数学选修2-3复习(共23页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上选修2-3复习一、知识梳理1.分类加法计数原理原理:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法特点:两类方案中的任何一类的任何一种方法都可以完成这件事,并且两类方案中所有方法互不相同一般结论:完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,在第n类方案中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法注意事项:完成这件事的任何一种方法必属于某一类,并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法,只有满足这些条件,即做到“不重不漏”,才能用分类计数原理2.分步乘法计
2、数原理原理:完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法特点:两个步骤缺一不可,并且经过两个步骤恰好完成这件事一般结论:完成一件事需要n个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,做第n步有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法注意事项:在分步乘法计数原理中,完成一件事分为若干个有联系的步骤,只有前一个步骤完成后,才能进行下一个步骤当各个步骤都依次完成后,这件事才算完成但每个步骤中可以有多种不同的方法,而这些方法之间是相互独立的3.排列组合(1)排列:从n个不同的元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做
3、从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。相同的排列是指元素相同且顺序相同。 (2)排列数:从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数,用符号表示。 排列数公式: (3)全排列: 把n个不同的元素全部取出(从n个不同的元素中取出n个元素),按照一定的顺序排成一列,叫做n个不同的元素的一个全排列,全排列的个数叫做n个元素的全排列数,用符号表示。此时,=n(n-1)(n-2)321=n!n!表示正整数1到n的连乘,叫做n的阶乘。因此:,规定:0!1。 (4). 组合: 从n个不同的元素中取出m(mn)个元素并成一组,叫做从n个不同的元素中取出
4、m个元素的一个组合。(5)组合数:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数,用符号表示,根据分步计数原理得到:。 组合数公式: (6)组合数的性质:(1) ,规定:;(2) 。4.条件概率与事件的独立性(1)条件概率一般地,若有两个事件A和B,在已知事件B发生的条件下考虑事件A发生的概率,则称此概率为B已发生的条件下A的条件概率,记为P(AB).一般地,若P(B)0,则事件B已发生的条件下A发生的条件概率是 。(2)事件的独立性设A, B为两个事件,如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A与事件B相互独立
5、.事件(或)是否发生对事件(或)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件若与是相互独立事件,则与,与,与也相互独立相互独立事件同时发生的概率:两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积一般地,如果事件相互独立,那么这个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即 (3)独立重复性独立重复试验的定义:指在同样条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验独立重复试验的概率公式:一般地,如果在1次试验中某事件发生的概率是,那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率它是展开式的第项离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n次独立重复试验
6、中这个事件发生的次数是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是,(k0,1,2,,n,)于是得到随机变量的概率分布如下:01knP由于恰好是二项展开式中的各项的值,所以称这样的随机变量服从二项分布,记作B(n,p),其中n,p为参数,并记b(k;n,p)5.离散型随机变量(1)离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量随机变量常用字母 X , Y, 表示在此基础之上所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.(2)离散型随机变量分布列设离散型随机变量可能取得值为x1,x2,x3,取每一个值xi(i=1,2,)的概
7、率为,则称表x1x2xiPP1P2Pi为随机变量的概率分布,简称分布列 离散型随机变量分布列的两个性质:任何随机事件发生的概率都满足:,并且不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质:Pi0,i1,2,;P1+P2+=1对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即(3)离散型随机变量的数学期望与方差 均值或数学期望: 一般地,若离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称 为的均值或数学期望,简称期望均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平 平均数、均值:一
8、般地,在有限取值离散型随机变量的概率分布中,令,则有,所以的数学期望又称为平均数、均值 均值或期望的一个性质:若(a、b是常数),是随机变量,则也是随机变量,它们的分布列为x1x2xnPp1p2pn于是 ) ,由此,我们得到了期望的一个性质:若B(n,p),则E=np 证明如下:,012kn又 , 故若B(n,p),则np6常用的分布(1)两点分布随机变量 X 的分布列是01P像上面这样的分布列称为两点分布列(2)二项分布在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发
9、生k次的概率是,(k0,1,2,,n,)于是得到随机变量的概率分布如下:01knP称这样的随机变量服从二项分布,记作B(n,p),其中n,p为参数,并记b(k;n,p)(3)超几何分布一般地,在含有M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有X件次品数,则事件 X=k发生的概率为,其中,且称分布列X01P为超几何分布列如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列,则称随机变量 X 服从超几何分布. 7正态分布总体密度曲线:样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做
10、总体密度曲线它反映了总体在各个范围内取值的概率根据这条曲线,可求出总体在区间(a,b)内取值的概率等于总体密度曲线,直线x=a,x=b及x轴所围图形的面积观察总体密度曲线的形状,它具有“两头低,中间高,左右对称”的特征,具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示:式中的实数、是参数,分别表示总体的平均数与标准差,的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线一般地,如果对于任何实数,随机变量X满足,则称 X 的分布为正态分布正态分布完全由参数和确定,因此正态分布常记作如果随机变量 X 服从正态分布,则记为X. 经验表明,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用
11、结果之和,它就服从或近似服从正态分布(1)正态分布)是由均值和标准差唯一决定的分布通过固定其中一个值,讨论均值与标准差对于正态曲线的影响 (2)通过对三组正态曲线分析,得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图,书中没有做要求,教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板,形象、美观地画出三条正态曲线的图形,结合前面均值与标准差对图形的影响,引导学生观察总结正态曲线的性质 (3)正态曲线的性质:曲线在x轴的上方,与x轴不相交 曲线关于直线x=对称 当x=时,曲线位于最高点 当x时,曲线上升(增函数);当x时,曲线下降(减函数) 并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为
12、渐近线,向它无限靠近 一定时,曲线的形状由确定 越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;越小曲线越“瘦高”总体分布越集中:(4)标准正态曲线:当=0、=l时,正态总体称为标准正态总体,其相应的函数表示式是,(-x+)其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题 二、排列组合相关例题讲解1. 分类加法与分步乘法计数原理例1.从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船。一天中,火车有4班,汽车有2班,轮船有3班。那麽一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?【解析】因为一天中乘火
13、车有4种走法,乘汽车有2种走法,乘轮船有3种走法,每一种走法都可以从甲地到乙地,因此,一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4+2+3=9 种不同的走法。例2.(2007东城)某银行储蓄卡的密码是一个4位数码,某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字(如2816)的方法设计密码,当积为一位数时,十位上数字选0,并且千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有( )A90个 B99个 C100个 D112个高考资源网【解析】由于千位、百位确定下来后十位、个位就随之确定,则只考虑千位、百位即可,千位、百位各有10种选择,所以有1010种=100种.故选C.2排列与组合高考资源网例3.
