杨辉三角与二项式系数的性质ppt.课件.ppt
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1、011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 一般地,对于一般地,对于n N*有有二项定理二项定理:二项展开式中的二项式系数指的是哪些?共有多少个?二项展开式中的二项式系数指的是哪些?共有多少个?45453510C 下面我们来研究二项式系数有些什么性质?我下面我们来研究二项式系数有些什么性质?我们先通过观察们先通过观察n为特殊值时,二项式系数有什么特为特殊值时,二项式系数有什么特点?点?计算计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b)n展开式的二项式系数展开式的二项式系数12345616152015611510
2、105114641133112111对称性对称性详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载的表杨杨 辉辉杨辉三角杨辉三角(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61 1)请看系数有没有明显的规律?)请看系数有没有明显的规律?2 2)上下两行有什么关系吗?)上下两行有什么关系吗? 3 3)根据这两条规律,大家能写出下面的系数吗)根据这两条规律,大家能写出下面的系数吗? ?每行两端都是每行两端都是1 C1 Cn n0 0= C= Cn nn n=1=1从第二行起,每行除从第二行起,每行除1 1以外的每一个数都等于它肩以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和上的两个数的和(
3、a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+mnmnmnCCC11 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是:系数依次是: nba)( nnnnnC,C,C,C210 从函数角度看,从函数角度看, 可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 , ,其定义域是:其定义域是: rnC)(rfn, 2 , 1 , 0 当当 时,其图象是右时,其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点6n(1 1)对称性)对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两的两个二项式系数相等个二项式系数相等这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到mnnmn CC图象的对称轴图象
4、的对称轴:2nr (2 2)增减性与最大值)增减性与最大值 1(1)(2)(1)1CC(1)!kknnn nnnknkkkk由于由于:所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定 knC1Cknkkn1由由:2111nkkkn21nk 可知,当可知,当 时,时,二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。 因此,因此,当当n为偶数时为偶数时,中间一项的二项式,中间一项的二项式2Cnn系数系数 取得最大值;取得最大值; 当当n为奇数时为奇数时,中间两项的二项式系数
5、,中间两项的二项式系数 、21Cnn21Cnn相等,且同时取得最大值。相等,且同时取得最大值。(2 2)增减性与最大值)增减性与最大值 (3 3)各二项式系数的和)各二项式系数的和 在二项式定理中,令在二项式定理中,令 ,则:,则: 1abnnnnnn2CCCC210这就是说,这就是说, 的展开式的各二项式系数的和等于的展开式的各二项式系数的和等于:()nabn2 (1 1) 一般地,一般地, 展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下基本性质:有如下基本性质:nba)( nnnnCCC,10mnnmnCC (2 2)mnmnmnCCC11(4 4)nnnnnCCC210 (3 3)当当n
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