【数学】直线与平面垂直第一课时学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.docx

8.6.2 直线与平面垂直 第一课一 直线与平面垂直的定义定义如果直线l与平面内的 直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直记法l有关概念直线l叫做平面的 ，平面叫做直线l的 ，它们唯一的公共点P叫做 画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直图示性质过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条垂线段与点面距过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离二 直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言la，lb，a，b， l图形语言【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“×”)(1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直()(2) 如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直()(3)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线()【经典例题】例1.如图, M是菱形ABCD在平面外一点，满足MA=MC. 求证: AC平面BDM. 【跟踪训练】1如图，四面体中，分别是的中点，求证：平面【跟踪训练】2如图，四棱锥的底面是正方形，平面，求证：平面例2 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，ANPM，垂足为N.求证：AN平面PBM.【跟踪训练】3如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，ACB90°，CEAB1，D为AB的中点求证：AB1平面CED.课后作业：1如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，（）求证：平面；（）求四棱锥的体积2. 如图，在三棱锥SABC中，ABC90°，D是AC的中点，且SASBSC.求证：SD平面ABC.3 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是，的中点求证：（1）直线平面；（2）直线平面4.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，（1）求证：BD平面AA1C（2）求证：A1C平面BC1D5如图，三棱锥中，（1）求证：平面；（2）若为中点，求三棱锥的体积6. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，BCF为正三角形，G，H分别为BC，EF的中点，EF4且EFAB，EFFB.求证：(1)GH平面EAD；(2)FG平面ABCD.【参考答案】【自主学习】任意一条 垂线 垂面 垂足 两条相交直线 abP 相交 垂直 交点 【小试牛刀】1.(1)×(2) (3) 例1：略例2 证明：设圆O所在的平面为，PA，且BM，PABM.又AB为O的直径，点M为圆周上一点，AMBM. 由于直线PAAMA，BM平面PAM，而AN平面PAM，BMAN.AN与PM、BM两条相交直线互相垂直故AN平面PBM.跟踪训练3.证明：(1)由题意知AA1平面ABC，CD平面ABC，所以CDAA1.(2)因为D是AB的中点，ABC为等腰直角三角形，ACB90°，所以CDAB.又CDAA1，ABA1AA，AB平面A1B1BA，A1A平面A1B1BA，所以CD平面A1B1BA.因为AB1平面A1B1BA，所以CDAB1.又CEAB1，CDCEC，CD平面CED，CE平面CED，所以AB1平面CED.【课后作业】1.证明：（）因为四棱锥的底面是边长为1的正方形，所以，所以又，所以平面（）解：四棱锥的底面积为1，因为平面，所以四棱锥的高为1，所以四棱锥的体积为：2.证明SASC，D是AC的中点，SDAC.在RtABC中，ADBD，由已知SASB，ADSBDS.SDBD.又ACBDD，AC平面ABC，BD平面ABC，SD平面ABC.3.证明：（1）根据题意，取的中点，连接、，是的中点，是的中点，则且，则四边形是平行四边形，则有，又由不在平面中，而在平面中，则有直线平面；（2）平面，则，又由底面是矩形，则，而，故直线平面4.证明：如图，连接AC，ACBD，又BDA1A，ACAA1A，AC，A1A平面A1AC，BD平面A1AC，A1C平面A1AC，BDA1C同理可证BC1A1C又BDBC1B，BD，BC1平面BC1D，A1C平面BC1D5.证明：（1），又平面，平面，平面（2）是中点，三棱锥的体积6.证明：(1)如图，取AD的中点M，连接EM，GM.因为EFAB，M，G分别为AD，BC的中点，所以MGEF.因为H为EF的中点，EF4，AB2，所以EHABMG.所以四边形EMGH为平行四边形所以GHEM.又因为GH平面EAD，EM平面EAD，所以GH平面EAD.(2)因为EFFB，EFAB，所以ABFB.在正方形ABCD中，ABBC，又FBBCB，所以AB平面FBC.又FG平面FBC，所以ABFG.在正三角形FBC中，FGBC，又ABBCB，所以FG平面ABCD.4学科网（北京）股份有限公司