备战2023年高考数学二轮专题复习专题练　第14练　解三角形.docx

第14练解三角形1(2020·全国)在ABC中，cos C，AC4，BC3，则cos B等于()A. B. C. D.答案A解析由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BCcos C42322×4×3×9，所以AB3，所以cos B.2(2018·全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为，则C等于()A. B. C. D.答案C解析Sabsin Cabcos C，sin Ccos C，即tan C1.C(0，)，C.3(2019·全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin Absin B4csin C，cos A，则等于()A6 B5 C4 D3答案A解析asin Absin B4csin C，由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.由余弦定理得cos A，6.4(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A，B，C满足ACB45°，ABC60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB与CC的差为100，由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为(1.732)() A346 B373 C446 D473答案B解析如图所示，根据题意过C作CECB，交BB于E，过B作BDAB，交AA于D，则BE100，CBCE.在ABC中，CAB75°，则BDAB.又在B点处测得A点的仰角为45°，所以ADBD，所以高度差AACCADBE100100100100100(1)100373.5(2022·全国甲卷)已知ABC中，点D在边BC上，ADB120°，AD2，CD2BD.当取得最小值时，BD_.答案1解析设BDk(k>0)，则CD2k.根据题意作出大致图形，如图在ABD中，由余弦定理得AB2AD2BD22AD·BDcosADB22k22×2k·k22k4.在ACD中，由余弦定理得AC2AD2CD22AD·CDcosADC22(2k)22×2×2k·4k24k4，则444.k12(当且仅当k1，即k1时等号成立)，442(1)2，当取得最小值1时，BDk1.6(2020·全国)如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC1，ABAD，ABAC，ABAD，CAE30°，则cosFCB_.答案解析在ABD中，ABAD，ABAD，BD，FBBD.在ACE中，AEAD，AC1，CAE30°，EC1，CFCE1.又BC2，在FCB中，由余弦定理得cosFCB.7(2020·新高考全国)在ac，csin A3，cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Asin B，C，_？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解由C和余弦定理得cos C.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc.选条件.由ac，解得a，bc1.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c1.选条件.由bc，BC，A.由csin A3，得cb2，a6.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c2.选条件.由于cb，与bc矛盾因此，选条件时问题中的三角形不存在8(2022·新高考全国)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)若C，求B；(2)求的最小值解(1)因为，所以，所以，所以cos Acos Bsin Bsin Asin B，所以cos(AB)sin B，所以sin Bcos Ccos .因为B，所以B.(2)由(1)得cos(AB)sin B，所以sinsin B，且0<AB<，所以0<B<，0<(AB)<，所以(AB)B，解得A2B，由正弦定理得4cos2B52545，当且仅当cos2B时取等号，所以的最小值为45.9(2022·宣城模拟)如图所示，点D是等边ABC外一点，且ADC，CD2，AC2，则ABD的周长是() A2 B42C62 D42答案C解析在ACD中，由正弦定理得sinCAD，由于ADC为钝角，所以CAD为锐角，所以CAD，则ACD，BAD，所以ADCD2，BD4，所以ABD的周长为24262.10(2022·马鞍山模拟)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin Bsin C)2sin2A(2)sin Bsin C，sin A2sin B0，则sin C等于()A. B.C. D.答案C解析在ABC中，由(sin Bsin C)2sin2A(2)sin Bsin C及正弦定理得，(bc)2a2(2)bc，即b2c2a2bc，由余弦定理得，cos A，而0°<A<180°，解得A135°，由sin A2sin B0得sin Bsin A，显然0°<B<45°，则B30°，C15°，所以sin Csin(60°45°)sin 60°cos 45°cos 60°sin 45°.11(2022·福州模拟)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作数书九章中独立地提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即ABC的面积S，其中a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，若b1，且tan C，则ABC面积的最大值为()A. B. C. D.答案A解析因为tan C，所以sin Csin Ccos Bcos Csin B，即sin Csin(CB)sin A，由正弦定理可得ca，所以S，当a时，S取到最大值.12(多选)(2022·烟台模拟)在ABC中，D在线段AB上，且AD5，BD3，若CB2CD，cosCDB，则()AsinCBDBABC的面积为8CABC的周长为84DABC为钝角三角形答案BCD解析因为cosCDB，所以sinCDB，又由正弦定理得，所以sinCBD，故A错误；设CDa，则BC2a，在BCD中，BC2CD2BD22BD·CD·cosCDB，解得a，所以SDBCBD·CD·sinCDB×3××3，所以SABCSDBC8，故B正确；因为ADCCDB，所以cosADCcos(CDB)cosCDB，在ADC中，AC2AD2CD22AD·DC·cosADC，解得AC2，所以CABCABACBC352284，故C正确；因为AB8为最大边，所以cosACB<0，即ACB为钝角，所以ABC为钝角三角形，故D正确13(2022·长沙模拟)如图，某湖有一半径为100 m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足ABAC，BAC90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设AOB.