2024版新教材高考数学一轮复习第2章函数的概念与性质第6节对数与对数函数学案含解析新人教B版202305182143.doc

2024版新教材高考数学一轮复习第2章函数的概念与性质第6节对数与对数函数学案含解析新人教B版202305182143第6节对数与对数函数一、教材概念·结论·性质重现1对数的概念一般地，如果abN(a>0，且a1)，那么幂指数b称为以a为底N的对数，记作blogaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a1，M>0，N>0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)(2)对数的性质loga10；logaa1；alogaNN；logaaNN(a>0，且a1)(3)对数的换底公式logab(a>0且a1，b>0，c>0且c1)换底公式的三个重要结论(1)logab.(2)logambnlogab.(3)logab·logbc·logcdlogad.其中a>0，且a1，b>0，且b1，c>0，且c1，m，nR.3对数函数(1)一般地，函数ylogax(a>0，且a1)称为对数函数，其中a是常数，a>0且a1. (2)对数函数的图像与性质0<a<1a>1图像定义域(0，)值域R性质过定点(1,0)，即x1时，y0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0减函数增函数对数函数图像的特征(1)由图可知，0<d<c<1<b<a.(2)对数函数ylogax(a>0，且a1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图像只在第一、第四象限4反函数指数函数yax(a>0，且a1)与对数函数ylogax(a>0，且a1)互为反函数，它们的图像关于直线yx对称二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)loga(MN)logaMlogaN.( × )(2)logax·logayloga(xy)( × )(3)函数ylog2x及y3x都是对数函数( × )(4)对数函数ylogax(a>0，且a1)在(0，)上是增函数( × )(5)函数yln 与yln(1x)ln(1x)的定义域相同( )2计算log29×log342log510log50.25()A0 B2 C4 D6D解析：原式2log23×(2log32)log5(102×0.25)4log525426.3函数ylg|x|()A是偶函数，在区间(，0)上单调递增B是偶函数，在区间(，0)上单调递减C是奇函数，在区间(0，)上单调递减D是奇函数，在区间(0，)上单调递增B解析：ylg|x|是偶函数，由图像知(图略)，函数在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增4若函数yf(x)是函数yax(a>0，且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)()Alog2x B. Clog0.5x D2x2A解析：由题意知f(x)logax(a>0，且a1)因为f(2)1，所以loga21.所以a2.所以f(x)log2x.5函数yloga(x1)2(a0，且a1)的图像恒过定点_(2,2)解析：当x2时，函数yloga(x1)2(a0，且a1)的值为2，所以图像恒过定点(2,2).考点1对数运算问题基础性(1)_.(2)已知2x12，log2y，则xy的值为_(3)设2a5bm，且2，则m_.(1)1(2)2(3)解析：(1)原式1.(2)因为2x12，所以xlog212，所以xylog212log2log242.(3)因为2a5bm>0，所以alog2m，blog5m，所以logm2logm5logm102.所以m210.所以m.解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简(2)将同底对数的和、差、倍合并(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用(4)利用常用对数中的lg 2lg 51.考点2对数函数的图像及应用综合性(1) 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)ln(x1)，则函数f(x)的大致图像为()C解析：先作出当x0时，f(x)ln(x1)的图像，显然图像经过点(0,0)，再作此图像关于y轴对称的图像，可得函数f(x)在R上的大致图像，如选项C中图像所示(2)当0x时，4xlogax，则实数a的取值范围是()A BC(1，) D(，2)B解析：易知0a1，函数y4x与ylogax的大致图像如图由题意可知只需满足loga4，解得a，所以a1.故选B.1将本例(2)中“4xlogax”变为“4xlogax有解”，则实数a的取值范围为_解析：若方程4xlogax在上有解，则函数y4x与函数ylogax的图像在上有交点由图像可知解得0a，即a的取值范围为.2若本例(2)变为：已知不等式x2logax<0对x恒成立，则实数a的取值范围为_解析：由x2logax<0得x2<logax.设f1(x)x2，f2(x)logax，要使x时，不等式x2<logax恒成立，只需f1(x)x2在上的图像在f2(x)logax图像的下方即可当a>1时，显然不成立；当0<a<1时，如图所示要使x2<logax在x上恒成立，需f1f2，所以有2loga，解得a，所以a<1.即实数a的取值范围是.利用对数函数的图像解决的两类问题及技巧(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解1下列函数中，其图像与函数yln x的图像关于直线x1对称的是()Ayln(1x) Byln(2x)Cyln(1x) Dyln(2x)B解析：易知yln x与yln(x)的图像关于y轴对称，将yln(x)的图像向右平移2个单位长度所得图像为yln(x2)ln(2x)，即与yln x的图像关于直线x1对称2已知函数f(x)若关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_(1，)解析：问题等价于函数yf(x)与yxa的图像有且只有一个交点，结合图像可知a>1.