复变函数论教学大纲(共10页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上复变函数论教学大纲一、课程基本信息中文名称:复变函数论英文名称:Theory of Functions of Complex Variable课程编号:B课程类别:专业主干课总学时数:48学 分:3适用专业:数学与应用数学开课系部:数学与信息技术学院先修课程:数学分析,高等代数,解析几何二、课程性质与教学目的复变函数是数学、物理及电子类各专业必修的一门基础课,其理论随着它的应用领域不断扩大而发展成为一门庞大的数学分支。一方面讲述复变函数的基本理论与方法,另一方面渗透复分析领域内的相关内容。教学目的使学生掌握复变函数的基本内容和方法,为进一步学习复分析,从事工程和电子应
2、用、科研及其它工作打好坚实基础。三、 课程教学基本要求 第一讲 复数及其运算 (2学时)1、复数的基本概念和表示方法内容:复数相关的基本概念,复数的6种表示方法要求:理解复数的相关基本概念,会用复数的6种表示方法互相变换,会准确计算刘种表示方法中复数的实部、虚部、模、辐角等。2、复数的运算内容:代数形式的四则运算,三角形式的乘除运算和幂运算,开方运算。要求:掌握复数的代数运算,理解复数的三角形式乘除运算,掌握三角形式的幂运算和开方运算。3、复数的几何意义内容:复数的坐标表示和向量表示的运算,复数几何意义,复数乘除幂和开方的几何意义。要求:理解复数的几何表示和几何意义,掌握复数乘法除法的几何意义
3、,会应用复数乘除的几何意义证明一些几何问题,了解复数幂和开方的几何意义。第二讲 复变函数的极限与连续 (2学时)1、复数列的极限内容:复数列极限的定义,复数列极限的充要条件,复数列极限的计算要求:理解复数极限的定义,掌握复数列极限的充要条件,会计算复数列的极限。2、复变函数的定义和极限内容:复变函数的定义,复变函数的定义域和值域,复变函数的分类,复变函数的极限,复变函数极限与实二元函数二重极限关系,计算复变函数的极限。要求:理解复变函数的定义,理解复变函数定义域和值域的关系,了解复变函数的分类,理解复变函数极限的定义和充要条件,掌握复变函数极限与实二元函数二重极限关系,会计算复变函数的极限3、
4、复变函数的连续性内容:连续性的定义,复变函数连续的性质,复变函数连续的充要条件,初等函数连续性。要求:理解连续性的定义,掌握复变函数连续的性质,理解复变函数连续的充要条件。掌握初等函数连续性。第三讲 复变函数的导数与微分 (2学时)1、复函数导数的定义内容:复函数导数的定义,复函数实部和虚部可导定义,导数的四则运算,导数的复合函数运算,导数的反函数运算,初等函数可导性要求:理解复函数导数的定义,掌握复函数实部和虚部的导数定义,掌握导数的四则运算,掌握导数的复合函数运算,理解导数的反函数运算,理解初等函数的可导性2、复函数的微分内容:复变函数微分的定义,复变函数的可导、微分和连续的关系,复变函数
5、导数和实二元函数导数的关系。要求:理解复变函数微分的定义,理解复变函数的可导、微分和连续的关系,理解复变函数导数和实二元函数导数的关系。3、复函数可微分的条件内容:柯西黎曼方程,可微分的必要条件可微分的充要条件,可微分的必要条件要求:掌握柯西黎曼方程,理解可微分的必要条件,理解可微分的充要条件,理解可微分的必要条件。第四讲 解析函数 (2学时)1、解析函数内容:函数在一点的定义、函数在区域内解析的定义,函数在闭区域上解析的定义,解析和可导的关系,奇点的定义,解析函数的条件概括,判断函数的解析性。要求:深刻理解解析函数定义,会用解析函数的条件判断函数的解析性。2、初等解析函数内容:指数函数定义,
6、指数函数的性质、三角函数与双曲函数性质,三角函数和双曲函数的性质。要求:熟悉指数函数、三角函数与双曲函数的基本性质以及和实函数的区别,理解三类基本初等函数的映照性质。3、初等多值函数内容:根式函数、对数函数、幂函数与反三角函数。要求:了解初等多值函数。能将初等多值函数分解为若干个单值函数。掌握对数函数的计算和反三角函数的计算。第五讲 复变函数的积分 (2学时)1、复变函数积分的概念内容:有向曲线的参数方程,复变函数积分的定义、复变函数在曲线上的积分和实二元函数的第二型曲线积分的关系。要求:理解并掌握复变函数积分的概念,掌握复变函数和实二元函数在曲线上积分的关系。2、复变函数积分的计算内容:利用
