2024步步高考二轮数学新教材讲义专题一　第4讲　函数的极值、最值含答案.docx

2024步步高考二轮数学新教材讲义第4讲函数的极值、最值考情分析利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题考点一利用导数研究函数的极值核心提炼判断函数的极值点，主要有两点(1)导函数f(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点(2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点例1(2023·全国乙卷)已知函数f(x)ln(1x)(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线yf 关于直线xb对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由；(3)若f(x)在(0，)上存在极值，求a的取值范围_易错提醒(1)不能忽略函数的定义域(2)f(x0)0是可导函数f(x)在xx0处取得极值的必要不充分条件，即f(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f(x)0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性(3)函数的极小值不一定比极大值小跟踪演练1(多选)(2023·临沂模拟)已知函数f(x)2exax22存在两个极值点x1，x2(x1<x2)，则以下结论正确的为()A0<a<eB0<x1<1<x2C若x22x1，则a2ln 2Dln x1x2>0考点二利用导数研究函数的最值核心提炼1求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值2若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值例2(1)(2022·全国甲卷)当x1时，函数f(x)aln x取得最大值2，则f(2)等于()A1 B C. D1(2)(2023·抚州模拟)已知函数f(x)ex2x，g(x)x，且f(x1)g(x2)，则x1x2的最小值为()A1 Be C1ln 2 D2ln 2易错提醒(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值跟踪演练2(1)(2023·葫芦岛模拟)函数f(x)cos x(x1)sin x1在区间0,2上的最大值为()A B2 C D.2(2)(2023·宝鸡模拟)函数f(x)x2(a1)x3ln x在(1,2)上有最小值，则实数a的取值范围为_考点三极值、最值的简单应用例3(2023·杭州模拟)已知函数f(x)ax22xln x有两个不同的极值点x1，x2，若不等式f(x1)f(x2)t恒成立，则实数t的最小值为_易错提醒方程、不等式恒成立，有解问题都可用分离参数法分离参数时，等式或不等式两边符号变化以及除数不能等于0，易忽视跟踪演练3(多选)(2023·福州模拟)已知函数f(x)，以下结论正确的是()Af(x)是偶函数Bx0是f(x)的极值点Cf(x)的最小值为Df(x)的最大值为1第5讲导数的综合应用考情分析1.利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点和难点.2.多以解答题的形式压轴出现，难度较大母题突破1导数与不等式的证明母题(2023·十堰调研)已知函数f(x)(2x)exax2.(1)若f(x)在R上是减函数，求a的取值范围；(2)当0a<1时，求证：f(x)在(0，)上只有一个零点x0，且x0<.思路分析f(x)0恒成立f(x)max0求解0<x0<2x0<f(e,a1)，ax0x0<eax0x0<(2x0)(2x0)e_子题1(2023·哈师大附中模拟)已知函数f(x)exexln x(其中e是自然对数的底数)求证：f(x)ex2._子题2已知函数f(x)ln x，g(x)ex.证明：f(x)>g(x)_规律方法利用导数证明不等式问题的方法(1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x)转化为证明f(x)g(x)>0(或f(x)g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x)(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数1(2023·桂林模拟)已知函数f(x)x2cos x，求证：f(x)2>0._2(2023·南昌模拟)已知函数f(x)a(x21)ln x(x>0)若0<a<，设函数f(x)的较大的一个零点记为x0，求证：f(x0)<12a._母题突破2恒成立问题与能成立问题母题(2023·新乡模拟)已知函数f(x)x2(2a1)x2aln x若f(x)0恒成立，求实数a的取值范围思路分析一f(x)0恒成立f(x)min0分类讨论求f(x)min思路分析二f(x)0恒成立求证xln x>0分离参数构造新函数求新函数最值_子题1(2023·青岛模拟)已知函数f(x)exaln x若存在x0e，)，使f(x0)<0，求a的取值范围_子题2(2023·全国乙卷改编)已知函数f(x)ln(1x)若f(x)0在区间(0，)上恒成立，求a的取值范围_规律方法(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别1已知函数f(x)(x4)exx26x，g(x)ln x(a1)x，a>1.若存在x11,3，对任意的x2e2，e3，使得不等式g(x2)>f(x1)成立，求实数a的取值范围(e320.09)_2(2023·全国甲卷)已知函数f(x)ax，x.(1)当a8时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)<sin 2x，求a的取值范围_母题突破3零点问题母题已知函数f(x)sin x，判断f(x)在(0，)上零点的个数，并说明理由思路分析等价转换f(x)0判断g(x)ex·sin xx1的零点讨论g(x)在上的零点个数讨论g(x)在上的零点个数_子题1(2023·安庆模拟)已知函数f(x)eln xbx2e1x.若f(x)的导函数f(x)恰有两个零点，求b的取值范围_子题2设函数f(x)aln(x1)x2(aR)，函数g(x)ax1.证明：当a2时，函数H(x)f(x)g(x)至多有一个零点_