江苏省南京市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含解析）.docx

南京市2022-2023学年度第一学期期末学情调研测试高一数学2023.01一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.)1. 函数的定义域为( )A. B. C. D. 2. “”是“”的( )A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：xy则下列选项中对x，y最适合的拟合函数是( )A. B. C. D. 4. 九章算术是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章方田收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为( )(单位：弧度)(注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.)A. 4B. 5C. 6D. 75. 已知函数，则的值为( )A. B. C. 4D. 6. 函数的图像大致为( )A. B. C. D. 7. 在科学技术中，常常使用以为底的对数，这种对数称为自然对数.若取，则( )A. B. C. 4D. 68. 函数的零点为，函数的零点为，若，则实数的取值范围是( )A B. C. D. 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)9. 已知角的终边经过点，则( )A. B. C. D. 10 若，则( )A. B. C. D. 11. 已知函数，则( )A. 的最小正周期为B. 的图象关于轴对称C. 的最小值为2D. 在上为增函数12. 已知函数，对于任意，则( )A. B. C. D. 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)13. 函数的图象关于点_中心对称.(写出一个正确的点坐标即可)14. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_.15. 已知定义在上的函数满足，且当时，若，则_.16. 对于非空集合，定义，若，是两个非空集合，且，则_；若，且存在，则实数的取值范围是_.四、解答题(本题共6小题，共70分.)17. 求下列各式的值：(1)；(2).18. 若.(1)求的值；(2)若，求的值.19. 已知集合，.(1)若，求；(2)在，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.若_，求实数的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20. 函数(，)在一个周期内的图象如图所示.(1)求的解析式；(2)将图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，设，证明：为偶函数.21. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费(单位：万元)与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为(单位：万元).(1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围；(2)设备占地面积为多少时，值最小？22. 已知函数，.(1)利用函数单调性的定义，证明：在区间上是增函数；(2)已知，其中是大于1的实数，当时，求实数的取值范围；(3)当，判断与的大小，并注明你的结论.南京市2022-2023学年度第一学期期末学情调研测试高一数学2023.01一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.)1. 函数的定义域为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据对数的真数大于零可得出关于x的不等式，即可解得函数的定义域.【详解】令，解得，故函数的定义域为.故选：B.2. “”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为，则，但是不一定有，所以“”是“”成立的充分不必要条件故选：A3. 在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：xy则下列选项中对x，y最适合的拟合函数是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论【详解】解：根据，代入计算，可以排除；根据，代入计算，可以排除、；将各数据代入检验，函数最接近，可知满足题意故选：【点睛】本题考查了函数关系式的确定，考查学生的计算能力，属于基础题4. 九章算术是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章方田收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为( )(单位：弧度)(注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.)A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，列关系式即可.【详解】设中周半径是，外周的半径是，圆心角为，解得.故选：C5. 已知函数，则的值为( )A. B. C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】根据分段函数运算求解.【详解】由题意可得：，故.故选：B.6. 函数的图像大致为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数是奇函数，且函数在时函数值的正负，从而得出结论【详解】由函数定义域为,故为奇函数，故它的图像关于原点对称，可以排除C和D；又函数在时,函数，可以排除B，所以只有A符合故选:A7. 在科学技术中，常常使用以为底的对数，这种对数称为自然对数.若取，则( )A. B. C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】根据题意结合指、对数运算求解.【详解】由题意可得：.故选：C.8. 函数的零点为，函数的零点为，若，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数单调性,再由确定范围,即可确定实数的取值范围.【详解】已知,函数的零点为，函数的零点为，则又因,这两函数均单调递增，当时，,解得.故选:D二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)9. 已知角的终边经过点，则( )A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据三角函数的定义计算即可.