14、 (2009北京卷文)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ( )A8B24C48D120【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.2和4排在末位时,共有种排法,高考资源网其余三位数从余下的四个数中任取三个有种排法,于是由分步计数原理,符合题意的偶数共有(个).故选C.例4. (2009全国卷理)甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )(A)150种 (B)180种 (C)300种 (D)345种 解: 分两类(1) 甲组中选
15、出一名女生有种选法; . 高考资源网 (2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D例5. (2009四川卷文)2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,(A共有种不同排法),剩下一名女生记作B,两名男生分别记作甲、乙;则男生甲必须在A、B之间(若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻,只有把男生乙排在A、B之间,此时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有6212种排法(A左B右和A右B左)最后再在排好的三个元素中选
16、出四个位置插入乙,所以,共有12448种不同排法。解法二;同解法一,从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,(A共有种不同排法),剩下一名女生记作B,两名男生分别记作甲、乙;为使男生甲不在两端可分三类情况:第一类:女生A、B在两端,男生甲、乙在中间,共有=24种排法;第二类:“捆绑”A和男生乙在两端,则中间女生B和男生甲只有一种排法,此时共有12种排法第三类:女生B和男生乙在两端,同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。此时共有12种排法 三类之和为24121248种。. 高考资源网3.二项式定理的通项公式例6. (2009重庆卷理)的展开式中的系数是( )A16B70C560D1120【解
17、析】设含的为第,所以,故系数为:,选D4二项式定理的综合应用例7.(2007济南)(x2 + 1)(x 2)9 = a0 + a1(x 1) + a2(x 1)2 + a3(x 1)3 + + a11(x 1)11,则a1 + a2 + a3 + +a11的值为.【解析】令x = 1,得2(1) 9 = a0, 令x = 2,得(22 + 1)0 = a0 + a1 + +a11, 联立知a1 + a2 + +a11 = 2.例8. 6.(2009陕西卷文)若,则的值为 A. 2B.0 C. D. 解析 由题意容易发现,则, 同理可以得出,高考资源网亦即前2008项和为0, 则原式= 故选C.
18、5.二项式与推理综合问题例(2009浙江卷理)观察下列等式: , ,高考资源网由以上等式推测到一个一般的结论:对于, 答案 解析 这是一种需类比推理方法破解的问题,结论由二项构成,第二项前有,二项指数分别为,因此对于,6排列组合求概率问题高考资源网例2009重庆卷理)锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为( )A B C D 【答案】C【解析】因为总的滔法而所求事件的取法分为三类,即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2;1,2,1;2,1,1三类,故所求概率为7.二项式定
19、理与极限综合问题高考资源网例(2009湖北卷理)设,则 答案 B解析 令得高考资源网令时高考资源网令时两式相加得:两式相减得:代入极限式可得,故选B8插空法。例 10个节目中有6个演唱4个舞蹈,要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱,有多少种不同的安排节目演出顺序的方式?解 先将6个演唱节目任意排成一列有种排法,再从演唱节目之间和前后一共7个位置中选出4个安排舞蹈有种方法,故共有=种方式。9二项式定理的应用。例 若nN, n2,求证:证明 首先其次因为,所以 2+得证。三、概率相关例题讲解1 人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号码不再重复,试求下列事件的概率: (1)第
20、次拨号才接通电话;(2)拨号不超过次而接通电话 解:设第次拨号接通电话,(1)第次才接通电话可表示为于是所求概率为(2)拨号不超过次而接通电话可表示为:于是所求概率为 2 出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗,假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的,并且概率都是 (1)求这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率; (2)求这位司机在途中遇到红灯数的期望和方差 解:(1)因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯,所以 (2)易知 3 奖器有个小球,其中个小球上标有数字,个小球上标有数字,现摇出个小球,规定所得奖金(元)为这个小球上记号之和,求此次摇奖获得奖金数
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