高三数学第一轮复习教案新人教A直线与圆锥曲线的位置关系中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf

8.4 直线与圆锥曲线的位置关系 巩固夯实基础 一、自主梳理 已知直线 l:Ax+By+C=0 与圆锥曲线 C：f(x,y)=0.1.方程组0),(,0yxfCByAx解的组数即为 l 与 C 的交点的个数；方程组的解就是 l 与 C 的交点的坐标.2.若 l 与 C 有两个交点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，则线段 P1P2为直线被圆锥曲线截得的弦，其弦长|P1P2|=221221)()(yyxx=21 k|x1-x2|.其中 k 为直线 l 的斜率.3.中点坐标公式：设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，则线段 AB 的中点 M(x0,y0)的坐标满足：.2,2210210yyyxxx 4.弦差法求直线的斜率 若曲线为 mx2+ny2=1(m0,n0),则由122222121nymxnymx m(x12-x22)+n(y12-y22)=0k=2121xxyy=-00nymx.二、点击双基 1.过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 作一条直线 l 交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则2121xxyy等于()A.-4 B.4 C.-p2 D.p2 解析：特殊值法.设 l 的方程为 x=2p,则 x1=x2=2p.y1=-y2=p.2121xxyy=422pp=-4.答案：A 2.已知双曲线22ax-22by=1 与直线 y=2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,5)B.(1,5)(5，+)C.(5，+)D.5,+解析：双曲线的渐近线的斜率 k=ab，要使双曲线22ax-22by=1 和直线 y=2x 有交点，只要满足ab2 即可，aac222.12e2.e5.答案：C 3.已知椭圆 x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为()A.32 B.23 C.330 D.236 解析：依题设弦端点 A(x1,y1)、B(x2,y2)，则 x12+2y12=4,x22+2y22=4.x12-x22=-2(y12-y22).此弦斜率 k=2121xxyy=-)(22121yyxx=-21.此弦直线方程为 y-1=-21(x-1),即 y=-21x+23代入 x2+2y2=4,整理得 3x2-6x+1=0.x1x2=31,x1+x2=2.|AB|=2)21(1212214)(xxxx=25344=330.答案：C 4.已知(4,2)是直线 l 被椭圆362x+92y=1 所截得的线段的中点，则 l 的方程是_.解析：设直线 l 与椭圆交于 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),将 P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线 l 斜率 k=2121xxyy=-)(42121yyxx =-2422121yyxx=-244=-21.由点斜式可得 l 的方程为 x+2y-8=0.答案：x+2y-8=0 5.过抛物线 y2=4x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，已知|AB|=8,O 为坐标原点，则OAB的重心的横坐标为_.解析：由题意知抛物线焦点 F(1,0).设过焦点 F(1,0)的直线为 y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2).代入抛物线方程消去 y 得 k2x2-2(k2+2)x+k2=0.程组的解就是与的交点的坐标若与有两个交点则线段为直线被圆锥曲线截得的弦其弦长其中为直线的斜率中点坐标公式设则线段的中点的坐标满足弦差法求直线的斜率若曲线为则由二点击双基过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于渐近线的斜率要使双曲线和直线有交点只要满足即可答案已知椭圆则以为中点的弦的长度为解析依题设弦端点则此弦斜率此弦直线方程为即代入整理得答案已知是直线被椭圆所截得的线段的中点则的方程是解析设直线与椭圆交于将标原点则的重心的横坐标为解析由题意知抛物线焦点设过焦点的直线为代入抛物线方程消去得的重心的横坐标为答案诱思实例点拨例已知直线交椭圆于两点若为的倾斜角且的长不小于短轴的长求的取值范围剖析确定某一变量的取值 k20,x1+x2=22)2(2kk,x1x2=1.|AB|=2212)(1(xxk =4)(1(212212xxxxk =4)2(4)1(4222kkk =8,k2=1.OAB 的重心的横坐标为 x=3021xx=2.答案：2 诱思实例点拨【例 1】已知直线 l:y=tan(x+22)交椭圆 x2+9y2=9 于 A、B 两点，若为 l 的倾斜角，且|AB|的长不小于短轴的长，求的取值范围.剖析：确定某一变量的取值范围，应设法建立关于这一变量的不等式，题设中已经明确给定弦长2b,最后可归结为计算弦长求解不等式的问题.