三角函数与平面向量(共67页).docx
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1、精选优质文档-倾情为你奉上三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质高考定位三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查:1.三角函数的图象,主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题,主要以选择题、填空题的形式考查;2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以解答题的形式考查.真 题 感 悟1.(2016全国卷)若将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为()A.x(kZ) B.x(kZ)C.x(kZ) D.x(kZ)解析由题意将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y2s
2、in,由2xk得函数的对称轴为x(kZ),故选B.答案B2.(2015安徽卷)已知函数f(x)Asin(x)(A,均为正的常数)的最小正周期为,当x时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A.f(2)f(2)f(0) B.f(0)f(2)f(2)C.f(2)f(0)f(2) D.f(2)f(0)0,min,故f(x)Asin(2x).于是f(0)A,f(2)Asin(4),f(2)AsinAsin,又44,其中f(2)AsinAsinAsin,f(2)AsinAsinAsin.又f(x)在内单调递增,f(2)f(2)0)个单位长度,得到yg(x)的图象.若yg(x)图象的一个对称中心
3、为,求的最小值.解(1)根据表中已知数据,解得A5,2,.数据补全如下表:x02xAsin(x)05050且函数表达式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin,得g(x)5sin.因为ysin x的对称中心为(k,0),kZ.令2x2k,解得x,kZ.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称,令,解得,kZ.由0可知,当k1时,取得最小值.探究提高在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.微题型2由三角函数图象求其解析式【例12】 函数f(x)Asin(x)(A,为常
4、数,A0,0,0)的图象如图所示,则f的值为_.解析根据图象可知,A2,所以周期T,由2.又函数过点,所以有sin1,而0.所以,则f(x)2sin,因此f2sin1.答案1探究提高已知图象求函数yAsin(A0,0)的解析式时,常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定;确定常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练1】 (2016青岛模拟)已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,|)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)将函数yf(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标
5、缩短到原来的倍,再把所得的函数图象向左平移个单位长度,得到函数yg(x)的图象,求函数g(x)在区间上的最小值.解(1)设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可知A1,即T,所以,解得2,故f(x)sin(2x).由0sin可得k,kZ,即k,kZ,因为|,所以,故函数f(x)的解析式为f(x)sin.(2)根据条件得g(x)sin,当x时,4x,所以当x时,g(x)取得最小值,且g(x)min.热点二三角函数的性质微题型1三角函数性质的应用【例21】 已知函数f(x)sin(x)cos(x)为奇函数,且函数yf(x)的图象的两相邻对称轴之间的距离为.(1)求f的值;(2)将函数yf(x)的图
6、象向右平移个单位后,得到函数yg(x)的图象,求函数g(x)的单调递增区间.解(1)f(x)sin(x)cos(x)22sin.因为f(x)为奇函数,所以f(0)2sin0,又0|,可得,所以f(x)2sin x,由题意得2,所以2.故f(x)2sin 2x.因此f2sin .(2)将f(x)的图象向右平移个单位后,得到f的图象,所以g(x)f2sin2sin.当2k2x2k(kZ),即kxk(kZ)时,g(x)单调递增,因此g(x)的单调递增区间为(kZ).探究提高对于函数yAsin(x)(A0,0)单调区间的求解,其基本方法是将x作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间),求出的区间即为y
7、Asin(x)的增区间(或减区间),但是当A0,0时,需先利用诱导公式变形为yAsin(x),则yAsin(x)的增区间即为原函数的减区间,减区间即为原函数的增区间.微题型2由三角函数的性质求参数【例22】 (1)(2015湖南卷)已知0,在函数y2sin x与y2cos x 的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则_.(2)设函数f(x)Asin(x)(A,是常数,A0,0).若f(x)在区间上具有单调性,且fff,则f(x)的最小正周期为_.解析(1)由得sin xcos x,tan x1,xk (kZ).0,x (kZ).设距离最短的两个交点分别为(x1,y1),(x2,y2),