【详解】因为角的终边经过点，所以，故A正确；，故B错误；，故C正确，D错误.故选：AC.10. 若，则( )A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】对于A：构造函数，利用单调性判断；对于B：构造函数，利用单调性判断；对于C：构造函数，利用单调性判断；对于D：利用作差法比较大小.【详解】对于A：因为，所以单调递减.因为，所以.故A错误；对于B：因为，所以单调递增.因为，所以.故B正确；对于C：因为，所以单调递减.因，所以.故C正确；对于D：因为，所以.故D正确.故选：BCD11. 已知函数，则( )A. 的最小正周期为B. 的图象关于轴对称C. 的最小值为2D. 在上为增函数【答案】AD【解析】【分析】先利用三角函数基本关系式化简得，再利用周期函数的定义与诱导公式即可判断A正确；举反例即可排除B；取特殊值计算即可判断C错误；利用三角函数的单调性与复合函数的单调性即可判断D正确.【详解】对于A，因为，设的正周期为，则，即，所以，由诱导公式可得，即，又，故，即，则，故，所以的最小值为，即的最小正周期为，故A正确；对于B，因为，又与不关于轴对称，所以图象关于轴对称，故B错误；对于C，因为，所以2不是的最小值，故C错误；对于D，因为，所以，故在上单调递减，且，又在上单调递减，所以在单调递增，故D正确.故选：AD.12. 已知函数，对于任意，则( )A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】通过赋值法，取具体函数，基本不等式等结合已知条件分选项逐个判断即可.【详解】令，故A正确；由已知，令满足题干要求，则，故B错误；由可知，令，则，又因为，则，所以，故C正确；因为，所以，又由，令，则，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)13. 函数的图象关于点_中心对称.(写出一个正确的点坐标即可)【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】对称中心的横坐标满足，取得到【详解】对称中心的横坐标满足：，取得到对称中心为.故答案为：14. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解.【详解】由的解集为，可得，且方程的解为，所以，则，所以，即关于的不等式的解集为.故答案为：.15. 已知定义在上的函数满足，且当时，若，则_.【答案】1【解析】【分析】由题意可得函数的周期为4，根据题意结合周期性可得答案.【详解】由可得的函数周期为4，则，由，则，解得.故答案为：1.16. 对于非空集合，定义，若，是两个非空集合，且，则_；若，且存在，则实数的取值范围是_.【答案】 . . 【解析】【分析】第一空分，和且三种情况来研究，第二空根据已知分析出a的大致范围，最后列出不等式求解即可.【详解】即则一定有，所以分三段研究：时，即；时，即；且时，即.综上所述，；由已知且，要满足题意则，此时区间长度时一定满足，故下研究时，(其中，即为集合的补集中一段的区间长)此时，因此满足题意的反面情况有或，解得或，因此满足题意的范围为.四、解答题(本题共6小题，共70分.)17. 求下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)128 (2)8【解析】【分析】(1)根据指数幂的运算求解；(2)根据对数和指数的运算性质求解.【小问1详解】.【小问2详解】.18. 若.(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)化简得到，平方得到，得到答案.(2)根据得到，解得，得到答案.【小问1详解】，则，则；【小问2详解】，所以，即，.，解得，19. 已知集合，.(1)若，求；(2)在，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.若_，求实数的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)； (2)选；若选.【解析】【分析】(1)代入的值，求出集合B，用并集的运算性质计算即可.(2)若选，即，则对的值进行分类讨论，根据集合包含关系即可得到的取值范围.若选，对的值进行分类讨论，依次根据，求实数的取值范围.【小问1详解】，即，而，即，所以；【小问2详解】若选即时，即，要满足题意则，与前提矛盾，舍；时，即，符合题意；时，即，要满足题意则，即.综上所述，实数的取值范围是.若选，若，时，即，要满足题意则，则满足，解得，则；若时，即，满足；时，即，要满足题意则解得，即；综上，实数的取值范围是.20. 函数(，)在一个周期内的图象如图所示.(1)求的解析式；(2)将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，设，证明：为偶函数.【答案】(1) (2)证明见解析【解析】【分析】(1)由图得到，求得，代入点，求得，结合题意得到，即可求得函数的解析式；(2)由三角函数的图象变换求得，根据偶函数的定义证明即可.【小问1详解】由最值得，由相邻两条对称轴距离得，则，即，此时，代入点得：，则，即，又因为，所以，故.【小问2详解】由题意得，则，因为，所以为偶函数.21. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费(单位：万元)与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为(单位：万元).(1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围；(2)设备占地面积为多少时，的值最小？【答案】(1) (2)设备占地面积为时，的值最小.【解析】【分析】(1)由题意解不等式，即可求得；(2)利用基本不等式即可求解.【小问1详解】由题意得.要满足题意,则，即，解得：.即设备占地面积的取值范围为.【小问2详解】，当且仅当时等号成立.所以设备占地面积为时，的值最小.22. 已知函数，.(1)利用函数单调性的定义，证明：在区间上是增函数；(2)已知，其中是大于1的实数，当时，求实数的取值范围；(3)当，判断与的大小，并注明你的结论.【答案】(1)证明见解析 (2) (3)【解析】【分析】按照函数单调性的定义的证明步骤：设值，作差，变形，定号，下结论，即可证明；(2)先换元，再分离常数，最后再利用基本不等式即可求出实数的取值范围；(3)采用作差法，结合基本不等式和指数函数的值域即可比较出大小.【小问1详解】解：，因为，所以，所以，即在上是增函数.【小问2详解】解：由已知设，由(1)得在上单调递增，即，所以，时，即，当且仅当时取等，此时要满足恒成立，即，所以；时，此时在上单调递减，即，此时要满足恒成立，即，化简得，此时因为，此时恒成立综上所述，实数的取值范围是.【小问3详解】解：因为(当且仅当时取等)，所以，即，由已知，所以，又因为，所以，即，因此，所以.