空间向量知识点归纳总结教程文件.docx
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1、精品名师归纳总结空间向量学问点归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结空间向量学问点归纳总结学问要点。1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。注:( 1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。(2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。定义:与平面对量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。uuuruuuruuurrvuuuruuuruuurrruuurrOBOAABab ; BAOAOBab ; OPaR运算律:加法交换律: abba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
2、加法结合律: abcabc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数乘安排律: ab ab3. 共线向量。(1) 假如表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量, a 平行于 b ,记作 a / b 。当我们说向量 a 、b 共线(或 a / b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同始终线,也可能是平行直线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 共线向量定理:空间任意两个向量a 、b ( b 0 ), a / b 存在实数,使 a b 。4. 共面对量(1) 定义:一般的,能平移到同一平面内的向量叫做共面对量。可编
3、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明:空间任意的两向量都是共面的。rrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 共面对量定理:假如两个向量 a, b不共线, p 与向量 a,b共面的条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrr是存在实数 x, y 使 pxayb 。rr r5. 空间向量基本定理:假如三个向量 a, b ,c 不共面,那么对空间任一向量rrrrrp ,存在一个唯独的有序实数组 x, y, z,使 pxaybzc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r r rr r rr r r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
4、纳总结如三向量a,b,c不共面,我们把 a, b, c叫做空间的一个基底,a, b, c 叫做基可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论:设 O, A, B,C 是不共面的四点,就对空间任一点P ,都存在唯独的三uuuruuuruuuruuur个有序实数 x, y, z,使 OPxOAyOBzOC 。6. 空间向量的直角坐标系:(1) 空间直角坐标系中的坐标:在空间直角坐标系 Oxyz 中,对空间任一点 A ,存在唯独的有序实数组 x, y, z ,使 OAxiyizk ,有序实数组 x, y, z 叫作向量 A 在空间直角坐
5、标系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Oxyz 中的坐标,记作Ax,y, z, x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 如空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长为1,这个基底叫单位r r r正交基底,用 i , j , k 表示。(3) 空间向量的直角坐标运算律:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r如 arrr a1, a2 ,a3 , bb1,b2, b3 rrr,就ab a1b1,a2b2 , a3b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba1rrb1, a2b2, a3b3 ,
6、a a1,a2 ,a3R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a ba1b1a2b2rra3b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a / ba1rraba1b1b1, a2b2, a3a2b2a3b30 。b3R ,uuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 A x1,y1, z1 , B x2 , y2 , z2 ,就 ABx2x1, y2y1, z2z1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结标减去起点的坐标。r(4)
7、模长公式:如 ar a1, a2, a3 , bb1, b2, b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrr222rrr222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就| a |a aa1a2a3rr, | b |rrra bb bb1a1b1b2a2b2b3a3b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(5) 夹角公式: cos a br。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| a | |b |222222123123aaabbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -
8、- 欢迎下载精品名师归纳总结(6) 两点间的距离公式:如uuuruuur 2A x1, y1, z1 , Bx2 , y2, z2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就| AB |AB xx 2 yy 2zz 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212121或 d xx 2 yy 2 zz 2A,B2121217. 空间向量的数量积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1)空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量a,b ,在空间任取一点rruuurO ,作OAa, OBr uuurbr,就AOB叫做向量 r 与 r 的夹角,记作aba br , r
9、。且规定0a,brr,明显有a, brrrb ,ar。如 a,brr,就称 a 与b 相互垂直,rr2rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作: ab 。uuurruuurr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 向量的模:设 OAa ,就有向线段 OA 的长度叫做向量 a的长度或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结模,记作:r。| a |rrrrr rr r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 向量的数量积:已知向量a,b,就| a | | b| cosa, b叫做 a, b的数量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r
10、rrrrrr r积,记作 a b ,即 a b| a| |b | cos a, b。(4) 空间向量数量积的性质:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrr rrrrrr 2rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a e| a | cosa, e。 aba b0 。 | a |a a 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(5) 空间向量数量积运算律:rrrrrrrrrr a b a b a b 。 a bb a (交换律)。rrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a bc a ba c(安排律)。可编辑资料 - - - 欢迎下载
11、精品名师归纳总结(6) :空间向量的坐标运算:1. 向量的直角坐标运算rr设a a1, a2 , a3 , b b1,b2, b3 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1rrrr ab , ab , ab 。 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab112233ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1b1, a2b2 , a3b3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3r a ,a ,a R。4rr a ba ba b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a123uuuru
12、uuruuura b1 12 23 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 设 A x1 , y1, z1 , B x2 ,y2 , z2 ,就 ABOBOA = x2x1, y2y1, z2z1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r 3、设 arrr x1, y1 , z1 , brr rr x2 , y2 , z2 ,就rrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a Pbabb0 。aba b0x1x2y1 y2z1z20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 夹角公式 设ar a ,a ,a , r b ,b ,b ,就可编辑
13、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123b123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r ra1b1a2b2a3b3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosa, b222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a2a3b1b2b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 异面直线所成角r r=rr| a b | x1x2y1 y2z1z2 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos| cosa, b |rr.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| a | |
14、 b |x 2y 2z 2x 2y 2z 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1112226. 平面外一点 p 到平面的距离r已知 AB 为平面的一条斜线, n 为平面的一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法向量, A 到平面的距离为: duuurr| AB. n | r| n|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【典型例题】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1. 已知平行六面体 ABCD AB C D,化简以下向量表达式,标出化简可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结果的
15、向量。uuuruuur ABBCuuuruuuruuur。 ABADAA 。DC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuur1 uuuur1 uuuruuuruuurAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABADCC 2。 ABADAA 。M3GDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB例 2. 对空间任一点 O 和不共线的三点 A, B, C ,问满意向量式:uuuruuuruuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OPxOAyOBzOC (其中 xyz1 )的四点P, A, B,C 是否共面?可编辑资料 - - - 欢
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