8、不妨取x1,x2,则|x2x1|.又结合图形知|y2y1|2,且(x1,y1)与(x2,y2)间的距离为2,(x2x1)2(y2y1)2(2)2,(2)212,.(2)由f(x)在上具有单调性,得,即T;因为ff,所以f(x)的一条对称轴为x;又因为ff,所以f(x)的一个对称中心的横坐标为.所以T,即T.答案(1)(2)探究提高此类题属于三角函数性质的逆用,解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式,再根据参数范围求解.或者,也可以取选项中的特殊值验证.微题型3三角函数图象与性质的综合应用【例23】 设函数f(x)sin2x2sin xcos xcos2x(xR)的图象关于直线
9、x对称,其中,为常数,且.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若yf(x)的图象经过点,求函数f(x)在x上的值域.解(1)因为f(x)sin2x2sin xcos xcos2xcos 2xsin 2x2sin,由直线x是yf(x)图象的一条对称轴,可得sin1,所以2k(kZ),即(kZ).又,kZ,所以k1,故.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的图象过点,得f0,即2sin2sin,即.故f(x)2sin,x,x,函数f(x)的值域为1,2.探究提高求三角函数最值的两条思路:(1)将问题化为yAsin(x)B的形式,结合三角函数的性质或图象求解;(2)将问题化为关于sin
10、 x或cos x的二次函数的形式,借助二次函数的性质或图象求解.【训练2】 (2016河南名校联考)已知函数f(x)cossin2xcos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程;(2)设函数g(x)f(x)2f(x),求g(x)的值域.解(1)f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin.则f(x)的最小正周期为,由2xk(kZ),得x(kZ),所以函数图象的对称轴方程为x(kZ).(2)g(x)f(x)2f(x)sin2sin.当sin时,g(x)取得最小值,当sin1时,g(x)取得最大值2,所以g(x)的值域为.1.已知函数yAsin(x)B(A0,0)的图象求
11、解析式(1)A,B.(2)由函数的周期T求,.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比ysin x的性质,只需将yAsin(x)中的“x”看成ysin x中的“x”,采用整体代入求解.(1)令xk(kZ),可求得对称轴方程;(2)令xk(kZ),可求得对称中心的横坐标;(3)将x看作整体,可求得yAsin(x)的单调区间,注意的符号.3.函数yAsin(x)B的性质及应用的求解思路第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yAsin(x)B(一角一函数)的形式;第二步:把“x”视为一个整体,借助复合函数性质求yAsin(x)B的单调性及
12、奇偶性、最值、对称性等问题.一、选择题1.(2016山东卷)函数f(x)(sin xcos x)(cos xsin x)的最小正周期是()A. B.C. D.2解析f(x)2sin xcos x(cos2xsin2x)sin 2xcos 2x2sin,T,故选B.答案B2.函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示,则将yf(x)的图象向右平移个单位后,得到的图象的解析式为()A.ysin 2x B.ycos 2xC.ysin D.ysin解析由图象知A1,T,T,2,由sin1,|得f(x)sin,则图象向右平移个单位后得到的图象的解析式为ysinsin.答案D3.(2016太原模拟)已知
13、函数f(x)sin(x)(0,0)的图象关于直线x对称,且f0,则取最小值时,的值为()A. B. C. D.解析由,解得2,故的最小值为2.此时sin0,即sin0,又0,所以.答案D4.(2016北京卷)将函数ysin图象上的点P向左平移s(s0)个单位长度得到点P.若P位于函数ysin 2x的图象上,则()A.t,s的最小值为B.t,s的最小值为C.t,s的最小值为D.t,s的最小值为解析点P在函数ysin图象上,则tsinsin.又由题意得ysinsin 2x,故sk,kZ,所以s的最小值为.答案A5.(2016唐山期末)已知函数f(x)sin xcos x(0),ff0,且f(x)在
14、区间上递减,则()A.3 B.2 C.6 D.5解析f(x)2sin,ff0.当x时,f(x)0.k,kZ,3k1,kZ,排除A、C;又f(x)在上递减,把2,5代入验证,可知2.答案B二、填空题6.(2016临沂模拟)若将函数f(x)sin的图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则的最小正值是_.解析f(x)sing(x)sinsin,关于y轴对称,即函数g(x)为偶函数,则2k(kZ),(kZ),显然,k1时,有最小正值.答案7.(2016江苏卷)定义在区间0,3上的函数ysin 2x的图象与ycos x的图象的交点个数是_.解析在区间0,3上分别作出ysin 2x和ycos x的简图
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