二元泰勒展开ppt课件.ppt
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1、第九节第九节 二元函数的泰勒公式二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式三、极值充分条件的证明三、极值充分条件的证明一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出 ).10()()!1()()(!)()(2)()()()(1000)1(00)(200000 nnnnxxnxxxfxxnxfxxxfxxxfxfxf一元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式意义:可用意义:可用n次多项式来近似表达函数次多项式来近似表达函数)(xf,且,且误差是当误差是当0 xx 时比时比nxx)(0 高阶的无穷小高阶的无穷小 问题问题 能否用多个变量的多项式来近似能否用多个变量的多项式来
2、近似表达一个给定的多元函数,并能具体地估算出误表达一个给定的多元函数,并能具体地估算出误差的大小差的大小. .即即 设设),(yxfz 在点在点),(00yx的某一邻域内连续的某一邻域内连续且有直到且有直到1 n阶的连续偏导数阶的连续偏导数, , ),(00hyhx 为此邻域内任一点为此邻域内任一点, ,能否把函数能否把函数),(00kyhxf 近似地表达为近似地表达为00,yykxxh 的的n次多项式,次多项式,且误差是当且误差是当022 kh 时比时比n 高阶的无穷高阶的无穷小小 定定理理 设设),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某一一邻邻域域内内连连续续 且且 有有 直直 到到1
3、 n阶阶 的的 连连 续续 偏偏 导导 数数 , , ),(00hyhx 为为此此邻邻域域内内任任一一点点, ,则则有有 二、二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式)10(),()!1(1),(!1),(! 21),(),(),(00100002000000 kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfhyhxfnn其中记号其中记号),(00yxfykxh ),(),(0000yxkfyxhfyx 表示表示),(002yxfykxh 表示表示),(),(2),(00200002yxfkyxhkfyxfhyyxyxx 一般地一般地, ,记号记号表示表示),(00yxf
4、ykxhm .),(000yxpmpmpmpmppmyxpkhC 证证引入函数引入函数).10(),()(00 tktyhtxft显然显然),()0(00yxf ).,()1(00kyhxf 由由 的定义及多元复合函数的求导法则的定义及多元复合函数的求导法则, ,可得可得)(t ),(),(),()(000000ktyhtxfykxhktyhtxkfktyhtxhftyx ),(),(2),()(00200002ktyhtxfkktyhtxhkfktyhtxfhtyyxyxx ).,()(001),(111011)1(00ktyhtxfykxhyxpkhtnktyhtxpnpnnppnppnn
5、C 利用一元函数的麦克劳林公式,得利用一元函数的麦克劳林公式,得).10(),()!1(1)0(!1)0(! 21)0()0()1()1()( nnnn) ), ,( () )0 0( (0 00 0y yx xf f= =F F) ), ,( () )1 1( (0 00 0k ky yh hx xf f+ + += =F F将将, ,及及上面求得的上面求得的直到直到阶导数在阶导数在的值的值, ,以及以及在在) )( (t tF Fn n0 0= =t t) )( () )1 1( (t tn n+ +F Fq q= =t t的值代入上式的值代入上式. .即得即得)1(,),(!1),(!
6、21),(),(),(00002000000nnRyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxf 其中其中)2().10(),()!1(1001 kyhxfykxhnRnn证毕证毕 公公式式)1(称称为为二二元元函函数数),(yxf在在点点),(00yx的的n阶阶泰泰勒勒公公式式, ,而而nR的的表表达达式式)2(称称为为拉拉格格朗朗日日型型余余项项. . 由二元函数的泰勒公式知由二元函数的泰勒公式知, , nR的绝对值在的绝对值在点点),(00yx的某一邻域内都不超过某一正常数的某一邻域内都不超过某一正常数M. .于是于是, ,有下面的误差估计式有下面的误差估计式: : )3(
7、,!12sincos!1!111111 nnnnnnMnnMkhnMR 其中其中.22kh 由由)3(式式可可知知, ,误误差差nR是是当当0 时时比比n 高高阶阶的的无无穷穷小小. . 当当0 0= =n n时时, ,公式公式) )1 1( (成为成为),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx 上式称为上式称为二元函数的拉格朗日中值公式二元函数的拉格朗日中值公式. .推 论推 论 如 果 函 数如 果 函 数),(yxf的 偏 导 数的 偏 导 数),(yxfx, ,),(yxfy在某一邻域内都恒等于零在某一邻域内都恒等于零, ,则函则函数数),(y
8、xf在该区域内为一常数在该区域内为一常数. . 在泰勒公式在泰勒公式)1(中中, ,如果取如果取0, 000 yx, ,则则)1(式成为式成为n阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式. . ),()!1(1)0 , 0(!1)0 , 0(! 21)0 , 0()0 , 0(),(12yxfyyxxnfyyxxnfyyxxfyyxxfyxfnn )10( )5(例例 1 1求函数求函数)1ln(),(yxyxf 的三阶麦的三阶麦克劳林公式克劳林公式. . 解解,11),(),(yxyxfyxfyx ,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx ,)1(! 2333yxyxfpp ),3
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