江苏省泰州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含解析）.docx

江苏省苏州市2022-2023学年高一上学期期中数学试题（含解析）高一调研测试数学试题(考试时间：120分钟；总分：150分)命题人：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的值是( )A. B. C. D. 2. 已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D. 3. 函数在上的最小值为( )A. 1B. C. D. 4. 已知，则a，b，c的大小关系为( )A. B. C. D. 5. 已知函数，则的值为( )A. B. C. D. 6. 党的二十大报告指出，“坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战.加强污染物协同控制，基本消除重污染天气.”按照相关规定，某化工厂产生的废气中的某类污染物经过过滤装置的处理，含量降至过滤前的以下才能排放.已知过滤过程中，废气中污染物的含量(单位：mg/L)与时间(单位：min)的关系为，其中，是常数.若时，该类污染物的含量降为过滤前的，那么废气至少需要过滤( )才能排放(结果保留整数，参考数据：).A. 7B. 8C. 9D. 107. 中国的扇文化有着极其深厚的人文底蕴，折扇从明代开始流行，扇面书画、扇骨雕琢，深得文人雅士的喜爱(如图1).制作折扇的扇面时，先从一个圆面中剪下扇形，再从扇形中剪去扇形(如图2).记圆面面积为，扇形的面积为，把满足且的扇面称为“完美扇面”，现有用半径为的圆面制作而成的“完美扇面”，则弧的长为( ).A. B. C. D. 8. 已知函数，.若对于，使得成立，则实数m的取值范围是( )A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知函数值域为，则的定义域可以是( )A. B. C. D. 10. 已知函数的图象是一条不间断的曲线，它的部分函数值如下表，则( )123456A. 区间上不一定单调B. 在区间内可能存在零点C. 在区间内一定不存在零点D. 至少有个零点11. 已知函数为奇函数，则( )A. B. 为上的增函数C. 的解集为D. 的值域为12. 已知函数，其中，若，则下列说法正确的是( )A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知关于不等式的解集为，若，则实数的取值范围为_.14. 函数的单调递增区间为_.15. 将函数(且)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，若所得函数的图象与函数的图象重合，则_.16. 已知函数，若关于的方程恰有三个实数解，则实数的取值集合为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知集合，.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.18. 从下面中选取一个作为条件，完成所给的两个问题. (1)求的值；(2)若，求的值.注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 19. 已知正数x，y满足.(1)将y表示为x的函数，并证明在其定义域内单调递减；(2)求的最小值.20. 在平面直角坐标系xOy中，点P从点出发，在以原点O为圆心，2为半径的圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，且每秒钟转动3弧度，记t秒时点P的纵坐标为.(1)求解析式；(2)若点P的纵坐标第n次等于的时刻记为，求的值.21. 已知函数，其中，.(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)若，都有成立，求的取值范围.22 已知函数.(1)求证：；函数的零点个数为奇数；(2)记函数的值域为A，若至少有两个不同的，使得，求正数的取值范围.高一调研测试数学试题(考试时间：120分钟；总分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的值是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式化简，然后可得.【详解】.故选：B2. 已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题知，再根据二次函数求最值即可求解.【详解】因为命题“，”为真命题，所以命题“，”为真命题，所以时，因为，所以当时，所以.故选：A3. 函数在上的最小值为( )A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正弦型三角函数在区间上的最值的求解方法得出答案.【详解】当时，则当时，故选：B.4. 已知，则a，b，c的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角函数、对数函数的知识求得正确答案.【详解】，所以.故选：C5. 已知函数，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为，所以.故选：D6. 