江苏省泰州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（含解析）.docx

20222023学年度第二学期泰州市期末考试高一数学试题一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有 一项是符合题目要求的.1 已知，若，则( )A. 0B. C. D. 2. 复数(为复数单位)共轭复数是()A. B. C. D. 3. 采用简单随机抽样的方法，从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为( )A. B. C. D. 4. 望海楼是江苏泰州的著名景点，位于泰州凤城河风景区内.它初建于南宋绍定二年，被誉为“江淮第一楼”.为测量望海楼的高度，可选取与楼底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，米，在点测得楼顶A的仰角为30°，则楼高约为( )米. A. 30B. 32C. 34D. 365. 若，则值为( )A. B. C. D. 6. 在正四棱台中，已知，则侧棱与底面所成角的正弦值为( )A. B. C. D. 7. 已知的外接圆的圆心为，且，则的最大值为( )A. B. C. 2D. 38. 在中，点在线段上，则( )A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多 项符合题目要求. 全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分， 有选错的得 0 分.9. 对于数据2，6，8，2，3，4，6，8，则这组数据的( )A. 极差为6B. 平均数为5.25C. 30百分位数3D. 众数为610. 已知三个非零向量，共面，则( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则存在实数，使11. 已知事件A，B发生的概率分别为，则( )A. 若A，B互斥，则A，B至多有一个发生的概率为B. 若A，B互斥， 则A，B至少有一个发生的概率为C. 若A，B相互独立， 则A，B至多有一个发生的概率为D. 若A，B相互独立， 则A，B至少有一个发生的概率为12. 已知正方体棱长为1，点为线段上的动点，则( )A. 与始终保持垂直B. 的最小值为C. 经过的平面截正方体所得截面面积的最小值为D. 以为球心，为半径的球面与平面的交线长为三、填空题: 本题共4小题，每小题 5 分，共 20 分.13. _.14. 已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_15. 已知，则满足的一个的值为_.16. 已知的垂心为点，面积为15，且，则_；若，则_.四、解答题: 本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设为实数，复数，.(1)若为纯虚数，求的值；(2)若，求的取值范围.18. 如图,在直三棱柱中,为的中点,为的中点,.求证: (1)平面;(2).19. 一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球(标号为1和2)，2个白球(标号为3和4)，甲、乙两人先后从袋中不放回地各摸出1个球.设“甲摸到红球”为事件，“乙摸到红球”为事件.(1)小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件发生的可能性大于发生的可能性.小明的判断是否正确，请说明理由；(2)判断事件与是否相互独立，并证明.20. 已知.(1)若，试判断的形状，并证明；(2)设的中点为. 从下面中选取两个作为条件， 证明另外一个成立：；的面积为.注: 若选择不同的组合分别作答， 则按第一个解答计分.21. 如图1，在等腰梯形中，为的中点.将沿翻折，得到四棱锥(如图2). (1)若的中点为，点在棱上，且平面，求的长度；(2)若四棱锥的体积等于2，求二面角的大小.22. 射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作 (1)证明：；(2)已知，点为线段的中点，求20222023学年度第二学期泰州市期末考试高一数学试题一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有 一项是符合题目要求的.1. 已知，若，则( )A. 0B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由平面向量共线的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，且，则，解得.故选：C2. 复数(为复数单位)的共轭复数是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算，再计算共轭复数得到答案.【详解】，则复数(为复数单位)的共轭复数是， 故选：A3. 采用简单随机抽样的方法，从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据简单随机抽样每个个体被抽到的概率直接计算，即可得答案；【详解】简单随机抽样每个个体被抽到的概率，含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为，故选：D.【点睛】本题考查简单随机抽样的概念，考查对概念的理解，属于基础题.4. 望海楼是江苏泰州的著名景点，位于泰州凤城河风景区内.它初建于南宋绍定二年，被誉为“江淮第一楼”.为测量望海楼的高度，可选取与楼底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，米，在点测得楼顶A的仰角为30°，则楼高约为( )米. A. 30B. 32C. 34D. 36【答案】B【解析】【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在求得即可.