7、定义计算复变函数的积分,利用第二型曲线积分计算复变函数的积分,利用曲线的复参数方程计算复变函数的积分。要求:熟练掌握复变函数的积分计算并能灵活应用各种方法。3、复变函数积分的性质内容:复变函数积分的基本性质,复变函数积分的估值要求:灵活运用复函数积分的基本性质,理解复变函数的估值性质。第六、七讲 柯西积分定理与柯西积分公式 (4学时)1、柯西积分定理内容:柯西积分定理、任意闭曲线上的柯西积分定理,解析函数的积分与路径无关性质,不定积分和原函数、牛顿-莱布尼茨公式,柯西积分定理的推广。要求:熟练掌握柯西积分定理,并能灵活应用,掌握柯西积分定理的推广形式,掌握不定积分和原函数的性质。3、柯西积分公
8、式及其推论内容:柯西积分公式、柯西积分的定义,平均值定理,解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、代数学基本定理,摩勒拉定理。要求:灵活运用柯西积分公式,深刻理解解析函数的无穷可微性,掌握柯西不等式与刘维尔定理,掌握代数学基本定理,掌握摩勒拉定理。第八讲 解析函数与调和函数关系 (2学时)1、调和函数的概念及其性质内容:调和函数的定义、调和函数的性质、调和函数的应用。要求:理解并掌握调和函数的定义和性质,了解调和函数的应用。2、调和函数与解析函数的关系内容:解析函数实部虚部的调和性质,调和函数作为实部虚部构成的解析函数条件。要求:熟练掌握柯调和函数与解析函数的关系。3、拉普拉斯方程的解答
9、内容:拉普拉斯方程的定义,拉普拉斯方程的应用,拉普拉斯方程的复变函数解答。要求:理解并掌握拉普拉斯方程定义,了解拉普拉斯方程的应用,会求拉普拉斯方程的复变函数解法。4、复数边界积分方程内容:特殊边界围成区域的拉普拉斯方程边界积分方程介绍。要求:了解复数边界积分方程的一般理论。第九讲 复势理论及其应用 (2学时)1、复变函数表示复势内容:复势的定义、向量和复数、解析函数实部和虚部与向量函数,平面向量场。要求:理解并掌握复势的定义,会用解析函数实部和虚部表示向量函数,熟悉平面向量场的解析函数表示法。2、流体中的复势应用内容:不可压缩流体中的流速函数的解析函数表示,无源场解析函数表示,无旋场解析函数
10、表示,既无源又无旋场解析函数表示,有源点场的解析函数表示,有涡点场的解析函数表示要求:熟练掌握流体中各种场的解析函数表示。3、静电场中的复势应用内容:电场强度的向量表示,电场线和等势线,静电场的复势表示。要求:理解并掌握电场中的复势理论,会用解析函数表示静电场中的电场线和等势线。第十讲 复数项级数和复函数项级数 (2学时)1、复数项级数收敛的定义内容:复数项级数定义、复数项级数的收敛定义,复数项级数绝对收敛和条件收敛,复数项级数收敛的性质,复数项级数的求和,复数项级数和实数项级数的关系。一致收敛的复函数项级数、解析函数项级数。要求:理解复数项级数定义和复数项级数的收敛定义,掌握复数项级数绝对收
11、敛和条件收敛,掌握复数项级数收敛的性质,会计算复数项级数的求和,理解复数项级数和实数项级数的关系。2、复函数项级数收敛和一致收敛的定义内容:复函数项级数定义,和函数定义,复函数项级数收敛和一致收敛的定义,复函数项级数一致收敛的柯西收敛准准和优级数判别法,内闭一致收敛定义要求:理解复函数项级数定义,和函数定义,理解复函数项级数收敛和一致收敛的定义,掌握复函数项级数一致收敛的柯西收敛准准和优级数判别法,理解内闭一致收敛定义。3、解析函数项级数的导数性质内容:解析函数可导性质要求:掌握解析函数可导性质。第十一讲 解析函数的幂级数展开 (2学时)1、幂级数内容:幂级数的定义,幂级数的敛散性、收敛半径R
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- 函数 教学大纲 10
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