党的二十大报告指出，“坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战.加强污染物协同控制，基本消除重污染天气.”按照相关规定，某化工厂产生的废气中的某类污染物经过过滤装置的处理，含量降至过滤前的以下才能排放.已知过滤过程中，废气中污染物的含量(单位：mg/L)与时间(单位：min)的关系为，其中，是常数.若时，该类污染物的含量降为过滤前的，那么废气至少需要过滤( )才能排放(结果保留整数，参考数据：).A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】依题意可得，两边取对数求出的值，再令，根据指数与对数的关系及对数的运算法则计算可得.【详解】解：依题意可得，所以，两边取对数可得，所以，则，所以，令，即，所以，即，所以，所以废气至少需要过滤才能排放.故选：C7. 中国的扇文化有着极其深厚的人文底蕴，折扇从明代开始流行，扇面书画、扇骨雕琢，深得文人雅士的喜爱(如图1).制作折扇的扇面时，先从一个圆面中剪下扇形，再从扇形中剪去扇形(如图2).记圆面面积为，扇形的面积为，把满足且的扇面称为“完美扇面”，现有用半径为的圆面制作而成的“完美扇面”，则弧的长为( ).A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先求出，设圆心角，圆的半径为，表示出，根据求出，再根据弧长公式计算可得.【详解】依题意，即，即，所以，则，设圆心角，圆的半径为，则，所以，因为，所以，即，解得，所以弧的长为.故选：D8. 已知函数，.若对于，使得成立，则实数m的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把，成立，转化为，逐步求解，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，所以.设，因为，即所以在单调递增，最小值为，因为，即，所以，令，易得，所以，即，显然在的最小值为0，所以，即的取值范围为.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知函数的值域为，则的定义域可以是( )A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】根据的图象求得正确答案.【详解】画出的图象如下图所示，由解得，的图象是函数的图象的一部分，依题意，的值域为，由图可知，的定义域可以是、.故选：AB10. 已知函数的图象是一条不间断的曲线，它的部分函数值如下表，则( )123456A. 在区间上不一定单调B. 在区间内可能存在零点C. 在区间内一定不存在零点D. 至少有个零点【答案】ABD【解析】【分析】根据零点存在性定理判断即可.【详解】由所给表格可知，所以，又函数的图象是一条不间断的曲线，所以函数在区间、存在零点，即至少有个零点，故D正确；对于A，由于只知道，的函数值，故无法判断在区间上的单调性，故A正确；对于B、C，虽然，由于不知道函数在内的取值情况，所以函数在内可能存在零点，故B正确，C错误；故选：ABD11. 已知函数为奇函数，则( )A. B. 为上的增函数C. 的解集为D. 的值域为【答案】AC【解析】【分析】由奇函数的性质求出的值，再代入检验，即可判断A，再根据指数型复合函数的单调性判断B，由及指数函数的性质求出不等式的解集，即可判断C，首先求出，即得到的取值范围，即可求出的值域，从而判断D.【详解】解：因为函数为奇函数，所以，即，解得，此时，则，符合题意，故，即A正确；因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递减，所以在定义域上单调递减，故B错误；由，即，所以，即，即，解得，所以不等式的解集为，故C正确；因为，所以，所以，即的值域为，故D错误；故选：AC12. 已知函数，其中，若，则下列说法正确的是( )A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】由题意把方程变形，利用函数单调性找到，然后利用指数、对数运算即可判断【详解】因为，所以，即，又，所以函数单调递增，所以，所以，即，故D正确；所以，所以，所以，故C正确；因为，所以，故，所以，解得，所以，故B正确；因为，所以，所以，又，所以，故A错误.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题的关键在于利用同构的思想对原等式进行合理的变形，从而构造出函数，利用其单调性得到，即得到，从而判断出D选项，那么其他选项则变得水到渠成.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】依题意满足等式，代入得到关于的不等式，解之即可.【详解】因为关于的不等式的解集为且，所以，即，即，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.14. 函数的单调递增区间为_.【答案】【解析】【分析】分别求出内层函数和外层函数的单调增区间即可【详解】解：令，则在上单调递增，在上单调递增，根据复合函数函数同增异减的规律，得函数的单调递增区间为故答案为【点睛】本题考查复合函数的单调性，由于内外层函数均不复杂，故是基础题15. 将函数(且)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，若所得函数的图象与函数的图象重合，则_.