【详解】在中，由题意可得，由正弦定理可得，可得(米)，又因为，所以(米).故选：B.5. 若，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用倍角公式结合齐次式问题运算求解.【详解】由题意可得：.故选：A.6. 在正四棱台中，已知，则侧棱与底面所成角正弦值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，做出其截面图，然后结合线面角的定义即可得到结果.【详解】 由题意可得正四棱台的截面图，如图所示，且为等腰梯形，过点做，过点做，由线面角的定义可知，侧棱与底面所成角即为，由条件可得，,，则，,则，所以为等腰直角三角形，所以，即.故选：B.7. 已知的外接圆的圆心为，且，则的最大值为( )A. B. C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】由正弦定理得到，利用向量数量积公式得到，由求出答案.【详解】由正弦定理得，故，因为，所以，则，因为，所以，则，故.故选：C8. 在中，点在线段上，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】和中，利用正弦定理结合，得，由倍角公式和两角和与差的正余弦公式化简求值.【详解】中，点在线段上，如图所示，则，由正弦定理，中，中，由，则，即，得，.故选：D二、选择题: 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多 项符合题目要求. 全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分， 有选错的得 0 分.9. 对于数据2，6，8，2，3，4，6，8，则这组数据的( )A. 极差为6B. 平均数为5.25C. 30百分位数为3D. 众数为6【答案】AC【解析】【分析】把数据从小到大排列，利用极差、平均数、百分位数和众数的定义判断各选项是否正确.【详解】数据2，6，8，2，3，4，6，8，从小到大排为2，2，3，4，6，6，8，8，极差为，A选项正确；平均数为，B选项错误；，30百分位数是第3个数据，所以30百分位数为3，C选项正确；众数为6和8，D选项错误.故选：AC10. 已知三个非零向量，共面，则( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则存在实数，使【答案】ABD【解析】【分析】利用向量的传递性，平面向量数量积的定义，平面向量共线定理，对选项逐个判断，找出正确选项.【详解】对于选项A，根据向量的传递性得，故选项A正确；对于选项B，若，因为它们为共面向量，则，故选项B正确；对于选项C，由得，因为，是三个非零向量，所以得，无法推出，故选项C错误；对于选项D，因为，为非零向量，由平面向量共线定理可知，若，则存在唯一的实数，使，故选项D正确.故选：ABD.11. 已知事件A，B发生的概率分别为，则( )A. 若A，B互斥，则A，B至多有一个发生的概率为B. 若A，B互斥， 则A，B至少有一个发生概率为C. 若A，B相互独立， 则A，B至多有一个发生的概率为D. 若A，B相互独立， 则A，B至少有一个发生的概率为【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式，结合事件的运算逐项分析计算作答.【详解】依题意，对于A，则A，B至多有一个发生的概率为，A错误；对于B，则A，B至少有一个发生的概率，B正确；对于C，A，B至多有一个发生的概率为，C错误；对于D，则A，B至少有一个发生的概率，D正确.故选：BD12. 已知正方体的棱长为1，点为线段上的动点，则( )A. 与始终保持垂直B. 的最小值为C. 经过的平面截正方体所得截面面积的最小值为D. 以为球心，为半径的球面与平面的交线长为【答案】AC【解析】【分析】根据正方体的性质，截面形状，结合空间中的垂直关系，以及空间中线段和最值的求解方法进行求解.【详解】对于A，连接，由正方形的性质可得，由正方体的性质可得；又，所以平面，因为平面，所以；同理可得，因为，所以平面；因为平面，所以，A正确. 对于B，把沿展开到与共面，如图，则三点共线时，最小，且最小值为，在中，由余弦定理可得，B不正确. 对于C，分别取的中点，连接，由正方体的性质可知四边形是菱形，且是过面积最小的截面.理由如下：过点作于，设，则；由直角三角形性质可得：；，；由可得，显然时，取到最小值，此时截面面积最小.最小面积为，C正确. 对于D，过点作于点，由平面，可得；又因为，所以平面，以为球心，为半径的球面被平面所截的圆面的圆心为，半径为，则，所以，即；以为球心，为半径的球面与平面的交线是以为圆心的圆周，其长度为，D不正确. 故选：AC.三、填空题: 本题共4小题，每小题 5 分，共 20 分.13. _.【答案】#【解析】分析】利用和角公式可得答案.【详解】.故答案为：14. 已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥侧面积为_【答案】【解析】【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解【详解】由已知可得r=1，h=，则圆锥的母线长l=,圆锥的侧面积S=rl=2故答案为2【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=rl.15. 已知，则满足的一个的值为_.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】根据两角和的正切公式，将用进行表示，再将化简求得结果.【详解】，又，即，化简可得，或，又，故，故满足题意，故答案为：(答案不唯一).16. 已知的垂心为点，面积为15，且，则_；若，则_.