【数学】等比数列的前n项和公式（第1课时）课件-2023-2024学年高二上人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

第第 4 章章 数数 列列学习目标学习目标1.理解等比数列前理解等比数列前n项和公式的推导过程项和公式的推导过程2.掌握等比数列前掌握等比数列前n项和的公式，会用前项和的公式，会用前n项和公式项和公式解决等比数列问题解决等比数列问题.3.掌握错位相减求和法，并能运用此方法解决一些数列求和问题掌握错位相减求和法，并能运用此方法解决一些数列求和问题.4.3.2等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式第第1课时课时1.1.等比数列的概念等比数列的概念:2.2.等比中项等比中项:a,G,b成等比数列成等比数列G2=ab3.3.等比数列的通项公式等比数列的通项公式:a an n=a a1 1q qn n-1-1变式：变式：anamqnm4.4.数列的通项数列的通项an与前与前n项和项和Sn的关系的关系:思考：思考：等差数列有求和公式，对于等比数列，可用等差数列有求和公式，对于等比数列，可用a1和和q求求Sna1a2an吗？吗？问题情境：问题情境：国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么。发明者说：要什么。发明者说：“请在棋盘的第请在棋盘的第1 1个格子里放上个格子里放上1 1颗麦粒颗麦粒,在第在第2 2个格子里放上个格子里放上2 2颗颗麦粒麦粒,在第在第3 3个格子里放上个格子里放上4 4颗麦粒颗麦粒,在第在第4 4个格子里放上个格子里放上8 8颗麦粒颗麦粒,依此类推依此类推,每个格子每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒的里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒的2 2倍倍,直到第直到第6464个格子个格子,请给我足够的粮食请给我足够的粮食来实现上述要求来实现上述要求”.国王觉得这并不是很难办到的国王觉得这并不是很难办到的,就欣然同意了他的要求就欣然同意了他的要求.探究：探究：已知已知1000颗颗麦粒的质量麦粒的质量约约为为40 g，据查，据查，20162017年度世界小年度世界小麦产量约为麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言判断国王是否能实现他的诺言？问题归结问题归结:奖赏的麦粒总数（质量）能否得到满足？奖赏的麦粒总数（质量）能否得到满足？（1）格子里的麦粒构成等比数列）格子里的麦粒构成等比数列：1，21，22，263。（2）麦粒总粒数为）麦粒总粒数为1+2+22+23+263=？探究探究：设等比数列：设等比数列an的公比为的公比为q，求求求求an的的前前前前n n项和项和项和项和S Sn n.即即 Sn =a1 +a1q +a1q2 +a1qn-3+a1qn-2+a1qn-1 qSn =a1q +a1q2 +a1q3 +a1qn-2 +a1qn-1 +a1qn 当当q=1时，时，等比数列等比数列an是是常数列常数列，此时此时 S Sn n=na1 错位错位相减相减法法Sn =a1 +a2 +a3 +an-2 +an-1 +an由由-得：得：(1 q)Sn =a1 a1qn利用等比数列利用等比数列an的通项公式的通项公式，q1时，公式可变形为：时，公式可变形为：由以上推导可得等比数列的前由以上推导可得等比数列的前n项和公式：项和公式：探究：探究：根据以上根据以上公式公式计算计算，判断国王能否实现他的诺言判断国王能否实现他的诺言？一千颗麦粒的质量约为一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，亿吨，因此，国王根本不可能实现他的诺言因此，国王根本不可能实现他的诺言此时：此时：a1=1,q=2,n=64,求求S64S64=1+2+22+262+263=264-1=184467440737095516151.841019约是约是2016 2017年度世界小麦产量的年度世界小麦产量的981倍倍等比数列的前等比数列的前n n项和公式的推导项和公式的推导2 2Sn=a1+a2+an=a1+a1q+a1q2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Snan)(1q)Sn=a1qan当当q=1时，时，Sn=na1等比数列的前等比数列的前n n项和公式的推导项和公式的推导3 3由等比数列由等比数列an的定义的定义,设其公比为设其公比为q,则：则：当当q1时，时，(1-q)Sn=a1-anq当当q=1时，时，Sn=na1q1时，公式的变式：时，公式的变式：q1时，公式的变式：时，公式的变式：题型一等比数列的前题型一等比数列的前n项和公式的基本运算项和公式的基本运算例例1：(1)若若an32n，求，求S6.(2)已知等差数列已知等差数列an和等比数列和等比数列bn满足满足a1b11，a2a410，b2b4a5.求求an的通项公式；的通项公式；求和：求和：b1b3b5b2n1.解解：因为因为an32n62n1，所以该等比数列的首项，所以该等比数列的首项a16，公比，公比q2，解：解：设设an的公差为的公差为d，bn的公比为的公比为q.则则a2a42a310，即，即a35.