第2章 结构稳定计算的能量法.pptx
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1、课程主讲人:第2章 结构稳定计算的能量法耐劳苦尚简朴勤学业爱国家结 构 稳 定 理 论 授课教师 | XXX5授课内容32.1 引言2.2 铁摩辛柯能量法2.3 势能驻值原理和最小势能原理2.4 瑞利-里茨法2.5 迦辽金法第2章 稳定计算的能量法52.1 引 言4静力法求解构件稳定问题,是通过建立临界状态的平衡微分方程而求出临界荷载的精确解。但是,静力法需要求解微分方程,同时得到的稳定方程又是超越方程,求解十分困难。由于构件截面的变化或受力的复杂性,有时甚至要求解变系数平衡微分方程,往往不能得到闭合解,这就需要一些近似方法来求解。非等截面构件压力沿轴线变化的构件压杆的弹塑性屈曲问题具有变系数
2、的平衡微分方程求解困难或无法求解52.1 引 言5近似方法:能量法 铁摩辛柯能量法 势能驻值原理和最小势能原理 瑞利-里茨法 迦辽金法5当 时,中性平衡状态2.2 铁摩辛柯能量法6能量守恒原理:保守体系处于平衡状态时,贮存在结构体系中的应变能等于外力所作的功:EW铁摩辛柯能量法:用能量守恒原理解决结构弹性稳定问题受到扰动后:体系应变能增量 E = 外荷载作功增量 W + 扰动力所作功当 时,不稳定平衡状态0EW当 时,稳定平衡状态0EW0EW求解临界荷载52.2 铁摩辛柯能量法7以两端铰接轴心受压直杆为例来说明铁摩辛柯能量法:杆在中性平衡状态下弯曲后,上端下降 ,外力所作的功:WF取杆件的微段
3、 dx 来研究:d= 1 cosdx因为24cos12!4! 角很小,故可取d= tgdyyx两端铰接的轴心受压直杆52.2 铁摩辛柯能量法8以两端铰接轴心受压直杆为例来说明铁摩辛柯能量法:两端铰接的轴心受压直杆2211ddd22xyx沿杆长积分,得到杆件上端下降量 为:20011 cos dd2llxyx外力功为:杆件由直线状态过渡到曲线平衡状态过程产生的弯曲应变能增量为:20d2lFWFyx201d2lMExEI5式中,y(x)是任一可能的挠度曲线,即满足位移边界条件的挠度曲线。根据 E = W 得:2.2 铁摩辛柯能量法9以两端铰接轴心受压直杆为例来说明铁摩辛柯能量法:两端铰接的轴线受压
4、直杆由MEIy 201d2lEEI yxFcr 即为临界荷载:2200ddllEI yxFyx20cr20ddllEI yxFyx5支承情况挠度曲线级数表达式2.2 铁摩辛柯能量法10满足位移边界条件的挠度曲线级数表达式:52.2 铁摩辛柯能量法11满足位移边界条件的挠度曲线级数表达式:支承情况挠度曲线级数表达式52.2 铁摩辛柯能量法12满足位移边界条件的挠度曲线级数表达式:支承情况挠度曲线级数表达式5支承情况挠度曲线级数表达式2.2 铁摩辛柯能量法13满足位移边界条件的挠度曲线级数表达式:52.2 铁摩辛柯能量法14例题2.1 采用铁摩辛柯能量法来求两端铰接轴心受压直杆的临界荷载。解1:假
5、定 ,此式满足位移边界和力学边界条件。 力学边界条件:(0)0,( )0yy l位移边界条件:0)(, 0)0(lyy将 代入 E 和 W 表达式,得到:lxAysinlxAysin52.2 铁摩辛柯能量法1524242430sin ()d24lAEIxAEIExlll根据 E=W 得:2crE2EIFFl与精确值完全一致采用能量法的精度取于位移函数的选择2222220cosd24lAFxAFWxlll52.2 铁摩辛柯能量法16选择原则:形状合理,尽量与真实变形接近尽可能满足几何、力学边界条件,至少满足几何边界条件易积分,便于计算,如常选用多项式和三角函数解2:设位移函数为:2cxbxay位
6、移边界:(0)0y( )0y l a = 0b = -cl2()yc xxl20yc 不满足力学边界条件52.2 铁摩辛柯能量法17代入 E 和 W 表达式,得到:22EEIc l根据 E = W 得:cr212EIFl比精确值大21%解3:仍假定位移函数为:2()yc xxlW 计算不变E 的计算采用201d2lMExEI,而非201d2lEEI yx2 3220(2) d26lFFc lWcxlx52.2 铁摩辛柯能量法18根据 E=W 得:cr210EIFl比精确值大1.3%由于假定的y(x)不是真实的屈曲挠度曲线,y的误差更大222222 501()d260lF cxxlF c lEx
7、EIEI52.3 势能驻值原理和最小势能原理19虚位移原理:变形体处于平衡状态的充分必要条件是,对于与约束条件相协调的任意微小虚位移,外力虚功应等于内力虚功,即WWeiWe外力虚功Wi内力虚功,始终为负值,应等于负的虚应变能E外力势能Wp()0EEW 为总势能,应变能和外力势能之和。势能驻值原理:当体系处于平衡状态时,总势能一阶变分为零,或体系总势能为一驻值。()0EW pEEW52.3 势能驻值原理和最小势能原理20势能驻值条件p0E平衡状态平衡是否稳定,还要进一步考察 Ep 的高阶变分最小势能原理:对于稳定的平衡,给定任何虚位移,总势能的变化 Ep 总为正,因为只有干扰力作正功才可能偏离原
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