考点3对数函数的性质及应用应用性考向1比较函数值的大小设a0.50.4，blog0.40.3，clog80.4，则a，b，c的大小关系是()Aa<b<c Bc<b<aCc<a<b Db<c<aC解析：因为0<a0.50.4<0.501，blog0.40.3>log0.40.41，clog80.4<log810，所以c<a<b.比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较考向2对数方程或不等式问题(1)设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)C解析：或解得a1或1a0.故选C.(2)方程log2(x1)2log2(x1)的解为_x解析：原方程变形为log2(x1)log2(x1)log2(x21)2，即x214，解得x±.又x>1，所以x.简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解考向3对数函数性质的综合问题(1)若函数f(x)log2(x2ax3a)在区间(，2上单调递减，则实数a的取值范围是()A(，4) B(4,4C(，4)2，)D4,4)D解析：由题意得x2ax3a>0在区间(，2上恒成立，且函数yx2ax3a在(，2上单调递减，则2且(2)2(2)a3a>0，解得4a<4.所以实数a的取值范围是4,4)故选D.(2)若函数f(x)loga(x2x2)在区间0,2上的最大值为2，则实数a_.2解析：令u(x)x2x2，则u(x)在0,2上的最大值u(x)max4，最小值u(x)min. 当a>1时，ylogau是增函数，f(x)maxloga42，得a2；当0<a<1时，ylogau是减函数，f(x)maxloga2，得a(舍去)故a2.解决对数函数性质的综合问题的注意点(1)要分清函数的底数a(0,1)，还是a(1，)(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性1(2019·全国卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()Aa<b<c Ba<c<bCc<a<b Db<c<aB解析：因为alog20.2<log210，b20.2>201,0<c0.20.3<0.201，所以a<c<b.故选B.2已知不等式logx(2x21)<logx3x<0成立，则实数x的取值范围是_解析：原不等式或.解不等式组，得<x<；不等式组无解所以实数x的取值范围是.第7节函数的图像一、教材概念·结论·性质重现1利用描点法作函数图像其基本步骤是列表、描点、连线首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线2函数图像的变换(1)函数图像平移变换八字方针“左加右减”，要注意加减指的是自变量；“上加下减”，要注意加减指的是函数值(2)对称变换f(x)与f(x)的图像关于y轴对称；f(x)与f(x)的图像关于x轴对称(3)翻折变换|f(x)|的图像是将f(x)的图像中x轴下方的图像对称翻折到x轴上方，x轴上方的图像不变；f(|x|)的图像是f(x)的图像中x轴右侧的图像不变，再对称翻折到y轴的左侧得到(4)关于两个函数图像对称的三个重要结论函数yf(x)与yf(2ax)的图像关于直线xa对称；函数yf(x)与y2bf(2ax)的图像关于点(a，b)中心对称；若函数yf(x)的定义域内任意自变量x满足f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图像关于直线xa对称(5)函数图像自身的轴对称f(x)f(x)函数yf(x)的图像关于y轴对称；函数yf(x)的图像关于xa对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)；若函数yf(x)的定义域为R，且有f(ax)f(bx)，则函数yf(x)的图像关于直线x对称(6)函数图像自身的中心对称f(x)f(x)函数yf(x)的图像关于原点对称；函数yf(x)的图像关于(a,0)对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)；函数yf(x)的图像关于点(a，b)成中心对称f(ax)2bf(ax)f(x)2bf(2ax)二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)当x(0，)时，函数y|f(x)|与yf(|x|)的图像相同( × )(2)函数yaf(x)与yf(ax)(a>0且a1)的图像相同( × )(3)函数yf(x)与yf(x)的图像关于原点对称( × )(4)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图像关于直线x1对称( )(5)将函数yf(x)的图像向右平移1个单位长度得到函数yf(x1)的图像( × )2下列图像是函数f(x)的图像的是()C解析：函数f(x)的图像是由yx2的图像中x<0的部分和yx1的图像中x0的两部分组成故选C.3已知图中的图像对应的函数为yf(x)，则图中的图像对应的函数为()Ayf(|x|)Byf(|x|)Cy|f(x)| Dyf(|x|)B解析：观察函数图像可得，是由保留y轴左侧图像，然后将y轴左侧图像翻折到右侧所得，结合函数图像的对称变换可得函数的解析式为yf(|x|)故选B.4函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线yex关于y轴对称，则f(x)()Aex1 Bex1 Cex1 Dex1D解析：与曲线yex关于y轴对称的图像对应的解析式为yex.将函数yex的图像向左平移1个单位长度即得yf(x)的图像，所以f(x)e(x1)ex1.5若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是_(0，)解析：由题意得a|x|x.令y|x|x其图像如图所示故要使a|x|x只有一个解，则a>0.考点1作函数的图像基础性分别作出下列函数的图像：(1)y|lg x|；(2)y2x2；(3)yx22|x|1.