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为_答案(10 00025 000)m2解析在OAB中，AOB，OB100，OA200，AB2OB2OA22OB·OA·cos ，即AB100，S四边形OACBSOABSABC·OA·OB·sin ·AB2，S四边形OACB1002.令tan 2，则S四边形OACB1002，“直接监测覆盖区域”面积的最大值为(10 00025 000)m2.14(2022·杭州质检)在ABC中，AD为BAC的角平分线，AB5，AC3，cosABC，则BC_，若AB<BC，则AD_.答案7或解析在ABC中，由余弦定理可得AC2AB2BC22AB·BC·cosABC，即925BC22×5×BC×，即7BC265BC1120，所以BC或BC7.若AB<BC，则BC7，由余弦定理可得cosBAC，所以BAC，因为AD为BAC的角平分线，所以BADCAD，所以SABC×3×5×sin ×(35)×AD×sin ，解得AD.15(2022·乐山调研)已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(bc)2a2bc.(1)求角A的大小；(2)若a，SABC，求ABC的周长解(1)因为(bc)2a2bc，所以b2c2a2bc，由余弦定理可得cos A，又因为A(0，)，所以A.(2)由已知SABCbcsin Abc×，所以bc6，由已知及余弦定理得a2b2c22bccos Ab2c2bc(bc)23bc，即7(bc)23×6，所以(bc)225，解得bc5或bc5(舍)，所以ABC的周长为abc5.16(2022·德州模拟)如图，在ABC中，BC2，AC，A，点M，N是边AB上的两点，MCN.(1)求ABC的面积；(2)当BN时，求MN的长解(1)在ABC中，BC>AC，则A>B，由正弦定理得，即，解得sin B，因为B(0，)，所以B或B(不符合题意，舍去)，则sinACBsin(AB)sin Acos Bcos A·sin B.所以ABC的面积为SABC·BC·AC·sinACB.(2)在BCN中，BC2，BN，B，由余弦定理可得CN1，则有BC2BN2CN2，所以CNAB，在RtCMN中，CN1，MCN，tan ，则MN.考情分析解三角形是高考考查的热点，三角恒等变换单独考查的题目较少，多以解三角形为背景，在用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角恒等变换进行化简，综合性较强，难度中等一、正弦定理、余弦定理 核心提炼1正弦定理及其变形在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径)变形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等2余弦定理及其变形在ABC中，a2b2c22bccos A.变形：b2c2a22bccos A，cos A.练后反馈题目12351215正误错题整理：二、解三角形在实际生活中的应用 核心提炼求实际问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如都可用，就选便于计算的定理练后反馈题目41113正误错题整理：三、正弦定理、余弦定理的综合应用 核心提炼以三角恒等变换、正弦定理、余弦定理为解题工具，常与三角函数、向量、基本不等式、平面几何等交汇命题练后反馈题目6789101416正误错题整理：1T10补偿(2022·九江模拟)在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin B2sin A，acos Bc1，则角A的大小为()A. B. C. D.答案C解析由正弦定理及asin B2sin A得，ab2a，b2.acos Bc1，由余弦定理得a·c1，a2c2b22c，由余弦定理得cos A，A(0，)，A.2T4补偿(2022·贵阳模拟)如图，某数学学习小组要测量地面上一棵大树AB的高度(大树AB垂直于地面)，在与树底B同一水平面内选取两个测量基点C和D，在C点测得大树顶部A的仰角是，在D点测得大树顶部A的仰角是，测得水平面上的BDC，DC20米，则大树的高度为() A10米 B10 米C20米 D20 米答案A解析依题意在RtABD中，ADB，所以ABBD，在RtABC中，ACB，所以tanACBtan ，所以BCAB，令ABh，在BDC中，BDC，DC20，由余弦定理，得BC2BD2DC22BD·DC·cosBDC，即(h)2h22022h×20×，即h210h2000，解得h10或h20(舍去)，所以大树的高度为10米3T8补偿(2022·濮阳质检)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且SABC(a2b2c2)，则的取值范围是()A(6,2 B(6,4C. D，2)答案D解析在锐角ABC中，由余弦定理及三角形面积定理得，SABC(a2b2c2)abcos Cabsin C，即有tan C，而C，则C，又，由正弦定理和余弦定理得，化简得c2，由正弦定理知4，即a4sin A，b4sin B，又ABC是锐角三角形且C，所以A，BA，解得A，因此ab4(sin Asin B)444sin，由A得A，sin，所以，2)4T13补偿(2022·上饶模拟)为创建全国文明城市，某市决定对某小区内一个近似半圆形场地进行改造，场地如图，以O为圆心，半径为一个单位长度，现规划出以下三块场地，在扇形AOC区域铺设草坪，OCD区域种花，OBD区域养殖观赏鱼，若AOCCOD，且使这三块场地面积之和最大，则cosAOC_.答案解析设AOC，则COD，根据题意易知，ODOB，OBD为等腰三角形，则ODBOBD，又AODODBOBD，CODODBOBD，OCDB，则三块场地的面积和为Ssin sin(2)sin sin 2，则Scos cos 22cos2cos ，令S0，cos 或cos (舍)，设为cos 所对应的角，ycos 在上单调递减，当(0，)时，S单调递增，当时，S单调递减当cosAOCcos 时，三块场地面积之和S最大5T7补偿(2022·枣庄模拟)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a6，b2bcc236.(1)求A；(2)从以下三个条件：b8；sin B；AC边上的高BH中选择一个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求ABC的面积解(1)因为a6，b2bcc236，所以b2bcc2a2，所以b2c2a2bc，所以cos A.又0<A<，所以A.(2)选第个条件：b8.由b2bcc236可得c28c280，因为824×2848<0，所以无解，这样的三角形不存在选第个条件：sin B.由正弦定理，得，所以b4.由b2bcc236，得c24c200.解得c22或c22(舍去)因此SABCbcsin A×4××62.选第个条件：AC边上的高BH.在ABH中，由sin A，所以AB，即c，代入b2bcc236得b2b0，解得b或b，这样的三角形不能唯一确定，不符合题意