满足循环，S=1，a=1，K=3；满足条件，第三次满足循环，S=2，a=1，K=4；第 1 3 页（共 2 9 页）满足条件，第四次满足循环，S=2，a=1，K=5；满足条件，第五次满足循环，S=3，a=1，K=6；满足条件，第六次满足循环，S=3，a=1，K=7；K 6 不成立，退出循环输出 S 的值为 3 故选：B【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础9（5 分）若双 曲线 C：=1（a 0，b 0）的 一条 渐近 线被圆（x 2）2+y2=4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（）A 2 B C D【考点】K C：双曲线的性质；K J：圆与圆锥曲线的综合菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算 题；3 5：转化 思 想；4 9：综合 法；5 D：圆锥 曲 线的 定 义、性质与方程【分 析】通 过 圆 的 圆 心 与 双 曲 线 的 渐 近 线 的 距 离，列 出 关 系 式，然 后 求 解 双 曲线的离心率即可【解答】解：双曲线 C：=1（a 0，b 0）的一条渐近线不妨为：b x+a y=0，圆（x 2）2+y2=4 的圆心（2，0），半径为：2，双曲线 C：=1（a 0，b 0）的一 条渐近线被圆（x 2）2+y2=4 所截得的弦长为 2，可得圆心到直线的距离为：=，解得：，可得 e2=4，即 e=2 故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力第 1 4 页（共 2 9 页）1 0（5 分）已 知 直 三 棱 柱 A B C A1B1C1中，A B C=1 2 0，A B=2，B C=C C1=1，则异面直线 A B1与 B C1所成角的余弦值为（）A B C D【考点】L M：异面直线及其所成的角 菁 优 网 版 权 所 有【专题】3 1：数形结合；4 O：定义法；5 G：空间角【分析】【解法一】设 M、N、P 分别为 A B，B B1和 B1C1的中点，得出 A B1、B C1夹角为 M N 和 N P 夹角或 其补角；根 据中位线定 理，结合余弦 定理求出 A C、M Q，M P 和M N P 的余弦值即可【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁【解答】解：【解法一】如图所示，设 M、N、P 分别为 A B，B B1和 B1C1的中点，则 A B1、B C1夹角为 M N 和 N P 夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，），可知 M N=A B1=，N P=B C1=；作 B C 中点 Q，则P Q M 为直角三角形；P Q=1，M Q=A C，A B C 中，由余弦定理得A C2=A B2+B C22 A B B C c o s A B C=4+1 2 2 1（）=7，A C=，M Q=；在M Q P 中，M P=；在P M N 中，由余弦定理得第 1 5 页（共 2 9 页）c o s M N P=；又异面直线所成角的范围是（0，A B1与 B C1所成角的余弦值为【解法二】如图所示，补成四棱柱 A B C D A1B1C1D1，求B C1D 即可；B C1=，B D=，C1D=，+B D2=，D B C1=9 0，c o s B C1D=故选：C【点 评】本 题 考 查 了 空 间 中 的 两 条 异 面 直 线 所 成 角 的 计 算 问 题，也 考 查 了 空 间中的平行关系应用问题，是中档题第 1 6 页（共 2 9 页）1 1（5 分）若 x=2 是 函数 f（x）=（x2+a x 1）ex1的 极值 点，则 f（x）的极小值为（）A 1 B 2 e3C 5 e3D 1【考点】6 D：利用导数研究函数的极值菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；3 5：转化思想；4 9：综合法；5 3：导数的综合应用【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出 a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可【解答】解：函数 f（x）=（x2+a x 1）ex1，可得 f（x）=（2 x+a）ex1+（x2+a x 1）ex1，x=2 是函数 f（x）=（x2+a x 1）ex1的极值点，可得：f（2）=（4+a）e3+（4 2 a 1）e3=0，即4+a+（3 2 a）=0 解得 a=1 可得 f（x）=（2 x 1）ex1+（x2x 1）ex1，=（x2+x 2）ex1，函数的极值点为：x=2，x=1，当 x 2 或 x 1 时，f（x）0 函数是增函数，x（2，1）时，函数是减函数，x=1 时，函数取得极小值：f（1）=（121 1）e11=1 故选：A【点 评】本 题 考 查 函 数 的 导 数 的 应 用，函 数 的 单 调 性 以 及 函 数 的 极 值 的 求 法，考查计算能力1 2（5 分）已知A B C 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 A B C 内一点，则（+）的最小值是（）A 2 B C D 1【考点】9 O：平面向量数量积的性质及其运算菁 优 网 版 权 所 有第 1 7 页（共 2 9 页）【专题】3 1：数形结合；4 R：转化法；5 A：平面向量及应用【分 析】根 据 条 件 建 立 坐 标 系，求 出 点 的 坐 标，利 用 坐 标 法 结 合 向 量 数 量 积 的公式进行计算即可【解答】解：建立如图所示的坐标系，以 B C 中点为坐标原点，则 A（0，），B（1，0），C（1，0），设 P（x，y），则=（x，y），=（1 x，y），=（1 x，y），则（+）=2 x22 y+2 y2=2 x2+（y）2 当 x=0，y=时，取得最小值 2（）=，故选：B【点 评】本 题 主 要 考 查 平 面 向 量 数 量 积 的 应 用，根 据 条 件 建 立 坐 标 系，利 用 坐标法是解决本题的关键二、填空 题：本 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 2 0 分。