第31届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案_.docx
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1、第31届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案_此页面能否是列表页或首页?未找到适宜正文内容。此页面能否是列表页或首页?未找到适宜正文内容。此页面能否是列表页或首页?未找到适宜正文内容。此页面能否是列表页或首页?未找到适宜正文内容。第31届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案第31届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案第31届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2021年9月20日一、12分1球形2液滴的半径r、密度和外表张力系数或液滴的质量m和外表张力系数3解法一假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为=fkr式中,比例系数k是一个待定常数.任一物理量a可写成在某一单位制中的单位a和相应的数值a的乘积=a
2、aa.根据这一约定,式在同一单位制中可写成=ffkrr由于取同一单位制,上述等式可分解为互相独立的数值等式和单位等式,因此=fr力学的基本物理量有三个:质量m、长度l和时间t,根据前述约定,在该单位制中有=mmm,=lll,=ttt于是-=ft1=rl-=ml3-=mt2将式代入式得()()-=tlmlmt132即-+-=tlmt132由于在力学中m、l和t三者之间的互相独立性,有30-=,0+=,21=解为311,222=-=-=?将?式代入式得=fkr3解法二假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为=fkr式中,比例系数k是一个待定常数.任一物理量a可写成在某一单位制中的单位a和相应的数值a
3、的乘积=aaa.在同一单位制中,式两边的物理量的单位的乘积必须相等=fr力学的基本物理量有三个:质量M、长度L和时间T,对应的国际单位分别为千克kg、米m、秒s.在国际单位制中,振动频率f的单位f为s-1,半径r的单位r为m,密度的单位为3kgm-?,外表张力系数的单位为1212Nm=kg(ms)mkgs-?=?,即有s-=f1m=rkgm-=?3kgs-=?2若要使式成立,必须知足()()smkgmkgs(kg)ms-+-=?=?13232由于在力学中质量M、长度L和时间T的单位三者之间的互相独立性,有30-=,0+=,第31届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案第31届全国中学生物理竞赛复赛试
4、题及答案21=解为311,222=-=-=?将?式代入式得3fkr=?评分标准:此题12分.第1问2分,答案正确2分;第2问3分,答案正确3分;第3问7分,式2分,?式3分,?式2分答案为3fr、fkm=或fm的,也给这2分.二、(16分)解法一:瓶内理想气体经历如下两个气体经过:000000(,)(,)(,)?iifffpVTNpVTNpVTN放气(绝热膨胀)等容升温其中,000000(,),(,)iifffpVTNpVTNpVTN)和(分别是瓶内气体在初态、中间态与末态的压强、体积、温度和摩尔数根据理想气体方程pVNkT=,考虑到由于气体初、末态的体积和温度相等,有ffiipNpN=另一方
5、面,设V是初态气体在保持其摩尔数不变的条件下绝热膨胀到压强为0p时的体积,即000(,)(,)iiipVTNpVTN?绝热膨胀此绝热经过知足1/00iVpVp?=?由状态方程有0ipVNkT=和00fpVNkT=,所以0fiNVNV=联立式得1/0fiipppp?=?此即lnlniifpppp=由力学平衡条件有0iippgh=+0ffppgh=+式中,00pgh=为瓶外的大气压强,是U形管中液体的密度,g是重力加速度的大小.由式得00ln(1)ln(1)ln(1)ifihhhhhh+=+-+利用近似关系式:1,ln(1)xxx+当,以及00/1,/1ifhhhh,有第31届全国中学生物理竞赛复
6、赛试题及答案第31届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案000/iiififhhhhhhhhh=-评分标准:此题16分式各2分解法二:若仅考虑留在容器内的气体:它首先经历了一个绝热膨胀经过ab,再通过等容升温经过bc到达末态100000(,)(,)(,)?ifpVTpVTpVT绝热膨胀ab等容升温bc其中,100000(,),(,)ifpVTpVTpVT)和(分别是留在瓶内的气体在初态、中间态和末态的压强、体积与温度留在瓶内的气体先后知足绝热方程和等容经过方程1100ab:-=ipTpT00bc:/=fpTpT由式得1/0fiipppp?=?此即lnlniifpppp=由力学平衡条件有0iippg
7、h=+0ffppgh=+式中,00pgh=为瓶外的大气压强,是U形管中液体的密度,g是重力加速度的大小由式得00ln(1)ln(1)ln(1)ifihhhhhh+=+-+利用近似关系式:1,ln(1)xxx+当,以及00/1,/1ifhhhh,有000/iiififhhhhhhhhh=-评分标准:此题16分式各3分,式各2分三、20分1平板遭到重力CP、拉力0MQ、铰链对三角形板的作用力NA和NB,各力及其作用点的坐标分别为:C(0,sin,cos)?=-mgmgP,(0,0,)h;0M(0,0)Q=Q,00(,0,)xz;AAAA(,)xyzNNN=N,(,0,0)2b;BBBB(,)xyz