故故a3a12d514，即，即d2.an12(n1)2n1(nN*)由由知知a59，即，即b2b49，则，则b12q49，q23.bn是公比为是公比为q的等比数列，的等比数列，b1，b3，b5，b2n1构成首项为构成首项为1，公比为，公比为q23的等比数列，的等比数列，方法规律方法规律(1)应用等比数列的前应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比项和公式时，首先要对公比q1或或q1进行判断，进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论若两种情况都有可能，则要分类讨论（2）当当q1时，等比数列是常数列，所以时，等比数列是常数列，所以Snna1；当；当q1时，等比数列的前时，等比数列的前n项项和和Sn有两个公式：有两个公式：当已知当已知a1，q与与n时，用时，用比较方便；当已知比较方便；当已知a1，q与与an时，用时，用比较方便比较方便跟踪训练：跟踪训练：1.求和：求和：Sn1aa2an1.解：解：(1)当当a0时，数列时，数列1，a，a2，an1不是等比数列，不是等比数列，Sn1.(2)当当a1时，时，Snna1，即，即Snn.跟踪训练：跟踪训练：1.求和：求和：Sn1aa2an1.解：解：(1)当当a0时，数列时，数列1，a，a2，an1不是等比数列，不是等比数列，Sn1.(2)当当a1时，时，Snna1，即，即Snn.例例2：在等比数列在等比数列an中，中，(1)若若Sn189，q2，an96，求，求a1和和n；(2)若若a1a310，a4a6 ，求，求a4和和S5；(2)设公比为设公比为q，由通项公式及已知条件得：，由通项公式及已知条件得：(3)若若q2，S41，求，求S8.17.S4(1q4)1(124)17.方法规律：方法规律：(1)基本量法：基本量法：设设等比数列的基本量等比数列的基本量a1,q，列方程组求解是基本方法，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时用整体代换的思想通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时用整体代换的思想(2)“知三求二知三求二”：在等比数列中，对于在等比数列中，对于a1，q，n，an，Sn五个量，若已知其中三个量就可求出其余两五个量，若已知其中三个量就可求出其余两量，常常列方程组来解答问题量，常常列方程组来解答问题3若首项为若首项为1的等比数列的等比数列an(nN*)的前的前3项和为项和为3，则公比，则公比q为为()A2 B1 C2或或1 D2或或1CC例例3：某市决定将燃油型公交车，尽快换为电力型公交车该市共有某市决定将燃油型公交车，尽快换为电力型公交车该市共有1万辆燃油型公万辆燃油型公交车，有关部门计划于交车，有关部门计划于2024年投入年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加入比上一年增加50%.(1)该市在该市在2030年应该投入电力型公交车多少辆？年应该投入电力型公交车多少辆？(2)到哪一年年到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？题型二等比数列前题型二等比数列前n项和的实际应用项和的实际应用解解：(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列an，其中，其中a1128，q1.5，2030年应投入电力型公交车为年应投入电力型公交车为a7a1q61281.561 458(辆辆)方法规律：方法规律：应用数列知识解决实际问题的步骤应用数列知识解决实际问题的步骤(1)根据实际问题根据实际问题提取数据提取数据；(2)建立数据建立数据关系关系，对提取的数据进行分析、归纳，建立数列的通项公式或递推关系；，对提取的数据进行分析、归纳，建立数列的通项公式或递推关系；(3)检验检验关系关系是否符合实际，符合实际可以使用，不符合则要修改关系；是否符合实际，符合实际可以使用，不符合则要修改关系；(4)利用合理的结论对实际利用合理的结论对实际问题展开问题展开讨论讨论跟踪训练：跟踪训练：4.一个热气球在第一分钟上升了一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟内，它上的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过这个热气球上升的高度能超过125 m 吗吗？热气球在前热气球在前n分钟内上升的总高度分钟内上升的总高度Sna1a2an即这个热气球上升的高度不可能超过即这个热气球上升的高度不可能超过125 m.题型三错位相减法求和的应用题型三错位相减法求和的应用例例4求数列求数列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1，的前的前n项和项和Sn，其中，其中a0.解：当解：当a1时，数列变为时，数列变为1,3,5,7，(2n1)，则：，则：当当a1时，时，Sn13a5a27a3(2n1)an1，aSn a3a25a37a4(2n1)an.，得，得SnaSn12a2a22a32an1(2n1)an，即即(1a)Sn1(2n1)an2(aa2a3an1)1a0，方法规律：方法规律：错位相减法是一种重要的数列求和方法，当一个数列由等差数列与等比数错位相减法是一种重要的数列求和方法，当一个数列由等差数列与等比数列对应项的乘积构成时，可使用此法求数列的前列对应项的乘积构成时，可使用此法求数列的前n项和项和设数列设数列an为等差数列，公差为为等差数列，公差为d；数列；数列bn为等比数列，公比为为等比数列，公比为q(q1)；数列；数列anbn的前的前n项和为项和为Tn.