什么是数学模型与数学建模.pdf
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1、什么是数学模型与数学建模什么是数学模型与数学建模数学模型就是对实际问题的一种数学表述。具体一点说:数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。更确切地说: 数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标, 根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设, 运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式,算法、表格、图示等。数学建模就是建立数学模型, 建立数学模型的过程就是数学建模的过程 (见数学建模过程流程图) 。数学建模是一种数学的思考方法, 是运用数学的语言和方法, 通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。美国大学生数学建模竞赛的由
2、来:1985 年在美国出现了一种叫做 MCM 的一年一度大大学生数学模型(1987 年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为 MCM) 。这并不是偶然的。在 1985 年以前美国只有一种大学生数学竞赛(TheWilliam Lowell Putnam mathematical Competition,简称 Putman(普特南)数学竞赛) ,这是由美国数学协会(MAA-即 Mathematical Association of America的缩写)主持,于每
3、年12月的第一个星期六分两试进行, 每年一次。在国际上产生很大影响, 现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2 月或 3 月进行。我国自 1989 年首次参加这一竞赛,历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明,中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开,1990 年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛(简称 CMCM) ,该项赛事每年 9 月进行。数学模型竞赛与通常的数学竞赛不同, 它来自实际问题或有明确的实际背景。 它的宗旨是培养大学生用数学方法解决实际问题的意识和能力, 整个赛事是完成一篇包括问题的阐述分析,模型
4、的假设和建立,计算结果及讨论的论文。通过训练和比赛, 同学们不仅用数学方法解决实际问题的意识和能力有很大提高, 而且在团结合作发挥集体力量攻关, 以及撰写科技论文等方面将都会得到十分有益的锻炼。数学建模方法数学建模方法一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。1. 比例分析法-建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。2. 代数方法-求解离散问题(离散的数据、符号、图形)的主要方法。3. 逻辑方法-是数学理论研究的重要方法,对社会学和经济学等领域的实际问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用。4. 常微分方程-解决两个变量之间的变化规律,关键是建立瞬时变化率的表达式。5. 偏微
5、分方程-解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。二、数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型。1. 回归分析法-用于对函数 f(x)的一组观测值(xi, fi)i=1,2n ,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法。2. 时序分析法-处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法。3. 回归分析法-用于对函数 f(x)的一组观测值(xi, fi)i=1,2n ,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法。4. 时序分析法-处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法。三、仿真和其他方法1. 计算机仿真(模拟)-实质上是统计估计方法,等效于抽
6、样试验。 离散系统仿真-有一组状态变量。 连续系统仿真-有解析表达式或系统结构图。2. 因子试验法-在系统上作局部试验,再根据试验结果进行不断分析修改,求得所需的模型结构。3. 人工现实法-基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标,并考虑到系统有关因素的可能变化,人为地组成一个系统。(参见:齐欢数学模型方法,华中理工大学出版社,1996)数学建模竞赛缘何受大学生青睐新闻背景二 六高教社杯全国大学生数学建模竞赛于去年的九月十五日至十九日举行,来自全国三十个省(市、自治区)和香港特区八百六十四所高校的九千九百八十五队参加了比赛。江南大学王艳等同学组成的参赛队荣获最高奖高教社杯, 并有二百五十
7、个队获得全国一等奖,七百零二个队获得全国二等奖。去年十二月三十日在人民大会堂举行了颁奖仪式。去年的岁末, 京城正飘洒着入冬以来的第一场雪花, 而此时在人民大会堂新闻发布厅里却洋溢着青春的气息,来自全国的 200 多位同学和老师举行着全国大学生数学建模竞赛15周年庆典暨 2006 年高教社杯颁奖仪式。15 年的洗礼,15 年的历程,这项竞赛的规模以年均 25%以上的速度增长,成为目前全国高校规模最大的一项科技课外活动。这项竞赛可以说是一项“舶来品”。它最先是在 1985 年出现在美国。 1989 年在几位教师的组织和推动下,我国几所大学的学生开始参加美国的数学建模竞赛。经过两三年的参与,师生们都
8、认为这项竞赛有利于学生的全面发展, 也是推动数学建模教学在高校迅速发展的好形式。 1992 年由中国工业与应用数学学会组织了我国10 个城市的大学生数学模型联赛。 教育部领导及时发现并扶植、培育了这一新生事物,决定从1994 年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛,每年一届。师生们参赛的热情与日俱增。参赛校数从 1992 年的 79 所增加到 2006 年的 864 所;参赛队数从 1992 年的 314 队增加到 2006 年的 9985 队; 累计达 16 万多大学生 (53438 队) 。同时,还出现了学生自发组织的专业和地区性竞赛, 例如华东地区数学建
9、模竞赛、 苏北地区数学建模竞赛及电工数学建模竞赛等。 此外, 我国参加美国大学生数学建模竞赛的队伍也在壮大,从 1989 年的 3 校 4 队增加到 2006 年的 100 多所院校的 660 队(占 2006 年参赛队总数的 68%)。建模是数学走向应用的必经之路到底什么是数学建模呢?对此, 中科院院士、竞赛全国组委会主任李大潜告诉我们, 数学作为一门重要的基础学科和一种精确的科学语言, 是以一种极为抽象的形式出现的。 这种极为抽象的形式有时会掩盖数学丰富的内涵, 并可能对数学的实际应用形成障碍。 要用数学方法解决一个实际问题,不论这个问题是来自工程、经济、金融或是社会领域,都必须设法在实际
10、问题与数学之间架设一个桥梁, 首先要将这个实际问题化为一个相应的数学问题, 然后对这个问题进行分析和计算, 最后将所求得的解答回归实际, 看能不能有效地回答原先的实际问题。这个全过程,特别是其中的第一步,就称为数学建模, 即为所考察的实际问题建立数学模型。“显而易见,数学建模是数学走向应用的必经之路,在应用数学学科中占有特殊重要的地位。”李院士还列举了历史上一些沿用至今的著名数学建模。他说,公元前3 世纪欧几里德建立的欧氏几何学, 就是对现实世界的空间形式所提出的一个数学模型。 这个模型十分有效,后来虽然有各种重要的发展, 但仍一直使用至今。刻卜勒根据第谷的大量天文观测数据所总结出来的行星运动
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