1 3（5 分）一批产品 的二等品 率为 0.0 2，从 这批产品 中每次随 机取一件，有放回地抽取 1 0 0 次X 表示抽到的二等品件数，则 D X=1.9 6【考点】C H：离散型随机变量的期望与方差 菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；3 5：转化思想；5 I：概率与统计【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可【解 答】解：由 题 意 可 知，该 事 件 满 足 独 立 重 复 试 验，是 一 个 二 项 分 布 模 型，其中，p=0.0 2，n=1 0 0，则 D X=n p q=n p（1 p）=1 0 0 0.0 2 0.9 8=1.9 6 第 1 8 页（共 2 9 页）故答案为：1.9 6【点 评】本 题 考 查 离 散 性 随 机 变 量 的 期 望 与 方 差 的 求 法，判 断 概 率 类 型 满 足 二项分布是解题的关键1 4（5 分）函数 f（x）=s i n2x+c o s x（x 0，）的最大值是 1【考点】H W：三角函数的最值菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；3 3：函数思想；4 J：换元法；5 1：函数的性质及应用；5 7：三角函数的图像与性质【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出【解答】解：f（x）=s i n2x+c o s x=1 c o s2x+c o s x，令 c o s x=t 且 t 0，1，则 y=t2+t+=（t）2+1，当 t=时，f（t）m a x=1，即 f（x）的最大值为 1，故答案为：1【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题1 5（5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=1 0，则=【考点】8 5：等差数列的前 n 项和；8 E：数列的求和菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；3 5：转化思想；4 9：综合法；5 4：等差数列与等比数列【分 析】利 用 已 知 条 件 求 出 等 差 数 列 的 前 n 项 和，然 后 化 简 所 求 的 表 达 式，求解即可【解答】解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=1 0，S4=2（a2+a3）=1 0，可得 a2=2，数列的首项为 1，公差为 1，Sn=，=，第 1 9 页（共 2 9 页）则=2 1+=2（1）=故答案为：【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力1 6（5 分）已知 F 是抛物线 C：y2=8 x 的焦点，M 是 C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点 N 若 M 为 F N 的中点，则|F N|=6【考点】K 8：抛物线的性质菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；3 5：转化思想；5 D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出 M 坐标，然后求解即可【解答】解：抛 物线 C：y2=8 x 的 焦点 F（2，0），M 是 C 上 一点，F M 的 延长 线交 y 轴于点 N 若 M 为 F N 的中点，可知 M 的横坐标为：1，则 M 的纵坐标为：，|F N|=2|F M|=2=6 故答案为：6【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 第 1 7 2 1 题 为 必 考 题，每 个 试题 考 生 都 必 须 作 答 第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根据要 求作 答（一）必 考题：共 6 0 分。1 7（1 2 分）A B C 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 s i n（A+C）=8 s i n2（1）求 c o s B；（2）若 a+c=6，A B C 的面积为 2，求 b【考点】G S：二倍角的三角函数；H P：正弦定理菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；3 5：转化思想；4 R：转化法；5 8：解三角形【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知 A+C=B，再利用诱导公式化简 s i n第 2 0 页（共 2 9 页）（A+C），利用降幂公式化简 8 s i n2，结合 s i n2B+c o s2B=1，求出 c o s B，（2）由（1）可 知 s i n B=，利 用 勾 面 积 公 式 求 出 a c，再 利 用 余 弦 定 理 即 可 求出 b【解答】解：（1）s i n（A+C）=8 s i n2，s i n B=4（1 c o s