解：(1)y图像如图(1)所示(2)将y2x的图像向左平移2个单位长度图像如图(2)所示(3)y图像如图(3)所示作函数图像的两种常用方法1直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出2图像变换法：若函数图像可由某个基本初等函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序考点2判断函数的图像综合性考向1由函数图像的解析式判断图像(1)(2020·湖北省高三模拟)函数y(2x2x)sin x在，的图像大致为()A解析：设f(x)(2x2x)·sin x，则f(x)(2x2x)sin(x)f(x)，故f(x)为，上的偶函数，故排除B.又f 22>0，f(0)0，排除C，D.故选A.(2)已知定义在区间0,4上的函数yf(x)的图像如图所示，则yf(2x)的图像为()D解析：(方法一)先作出函数yf(x)的图像关于y轴的对称图像，得到yf(x)的图像；然后将yf(x)的图像向右平移2个单位长度，得到yf(2x)的图像；再作yf(2x)的图像关于x轴的对称图像，得到yf(2x)的图像故选D.(方法二)先作出函数yf(x)的图像关于原点的对称图像，得到yf(x)的图像；然后将yf(x)的图像向右平移2个单位长度，得到yf(2x)的图像故选D.下列四个函数中，图像如图所示的只能是()Ayxlg x Byxlg xCyxlg x Dyxlg xB解析：当x1时，由图像知y>0.而C，D中y<0，故排除选项C，D；当x时，由图像知y>0，而A中ylg <0，排除A.故选B.函数图像的辨识可从以下方面入手(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性(4)从函数的周期性，判断图像的循环往复(5)从函数的特征点，排除不合要求的图像考向2由动点探究函数图像在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图像是()B解析：依题意，在2 h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图像B适合借助动点探究函数图像问题解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式，然后判断函数的图像；也可以采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置时考查图像的变化特征，从而作出选择1(2019·全国卷)函数f(x)在，的图像大致为()D解析：因为f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A.当x时，f()>0，排除B，C.故选D.2已知函数f(x)g(x)f(x)，则函数g(x)的图像是()D解析：(方法一)由题设得函数g(x)f(x)据此可画出该函数的图像，如题图选项D中图像故选D.(方法二)先画出函数f(x)的图像，如图1所示，再根据函数f(x)与f(x)的图像关于坐标原点对称，即可画出函数f(x)，即g(x)的图像，如图2所示故选D.3如图，矩形ABCD的周长为4，设ABx，ACy，则yf(x)的大致图像为()C解析：(方法一)由题意得y，x(0,2)不是一次函数，排除选项A，B.当x0时，y2.故选C.(方法二)由方法一知y在(0,1上单调递减，在1,2)上单调递增，且非一次函数故选C.考点3函数图像的应用综合性考向1研究函数的性质已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，在区间(0，)上单调递增Bf(x)是偶函数，在区间(，1)上单调递减Cf(x)是奇函数，在区间(1,1)上单调递减Df(x)是奇函数，在区间(，0)上单调递增C解析：f(x)画出函数f(x)的图像，如图观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减利用函数的图像研究函数的性质考向2解不等式函数f(x)是周期为4的偶函数，当x0,2时，f(x)x1，则不等式xf(x)0在(1,3)上的解集为()A(1,3) B(1,1)C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)C解析：作出函数f(x)的图像如图所示当x(1,0)时，由xf(x)>0得x(1,0)；当x(0,1)时，由xf(x)>0得x；当x(1,3)时，由xf(x)>0得x(1,3)所以x(1,0)(1,3)考向3求参数的取值范围设函数f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的xR，不等式f(x)g(x)恒成立，则实数a的取值范围是_1，)解析：作出函数f(x)|xa|与g(x)x1的图像，如图，观察图像可知，当且仅当a1，即a1时，不等式f(x)g(x)恒成立，因此a的取值范围是1，)与函数相关的不等式问题的求解方法当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两个函数图像的上下关系问题，从而利用数形结合法求解1对a，bR，记maxa，b则函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_解析：函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的图像如图所示由图像可得，其最小值为.2已知函数f(x)在R上单调且其部分图像如图所示若不等式2<f(xt)<4的解集为(1, 2)，则实数t的值为_1解析：由图像可知不等式2<f(xt)<4即为f(3)<f(xt)<f(0)，故xt(0,3)，即不等式的解集为(t,3t)依题意可得t1.3已知函数f(x)若f(x)在区间m,4上的值域为1,2，则实数m的取值范围为_8，1解析：作出函数f(x)的图像，当x1时，函数f(x)log2单调递减，且最小值为f(1)1.令log22，解得x8.当x>1时，函数f(x)x2x在(1,2)上单调递增，在2，)上单调递减，则最大值为f(2)2.又f(4)<2，f(1)1，故所求实数m的取值范围为8，1