【答案】 . 30 . 25【解析】【分析】利用向量的运算表示出，利用数量积运算可得答案；先利用面积及第一空结果求出，对平方可求模长.【详解】如图， 是的边上的高，则；设，因为，面积为15，所以，即；.由第一空可知，所以；所以，由可得，即；因为，所以；故答案为：30 25.四、解答题: 本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设为实数，复数，.(1)若为纯虚数，求的值；(2)若，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据复数的乘法结合纯虚数的定义列式求解；(2)根据复数的模长公式运算求解.【小问1详解】因为，若为纯虚数，则，解得.【小问2详解】若，则，可得，解得，所以的取值范围.18. 如图,在直三棱柱中,为的中点,为的中点,.求证: (1)平面;(2).【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析【解析】【分析】(1)连接,根据三角形的中位线可得,再根据线面平行的判定定理证明即可;(2)根据已知条件证明平面,从而得到,再根据线面垂直的判定定理证明平面,则四边形为菱形即可得到结论.【小问1详解】连接,如图, 因为四边形为平行四边形,所以为的中点,又为的中点,所以在中,因为平面,平面,所以平面.【小问2详解】因为,即,又,且,平面,平面,所以平面,因为,所以平面,因为平面,所以,又平面,平面,所以平面,因为平面,所以,则四边形为菱形,所以.19. 一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球(标号为1和2)，2个白球(标号为3和4)，甲、乙两人先后从袋中不放回地各摸出1个球.设“甲摸到红球”为事件，“乙摸到红球”为事件.(1)小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件发生的可能性大于发生的可能性.小明的判断是否正确，请说明理由；(2)判断事件与是否相互独立，并证明.【答案】(1)不正确；理由见解析； (2)事件与不相互独立，理由见解析【解析】【分析】(1)先求出摸球的所有情况，利用古典概率求解，比较即可判断；(2)利用独立事件的判定方法进行判断.【小问1详解】两人摸出球的所有情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)(4,2)，(4,3)，共12种；事件包含的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，共6种；事件包含的情况有：(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)(4,2)，共6种；所以，故小明的判断不正确.【小问2详解】事件包含的情况有：(1,2)，(2,1)，故；因，；所以事件与不相互独立.20. 已知.(1)若，试判断的形状，并证明；(2)设的中点为. 从下面中选取两个作为条件， 证明另外一个成立：；的面积为.注: 若选择不同的组合分别作答， 则按第一个解答计分.【答案】(1)直角三角形，证明见解析 (2)证明见解析【解析】【分析】(1)由题意求出，由数量积的坐标表示可得，即可判断的形状；(2)由余弦定理和三角形的面积公式先化简，再从中选取两个作为条件， 证明另外一个成立即可.【小问1详解】因为， 所以， 从而，于是， 故为直角三角形.【小问2详解】， 记角的对边分别为，由得， 由余弦定理得， 化简得；由得， 由得，；由得， 即.由得； 由得， 解得，所以的面积为.由得， 因为， 所以，由得， 所以，因为的中点为， 所以，于是 由余弦定理得，由得， 所以，由得， 所以，因为， 所以.21. 如图1，在等腰梯形中，为的中点.将沿翻折，得到四棱锥(如图2). (1)若的中点为，点在棱上，且平面，求的长度；(2)若四棱锥的体积等于2，求二面角的大小.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)先证明面面平行，利用面面平行的性质得到线线平行，进而得出的长度；(2)利用四棱锥的体积求出高，找到二面角的平面角，结合直角三角形的知识可得答案.【小问1详解】取的中点,连接,因为分别为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；因为平面，平面，所以平面平面；因为平面平面,平面平面,所以，即为的中点，所以.【小问2详解】由图1可知，等腰梯形的高为，所以四边形的面积为；因为四棱锥的体积等于2，所以四棱锥的高等于，因为三角形的高为，所以平面平面；取的中点,连接,由图1可知，均为等边三角形，所以,，且;因为,所以平面，因为平面，所以；由图1可知，所以是二面角的平面角，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以为直角三角形；在中，所以，即二面角为. 22. 射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作 (1)证明：；(2)已知，点为线段的中点，求【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)利用面积公式表示出、即可得到，同理得到，即可得证；(2)由(1)可得，即可得到，设，利用余弦定理与正弦定理得到方程组，求出，再由余弦定理计算可得.【小问1详解】在、中，所以，又在、中，所以，又，所以，所以.【小问2详解】由题意可得，所以，即，所以，又点为线段的中点，即，所以，又，则，设，且，由，所以，即，解得，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，且，得，即由解得，(负值舍去)，即，所以.【点睛】关键点睛：本题解答的关键是理解所给定义，利用面积公式求出线段的比，利用整体思想计算.