【答案】【解析】【分析】先求出变换之后的函数解析式，然后根据两函数为同一函数，结合诱导公式可得，然后可解.【详解】将函数(且)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得图象的函数为，所以与为同一函数，故，即所以故答案为：16. 已知函数，若关于的方程恰有三个实数解，则实数的取值集合为_.【答案】【解析】【分析】当时，易知无解；当时，设，采用数形结合的方式可知，可知无解；当时，设，采用数形结合的方式可知，通过讨论的范围可确定或的取值，由此可构造方程求得的值.【详解】；当时，此时无解，不合题意；当时，设，则与的大致图象如下图所示，则对应的两根为，此时与无解，即方程无解，不合题意；当时，设，则与的大致图象如下图所示，则对应两根为，若恰有三个实数解，则和与共有个不同的交点，当时，与有两个不同交点，如图所示，与有且仅有一个交点，则，解得：；当时，与有两个不同交点，与有且仅有一个交点，则，与矛盾，不合题意；当时，与有两个不同交点，如图所示，与有且仅有一个交点，则，解得：；综上所述：实数的取值集合为.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知集合，.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1) (2).【解析】【分析】(1)依题意可得，即可得到不等式组，解得即可；(2)依题意可得或，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】解：因为，所以，所以，即；【小问2详解】解：因为，所以或，所以18. 从下面中选取一个作为条件，完成所给两个问题. (1)求的值；(2)若，求的值.注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)首先判断选、结果均相同，则按照选进行解答，利用诱导公式计算可得；(2)首先判断的取值范围，利用平方关系求出，再由诱导公式计算可得.【小问1详解】解：因为，故不论选、结果均相同，以下按照选进行解答，因为.【小问2详解】解：因为，所以.若，则，与矛盾，所以，所以，因为.19. 已知正数x，y满足.(1)将y表示为x的函数，并证明在其定义域内单调递减；(2)求的最小值.【答案】(1)，证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)先求得的解析式，然后根据函数单调性的定义证得结论成立.(2)利用基本不等式求得的最小值.【小问1详解】因为，所以，又x，y为正数，故，解得，从而， 任取，且，因为，且，所以，从而，即，故在其定义域上单调递减.【小问2详解】由(1)得，所以，(当且仅当，即时取等号)所以当时，取得最小值.20. 在平面直角坐标系xOy中，点P从点出发，在以原点O为圆心，2为半径的圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，且每秒钟转动3弧度，记t秒时点P的纵坐标为.(1)求的解析式；(2)若点P纵坐标第n次等于的时刻记为，求的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据三角函数的定义求得的解析式.(2)先求得的对称轴方程，根据对称性求得的值.【小问1详解】因为终边过的锐角为，t秒时点P所转过的角为3t，所以t秒时点P在的终边上，因为点P在以原点O为圆心，2为半径的圆上，由三角函数定义可知.【小问2详解】由，得的对称轴方程为，由题意，依次为方程的由小到大排列的4个正根，因为，所以与，与、与分别关于直线，对称，从而有，于是.21. 已知函数，其中，.(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)若，都有成立，求的取值范围.【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)【解析】【分析】(1)首先求出函数解析式，从而求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义判断即可；(2)依题意可得，则问题转化为，都有成立，分和两种情况讨论，结合函数的单调性，转化为二次函数恒成立，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】解：为奇函数，因为，由，解得，即的定义域为，因为对任意，都有，且，所以为奇函数.【小问2详解】解：化为，因为，且，所以且，所以问题转化为，都有成立，当时，都有成立，即对恒成立，因为对称轴，故在上单调递减，所以，解得.当时，都有成立，即对恒成立，因为对称轴，故在上单调递减，所以，解得.综上可知：的取值范围为.22. 已知函数.(1)求证：；函数零点个数为奇数；(2)记函数的值域为A，若至少有两个不同的，使得，求正数的取值范围.【答案】(1)证明见解析；证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)列式计算即可证明；先确定1是函数的零点，再利用的结论得到，由此即可证明函数的零点个数为奇数；(2)计算出的值域，确定即是，说明时，存在至少两个最小值，由此列出满足要求的不等式解出即可.【小问1详解】，即；因为，所以1是函数的零点因为,所以若是函数的零点，则也是函数的零点，若，则，综上可知，函数的零点个数为奇数.【小问2详解】因为，所以，即因为至少有两个不同的，使得所以至少有两个不同的，使得因为，所以，令，解得所以