B），s i n2B+c o s2B=1，1 6（1 c o s B）2+c o s2B=1，1 6（1 c o s B）2+c o s2B 1=0，1 6（c o s B 1）2+（c o s B 1）（c o s B+1）=0，（1 7 c o s B 1 5）（c o s B 1）=0，c o s B=；（2）由（1）可知 s i n B=，S A B C=a c s i n B=2，a c=，b2=a2+c22 a c c o s B=a2+c22=a2+c21 5=（a+c）22 a c 1 5=3 6 1 7 1 5=4，b=2【点 评】本 题 考 查 了 三 角 形 的 内 角 和 定 理，三 角 形 的 面 积 公 式，二 倍 角 公 式 和同角的三角函数的关系，属于中档题1 8（1 2 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 1 0 0 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：k g），其频率分布直方图如图：第 2 1 页（共 2 9 页）（1）设 两 种 养 殖 方 法 的 箱 产 量 相 互 独 立，记 A 表 示 事 件“旧 养 殖 法 的 箱 产 量 低于 5 0 k g，新养殖法的箱产量不低于 5 0 k g”，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 9 9%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量5 0 k g 箱产量5 0 k g旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.0 1）附：P（K2k）0.0 5 0 0.0 1 0 0.0 0 1k 3.8 4 1 6.6 3 5 1 0.8 2 8K2=【考 点】B 8：频 率 分 布直 方 图；B E：用 样 本 的数 字 特 征 估 计 总 体的 数 字 特 征；B L：独立性检验 菁 优 网 版 权 所 有【专题】3 1：数形结合；4 4：数形结合法；5 I：概率与统计【分析】（1）由题 意可知：P（A）=P（B C）=P（B）P（C），分布 求得发生的 频率，即可求得其概率；（2）完 成 2 2 列 联 表：求 得 观 测 值，与 参 考 值 比 较，即 可 求 得 有 9 9%的 把 握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据频率分布直方图即可求得其中位数第 2 2 页（共 2 9 页）【解答】解：（1）记 B 表示事件“旧养殖法 的箱产量低于 5 0 k g”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于 5 0 k g”，由 P（A）=P（B C）=P（B）P（C），则旧养殖法的箱产量低于 5 0 k g：（0.0 1 2+0.0 1 4+0.0 2 4+0.0 3 4+0.0 4 0）5=0.6 2，故 P（B）的估计值 0.6 2，新养殖法的箱产量不低于 5 0 k g：（0.0 6 8+0.0 4 6+0.0 1 0+0.0 0 8）5=0.6 6，故 P（C）的估计值为，则事件 A 的概率估计值为 P（A）=P（B）P（C）=0.6 2 0.6 6=0.4 0 9 2；A 发生的概率为 0.4 0 9 2；（2）2 2 列联表：箱产量 5 0 k g 箱产量5 0 k g 总计旧养殖法 6 2 3 8 1 0 0新养殖法 3 4 6 6 1 0 0总计 9 6 1 0 4 2 0 0则 K2=1 5.7 0 5，由 1 5.7 0 5 6.6 3 5，有 9 9%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由 新 养 殖 法 的 箱 产 量 频 率 分 布 直 方 图 中，箱 产 量 低 于 5 0 k g 的 直 方 图 的 面积：（0.0 0 4+0.0 2 0+0.0 4 4）5=0.3 4，箱产量低于 5 5 k g 的直方图面积为：（0.0 0 4+0.0 2 0+0.0 4 4+0.0 6 8）5=0.6 8 0.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：5 0+5 2.3 5（k g），新养殖法箱产量的中位数的估计值 5 2.3 5（k g）【点 评】本 题 考 查 频 率 分 布 直 方 图 的 应 用，考 查 独 立 性 检 验，考 查 计 算 能 力，属于中档题1 9（1 2 分）如图，四棱锥 P A B C D 中，侧面 P A D 为等边三角形且垂直于底面第 2 3 页（共 2 9 页）A B C D，A B=B C=A D，B A D=A B C=9 0，E 是 P D 的中点（1）证明：直线 C E 平面 P A B；（2）点 M 在棱 P C 上，且直线 B M 与底面 A B C D 所成角为 4 5，求二面角 M A BD 的余弦值【考点】L S：直线与平面平行；M J：二面角的平面角及求法菁 优 网 版 权 所 有【专 题】3 1：数 形 结 合；3 5：转 化 思 想；4 9：综 合 法；5 F：空 间 位 置 关 系 与 距离；5 G：空间角【分析】（1）取 P A 的中点 F，连接 E F，B F，通过证明 C E B F，利用直线与平面平行的判定定理证明即可（2）利用已知条件转化求解 M 到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角 M A B D 的余弦值即可【解答】（1）证明：取 P A 的中点 F，连接 E F，B F，因为 E 是 P D 的中点，所以 E F A D，A B=B C=A D，B A D=A B C=9 