8、NNN=N,(,0,0)2b-式中第31届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案第31届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案22134bha=-是平板质心到x轴的距离.平板所受力和对O点的力矩的平衡方程为ABx0=+=xxFNNABsin0?=+-=yyyFQNNmgABcos0?=+-=zzzFNNmg0sin0xMmghQz?=-?=BA022=-=yzzbbMNN0AB022zyybbMQxNN=?+-=联立以上各式解得sinmghQz?=,ABxxNN=-,000sin21()2AymghbxNbzz?=-+?,000sin21()2BymghbxNbzz?=-?AB1cos2zzNNmg?=即
9、0M0sin(0,0)mghz?=Q,0AA002sin1(,1(),cos)22xxmghbNmgbzz?=-+?N,0BA002sin1(,1(),cos)22xxmghbNmgbzz?=-?N2假如希望在M(,0,)xz点的位置从点000M(,0,)xz缓慢改变的经过中,能够使铰链支点对板的作用力ByN保持不变,则需sin21()2BymghbxNbzz?=-=?常量M点移动的起始位置为0M,由式得00022-=-bxbxzzzz?或00022bxbxzzz?-=-?这是过A(,0,0)2b点的直线.(*)第31届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案第31届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案因
10、而,当力MQ的作用点M的位置沿通过A点任一条射线(不包含A点)在平板上缓慢改变时,铰链支点B对板的作用力ByN保持不变.同理,当力MQ的作用点M沿通过B点任一条射线在平板上缓慢改变时,铰链支点A对板的作用力AyN保持不变.评分标准:此题20分第1问14分,式1分,式各2分,式各1分;第2问6分,?式各1分,(*)2分,结论正确2分.四、24分1考虑小球沿径向的合加速度.如图,设小球下滑至角位置时,小球相对于圆环的速率为v,圆环绕轴转动的角速度为此时与速率v对应的指向中心C的小球加速度大小为21aR=v同时,对应于圆环角速度,指向OO轴的小球加速度大小为2(sin)sinRaR=该加速度的指向中
11、心C的分量为22(sin)sinRaaR=该加速度的沿环面且与半径垂直的分量为23(sin)coscotRaaR=由式和加速度合成法则得小球下滑至角位置时,其指向中心C的合加速度大小为2212(sin)v=+=+RRaaaRR在小球下滑至角位置时,将圆环对小球的正压力分解成指向环心的方向的分量N、垂直于环面的方向的分量T.值得指出的是:由于不存在摩擦,圆环对小球的正压力沿环的切向的分量为零.在运动经过中小球遭到的作用力是N、T和mg.这些力可分成互相垂直的三个方向上的分量:在径向的分量不改变小球速度的大小,亦不改变小球对转轴的角动量;沿环切向的分量即sinmg要改变小球速度的大小;在垂直于环面
12、方向的分量即T要改变小球对转轴的角动量,其反作用力将改变环对转轴的角动量,但与大圆环沿OO轴的竖直运动无关.在指向环心的方向,由牛顿第二定律有22(sin)cosRRNmgmamR+=v合外力矩为零,系统角动量守恒,有202(sin)LLmR=+式中L0和L分别为圆环以角速度0和转动时的角动量如图,考虑右半圆环相对于轴的角动量,在角位置处取角度增量?,圆心角?所对圆弧l?的质量为ml?=?02mR,其角动量为2sinLmrlrRRrzRS?=?=?=?=?式中r是圆环上角位置到竖直轴OO的距离,S?为两虚线间窄条的面积式讲明,圆弧l?的角动量与S?成正比.整个圆环两个半圆环的角动量为22001
13、22222mRLLRmRR=?=?=或:由转动惯量的定义可知圆环绕竖直轴OO的转动惯量J等于其绕过垂直于圆环平面的对称轴的转动惯量的一半,即2012JmR=则角动量L为CR?z?lr第31届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案第31届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案2012LJmR=同理有200012LmR=力N及其反作用力不做功;而T及其反作用力的作用点无相对移动,做功之和为零;系统机械能守恒.故22012(1cos)2(sin)2kkEEmgRmR-+?-=?+v?式中0kE和kE分别为圆环以角速度0和转动时的动能圆弧l?的动能为222111()sin222kEmrlrRRS?=?=?=?整个
14、圆环两个半圆环的动能为22220011222224kkmREERmRR=?=?=?或:圆环的转动动能为22202024kEJmR=?同理有2200014kEmR=?根据牛顿第三定律,圆环遭到小球的竖直向上作用力大小为2cosN,当02cosNmg?时,圆环才能沿轴上滑由?式可知,?式可写成2220000220cos6cos4cos102(4sin)?-+-?+?mRmmmmgmm?式中,g是重力加速度的大小.2此时由题给条件可知当=30?时,?式中等号成立,即有220000203923124()mRmmmgmm?-+=-?+?或00000(9312)232()3(2)mmgmmmmmmR-+=
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