解：将 l 方程与椭圆方程联立，消去 y,得(1+9tan2)x2+362tan2x+72tan2-9=0,|AB|=2tan1|x2-x1|=2tan1)tan91(2 =22tan916tan6.由|AB|2,得 tan231,-33tan33.的取值范围是0,665,.讲评：考查直线与椭圆相交所得弦长的范围，对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用.本题由于 l 的方程由 tan给出，所以可以认定2,否则涉及弦长计算时，还应讨论=2时的情况.【例 2】讨论直线 l:y=kx+1 与双曲线 C：x2-y2=1 的公共点的个数.程组的解就是与的交点的坐标若与有两个交点则线段为直线被圆锥曲线截得的弦其弦长其中为直线的斜率中点坐标公式设则线段的中点的坐标满足弦差法求直线的斜率若曲线为则由二点击双基过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于渐近线的斜率要使双曲线和直线有交点只要满足即可答案已知椭圆则以为中点的弦的长度为解析依题设弦端点则此弦斜率此弦直线方程为即代入整理得答案已知是直线被椭圆所截得的线段的中点则的方程是解析设直线与椭圆交于将标原点则的重心的横坐标为解析由题意知抛物线焦点设过焦点的直线为代入抛物线方程消去得的重心的横坐标为答案诱思实例点拨例已知直线交椭圆于两点若为的倾斜角且的长不小于短轴的长求的取值范围剖析确定某一变量的取值剖析：直线与圆锥曲线公共点的个数问题的讨论实际上是相应方程组的解的问题.解：联立直线和双曲线方程,1,122yxkxy 消去 y 得(1-k2)x2-2kx-2=0.当 1-k2=0,即 k=1 时，x=1.当 1-k20,即 k1 时，=4k2+8(1-k2)=8-4k2.由0 得-2k2;由=0 得 k=2;由0 得 k2.所以当 k(-2,-1)(-1,1)(1,2)时，直线 l 与双曲线 C 相交于两点;当 k=2时，直线 l 与双曲线 C 相切于一点；当 k=1 时，直线 l 与双曲线 C 相交于一点;当 k(-,-2)(2,+)时，直线 l 与双曲线 C 没有公共点，直线 l 与双曲线 C 相离.讲评：该题讨论了过定点(0,1)的直线系与等轴双曲线的位置关系.按 1-k2是否等于 0 来分类讨论.容易犯的两个错误：一是不讨论二次项系数为零的情况；二是讨论判别式时，丢掉前提条件二次项系数不为零.【例 3】如图，点 A、B 分别是椭圆362x+202y=1 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方，PAPF.(1)求点 P 的坐标；(2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值.剖析：(1)由PAPF，得PAPF=0 和椭圆方程联立出方程组求出点 P 的坐标.(2)利用函数思想方法，求出 d2的最小值.解：(1)由已知可得点 A(-6,0)、F(4,0).设点 P 的坐标是(x,y)，则AP=(x+6,y),FP=(x-4,y).程组的解就是与的交点的坐标若与有两个交点则线段为直线被圆锥曲线截得的弦其弦长其中为直线的斜率中点坐标公式设则线段的中点的坐标满足弦差法求直线的斜率若曲线为则由二点击双基过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于渐近线的斜率要使双曲线和直线有交点只要满足即可答案已知椭圆则以为中点的弦的长度为解析依题设弦端点则此弦斜率此弦直线方程为即代入整理得答案已知是直线被椭圆所截得的线段的中点则的方程是解析设直线与椭圆交于将标原点则的重心的横坐标为解析由题意知抛物线焦点设过焦点的直线为代入抛物线方程消去得的重心的横坐标为答案诱思实例点拨例已知直线交椭圆于两点若为的倾斜角且的长不小于短轴的长求的取值范围剖析确定某一变量的取值 由已知得,0)4)(6(,12036222yxxyx 则 2x2+9x-18=0,x=23或 x=-6.由于 y0,只能 x=23,于是 y=253.所以点 P 的坐标是(23,253).(2)直线 AP 的方程是 x-3y+6=0，设点 M 的坐标是(m,0)，则 M 到直线 AP 的距离是2|6|m，于是2|6|m=|m-6|.又-6 m6，解得 m=2.椭圆上的点(x,y)到点 M 的距离 d 有 d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-95x2=94(x-29)2+15.由于-6 x6,当 x=29时，d 取得最小值15.讲评：方程组、函数的思想方法在解决平面解析几何中有着非常重要的作用.程组的解就是与的交点的坐标若与有两个交点则线段为直线被圆锥曲线截得的弦其弦长其中为直线的斜率中点坐标公式设则线段的中点的坐标满足弦差法求直线的斜率若曲线为则由二点击双基过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于渐近线的斜率要使双曲线和直线有交点只要满足即可答案已知椭圆则以为中点的弦的长度为解析依题设弦端点则此弦斜率此弦直线方程为即代入整理得答案已知是直线被椭圆所截得的线段的中点则的方程是解析设直线与椭圆交于将标原点则的重心的横坐标为解析由题意知抛物线焦点设过焦点的直线为代入抛物线方程消去得的重心的横坐标为答案诱思实例点拨例已知直线交椭圆于两点若为的倾斜角且的长不小于短轴的长求的取值范围剖析确定某一变量的取值