0，B C A D，B C E F 是平行四边形，可得 C E B F，B F 平面 P A B，C E 平面 P A B，直线 C E 平面 P A B；（2）解：四棱锥 P A B C D 中，侧面 P A D 为等边三角形且垂直于底面 A B C D，A B=B C=A D，B A D=A B C=9 0，E 是 P D 的中点取 A D 的中点 O，M 在底面 A B C D 上的射影 N 在 O C 上，设 A D=2，则 A B=B C=1，O P=，P C O=6 0，直线 B M 与底面 A B C D 所成角为 4 5，可得：B N=M N，C N=M N，B C=1，第 2 4 页（共 2 9 页）可得：1+B N2=B N2，B N=，M N=，作 N Q A B 于 Q，连接 M Q，A B M N，所以M Q N 就是二面角 M A B D 的平面角，M Q=，二面角 M A B D 的余弦值为：=【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力2 0（1 2 分）设 O 为坐 标原 点，动 点 M 在椭 圆 C：+y2=1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足=（1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线 x=3 上，且=1 证明：过点 P 且垂直于 O Q 的直线l 过 C 的左焦点 F【考点】J 3：轨迹方程；K L：直线与椭圆的综合菁 优 网 版 权 所 有【专题】3 4：方程思想；4 8：分析法；5 A：平面向量及应用；5 B：直线与圆第 2 5 页（共 2 9 页）【分 析】（1）设 M（x0，y0），由 题 意 可 得 N（x0，0），设 P（x，y），运 用 向 量的坐标运算，结合 M 满足椭圆方程，化简整理可得 P 的轨迹方程；（2）设 Q（3，m），P（c o s，s i n），（0 2），运用向量的数量积的 坐 标 表示，可 得 m，即 有 Q 的 坐 标，求 得 椭 圆 的 左 焦点 坐 标，求 得 O Q，P F 的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为 0，即可得证【解答】解：（1）设 M（x0，y0），由题意可得 N（x0，0），设 P（x，y），由点 P 满足=可得（x x0，y）=（0，y0），可得 x x0=0，y=y0，即有 x0=x，y0=，代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，即有点 P 的轨迹方程为圆 x2+y2=2；（2）证明：设 Q（3，m），P（c o s，s i n），（0 2），=1，可得（c o s，s i n）（3 c o s，m s i n）=1，即为3 c o s 2 c o s2+m s i n 2 s i n2=1，当=0 时，上式不成立，则 0 2，解得 m=，即有 Q（3，），椭圆+y2=1 的左焦点 F（1，0），由=（1 c o s，s i n）（3，）=3+3 c o s 3（1+c o s）=0 可得过点 P 且垂直于 O Q 的直线 l 过 C 的左焦点 F 另解：设 Q（3，t），P（m，n），由=1，可得（m，n）（3 m，t n）=3 m m2+n t n2=1，又 P 在圆 x2+y2=2 上，可得 m2+n2=2，即有 n t=3+3 m，第 2 6 页（共 2 9 页）又椭圆的左焦点 F（1，0），=（1 m，n）（3，t）=3+3 m n t=3+3 m 3 3 m=0，则，可得过点 P 且垂直于 O Q 的直线 l 过 C 的左焦点 F【点 评】本 题 考 查 轨 迹 方 程 的 求 法，注 意 运 用 坐 标 转 移 法 和 向 量 的 加 减 运 算，考查圆 的参数方 程的运用 和直线的 斜率公式，以及向量 的数量积 的坐标表示和 两 直 线 垂 直 的 条 件：向 量 数 量 积 为 0，考 查 化 简 整 理 的 运 算 能 力，属 于 中档题2 1（1 2 分）已知函数 f（x）=a x2a x x l n x，且 f（x）0（1）求 a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e2f（x0）22【考点】6 D：利用导数研究函数的极值菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；3 5：转化思想；4 9：综合法；5 3：导数的综合应用【分析】（1）通过分析可知 f（x）0 等价于 h（x）=a x a l n x 0，进而利用h（x）=a 可得 h（x）m i n=h（），从而可得结论；（2）通 过（1）可 知 f（x）=x2 x x l n x，记 t（x）=f（x）=2 x 2 l n x，解 不等式可知 t（x）m i n=t（）=l n 2 1 0，从而可知 f（x）=0 存在两根 x0，x2，利用 f（x）必存在唯一极大值点 x0及 x0 可知 f（x0），另一方面可知f（x0）f（）=【解答】（1）解：因为 f（x）=a x2a x x l n x=x（a x a l n x）（x 0），则 f（x）0 等价于 h（x）=a x a l n x 0，求导可知 h（x）=a 则当 a 0 时 h（x）0，即 y=h（x）在（0，+）上单调递减，所以当 x01 时，h（x0）h（1）=0，矛盾，故 a 0 因为当 0 x 时 h（x）0、当 x 时 h（x）0，第 2 7 页（共 2 9 页）所以 h（x）m i n=h（），又因为 h（1）=a a l n 1=0，所以=1，解得 a=1；另解：因为 f（1）=0，所以 f（x）0 等价于 f（x）在 x 0 时的最小值为 f（1），所以等价于 f（x）在 x=1 处