2007年上海高考数学真题(理科)试卷(含解析).docx

绝密启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1函数的定义域是 2若直线与直线平行，则 3函数的反函数 4方程 的解是 5已知，且，则的最大值是 6函数的最小正周期 7在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示） 8以双曲线的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 9对于非零实数，以下四个命题都成立： ； ； 若，则； 若，则 那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 10在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种 已知是两个 相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是直线用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异 面直线的充分条件： 11已知为圆上任意 一点（原点除外），直线 的倾斜角为弧度，记 在右侧的坐标系中，画出以 为坐标的点的轨迹的大致图形为 二选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分12已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程 的两个根，那么的值分别是（） 13设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（） 14直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量在直角三角形中，若，则的可能值个数是（）1 2 3 4 15设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”那么，下列命题总成立的是（） 若成立，则当时，均有成立 若成立，则当时，均有成立 若成立，则当时，均有成立 若成立，则当时，均有成立 三解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤16（本题满分12分）如图，在体积为1的直三棱柱中， 求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 17（本题满分14分） 在中，分别是三个内角的对边若，求的面积 18（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%） （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？ 19（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 已知函数，常数 （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在上为增函数，求的取值范围 20（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分 如果有穷数列（为正整数）满足条件，即（），我们称其为“对称数列”例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”（1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，依次写出的每一项；（2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列记各项的和为当为何值时，取得最大值？并求出的最大值；（3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列”前项的和 21（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，如图，点，是相应椭圆的焦点，和，分别是“果圆”yO.x.与，轴的交点（1） 若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）当时，求的取值范围；（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由绝密启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1函数的定义域是 【答案】 【解析】 Þ 2若直线与直线平行，则 【答案】 【解析】 3函数的反函数 【答案】 【解析】由4方程 的解是 【答案】 【解析】 （舍去），。5已知，且，则的最大值是 【答案】 【解析】 ，当且仅当x=4y=时取等号.6函数的最小正周期 【答案】 【解析】 。7在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示） 【答案】 【解析】 8以双曲线的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 【答案】 【解析】双曲线的中心为O（0,0），该双曲线的左焦点为F（3,0），则抛物线的顶点为（3,0），焦点为（0,0），所以p=6，所以抛物线方程是)9对于非零实数，以下四个命题都成立： ； ； 若，则； 若，则 那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 【答案】 【解析】 对于：解方程得 a=± i，所以非零复数 a = ± i 使得，不成立；显然成立；对于：在复数集C中，|1|=|i|，则 ¿，所以不成立；显然成立。则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的所有序号是 10在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种 已知是两个 相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是直线用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异 面直线的充分条件： 【答案】 ，并且与相交（，并且与相交）【解析】 作图易得“能成为是异面直线的充分条件”的是“，并且与相交”或“，并且与相交”。11已知为圆上任意 一点（原点除外），直线 的倾斜角为弧度，记 在右侧的坐标系中，画出以 为坐标的点的轨迹的大致图形为【答案】 【解析】 二选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分12已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程 的两个根，那么的值分别是（） 【答案】A 【解析】 因为2+ a i，b+i（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，所以a=1，b=2，所以实系数一元二次方程的两个根是 所以。13设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（） 【答案】C 【解析】若a<b<0Þa2>b2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成立 ,故选C。14直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量在直角三角形 中，若，则的可能值个数是（）1 2 3 4【答案】B 【解析】解法一： （1） 若A为直角，则； （2） 若B为直角，则；（3） 若C为直角，则。所以 k 的可能值个数是2，选B 解法二：数形结合如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角所以 k 的可能值个数是2，选B15设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”那么，下列命题总成立的是（） 若成立，则当时，均有成立 若成立，则当时，均有成立 若成立，则当时，均有成立 若成立，则当时，均有成立 【答案】D 【解析】 对A，当k=1或2时，不一定有成立；对B，应有成立；对C，只能得出：对于任意的，均有成立，不能得出：任意的，均有成立；对D，对于任意的，均有成立。故选D。三解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤16（本题满分12分）如图，在体积为1的直三棱柱中， 求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【解析】法一： 由题意，可得体积，连接 ，平面，是直线与平面所成的角 ，则 即直线与平面所成角的大小为法二： 由题意，可得 体积， ， 如图，建立空间直角坐标系 得点， 则，平面的法向量为 设直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则， ， 即直线与平面所成角的大小为 17（本题满分14分） 在中，分别是三个内角的对边若，求的面积【解析】 由题意，得为锐角， ， 由正弦定理得 ， 18（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%） （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？【解析】（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 ，则2006年全球太阳电池的年生产量为 (兆瓦) （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则解得 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到19（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 已知函数，常数 （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在上为增函数，求的取值范围【解析】（1）当时， 对任意， 为偶函数 当时， 取，得 ， ， 函数既不是奇函数，也不是偶函数 （2）解法一：设， ， 要使函数在上为增函数，必须恒成立 ，即恒成立 又， 的取值范围是 解法二：当时，显然在为增函数 当时，反比例函数在为增函数，在为增函数 当时，同解法一 20（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分 如果有穷数列（为正整数）满足条件，即（），我们称其为“对称数列”例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”（1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，依次写出的每一项；（2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列记各项的和为当为何值时，取得最大值？并求出的最大值；（3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列”前项的和【解析】（1）设的公差为，则，解得 ， 数列为 （2）， ， 当时，取得最大值的最大值为626 （3）所有可能的“对称数列”是： ； ； ； 对于，当时， 当时， 对于，当时， 当时， 对于，当时， 当时， 对于，当时， 当时，21（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，如图，点，是相应椭圆的焦点，和，分别是“果圆”yO.x.与，轴的交点（2） 若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）当时，求的取值范围；（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由yO.Mx【解析】（1） ， 于是，所求“果圆”方程为 ， （2）由题意，得 ，即 ，得 又 （3）设“果圆”的方程为， 记平行弦的斜率为当时，直线与半椭圆的交点是，与半椭圆的交点是 的中点满足 得 ， 综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上 当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是 由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上 当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上