则则Tn的求解步骤如下：的求解步骤如下：(1)列出和式：列出和式：Tna1b1a2b2a3b3anbn.(2)两边同乘以公比两边同乘以公比q：qTna1b1qa2b2qa3b3qanbnqa1b2a2b3a3b4anbn1.(3)两式相减两式相减(错位相减错位相减)并求和：并求和：Tna1b1a2b2a3b3anbn.qTn a1b2a2b3a3b4anbn1.(1q)Tna1b1(a2a1)b2(a3a2)b3(anan1)bnanbn1a1b1d(b2b3bn)anbn1(4)将结果按从高级运算到低级运算顺序排列。将结果按从高级运算到低级运算顺序排列。错位对齐错位对齐对应相减对应相减凑齐凑齐n n项项顺序排列顺序排列跟踪训练：跟踪训练：5已知数列已知数列an是等差数列，且是等差数列，且a12，a1a2a312，(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)令令bnan3n，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Sn.解：解：(1)设数列设数列an的公差为的公差为d，则，则a1a2a33a13d12.又又a12，得，得d2，an2n.(2)由由bnan3n2n3n，得，得 Sn23432633 (2n2)3n12n3n，3Sn 232433（2n-4）3n-1(2n2)3n2n3n1.得得：2Sn2(332333n)2n3n13(3n1)2n3n1(12n)3n13，课堂小结课堂小结1 1、等比数列的前、等比数列的前n n项和公式：项和公式：2 2、错位相减求和方法及应用：、错位相减求和方法及应用：错位对齐错位对齐对应相减对应相减凑齐凑齐n n项项顺序排列顺序排列3 3、求解方法总结：、求解方法总结：（1）基本量法；）基本量法；（方程思想）（方程思想）（2）“知三求二知三求二”；（方程思想）（方程思想）（3）等比求和等比求和；（分类讨论）（分类讨论）达标训练达标训练1设等比数列设等比数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若a13，且，且a2 018a2 0190，则，则S101等于等于()A3 B303 C3 D303解：由解：由a2 018a2 0190可得可得q1，故，故S101a101a13.AAD从而从而a164，所以，所以S4120.故选故选C.C5已知正项数列已知正项数列an满足满足an12 26an2an1an.若若a12，则数列，则数列an的前的前n项和为项和为_ 解：因为解：因为an+126an2an1an，所以，所以(an13an)(an12an)0，因为，因为an0，所以所以an13an，所以，所以an为等比数列，且公比为为等比数列，且公比为3，所以，所以Sn3n1.3n19927等比数列等比数列an的公比不为的公比不为1，若，若a11，且对任意的，且对任意的nN*，都有，都有an1，an，an2成等成等差数列，则差数列，则an的前的前5项和项和S5_.提示提示：由由2anan1an2，得，得q2或或q1(舍去舍去)，118已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，等比数列，等比数列bn的前的前n项和为项和为Tn，a11，b11，a2b22.(1)若若a3b35，求，求bn的通项公式；的通项公式；(2)若若T321，求，求S3.解：设解：设an的公差为的公差为d，bn的公比为的公比为q，则，则an1(n1)d，bnqn1.由由a2b22得，得，dq3，(2)由由b11，T321得得q2q200.解得解得q5或或q4，当，当q5时，由时，由得得d8，则，则S321；当；当q4时，由时，由得得d1，则，则S36.9已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn2n12，记，记bnanSn(nN*)(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)求数列求数列bn的前的前n项和项和Tn.解：解：(1)Sn2n12，当当n1时，时，a1S121122，当，当n2时，时，anSnSn12n12n2n，又，又a1221，an2n.(2)由由(1)知，知，bnanSn24n2n1，Tnb1b2bn2(41424n)(22232n1)10已知数列已知数列an满足满足a11，an12an(为常数为常数)(1)试探究数列试探究数列an是不是等比数列，并求是不是等比数列，并求an；(2)当当1时，时，求数列求数列n(an)的前的前n项和项和Tn.解：解：(1)因为因为an12an，所以，所以an12(an)又又a11，所以当，所以当1时，时，a10，数列，数列an不是等比数列，不是等比数列，此时此时anan10，即，即an1；当；当1时，时，a10，所以，所以an0，所以数列所以数列an是以是以1为首项，为首项，2为公比的等比数列，为公比的等比数列，此时此时an(1)2n1，即，即an(1)2n1.(2)由由(1)知知an2n1，所以，所以n(an1)n2n，Tn2222323n2n，2Tn22223324n2n1，得：得：Tn222232nn2n1(1n)2n12.所以所以Tn(n1)2n12.