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1、数学归纳法数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。主要有主要有两个步骤、一个结论两个步骤、一个结论: : (1 1)证明当)证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0(如(如 n n0 0=1=1或或2 2等)时结论正确等)时结论正确(2 2)假设)假设n=k (kNn=k (kN , 且且k nk n0 0) )时结论正确,时结论正确, 证明证明n=k+1n=k+1时结论也正确时结论也正确 由(由(1 1)、()、(2 2)得出结论正确)得出结论正确( (命题成立命题成立) )。找准起点找准起点奠基要稳奠基要稳用上假设用上假设递推才
2、真递推才真写明结论写明结论才算完整才算完整回顾:数学归纳法的概念回顾:数学归纳法的概念下面的框图表示了数学归纳法的基本过程:下面的框图表示了数学归纳法的基本过程:(1)验证:)验证:n=n0(n0N+)时命题成立。时命题成立。(2)证明:假设)证明:假设n=k(kn0)时命题成立,)时命题成立,则则n=k+1时命题也成立。时命题也成立。结论:对所有的结论:对所有的n (n0N+, nn0)命题成立)命题成立奠基奠基假设与假设与递推递推回顾练习:回顾练习:2 2、某个命题与自然数某个命题与自然数n 有关有关, 如果当如果当n = k ( kN+ ) 时该时该命题成立命题成立 , 那么可推得当那么
3、可推得当n = k + 1 时该命题也成立时该命题也成立. 现在现在已知已知n = 5 时该命题不成立时该命题不成立, 那么请判断以下各命题的正那么请判断以下各命题的正确性:确性: (1) n = 4 时该命题不成立时该命题不成立; (2) n = 6 时该命题不成立时该命题不成立; (3) n = 1 时该命题可能成立时该命题可能成立; (4) n = 6 时该命题可能成立时该命题可能成立. 如果如果n = 6 时该命题成立时该命题成立, 那那么对于任意么对于任意n6 , 该命题都成立该命题都成立. (1) (4) 正确正确 , (2 ) (3) 不正确不正确. Nnnnnnnn,12312
4、121 1. .用数学归纳法证明:用数学归纳法证明:“”在验证在验证n=1n=1成立时,左边计算所得的结果是成立时,左边计算所得的结果是211-221121KKKkkk212111分析:分析:(1)观察)观察Sk和和Sk+1(2)从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1项数上有什么变化项数上有什么变化, ,多了哪些项多了哪些项, , 少了哪些项呢少了哪些项呢? ?(k+1)(k+1)和和(k+2) (k+2) 2k 2k和和2k+22k+21)1)各项分母都是连续的自然数各项分母都是连续的自然数2)2)第一项的分母分别是第一项的分母分别是 3)3)最后一项的分母分别是最后一项的分母分别是 3
5、3、设设Sk ,那么那么Sk+1Sk 4.如下用数学归纳法证明对吗?如下用数学归纳法证明对吗?21证明:证明:当当n=1时,左边时,左边右边右边等式成立。等式成立。设设n=k时,有时,有那么,当那么,当n=k+1时,有时,有即即n=k+1时,命题成立。时,命题成立。根据根据可知,对可知,对nN,等式成立,等式成立。nn)21(2121212132-1证:211kk)21(12121212132-211211)21(1 21212121211112kkkk)(注意注意:用上假设递推才真第二步证明中没有用到假设,这不是数学归纳法证明。第二步证明中没有用到假设,这不是数学归纳法证明。既然不对,如何改
6、正?既然不对,如何改正?1111132)21( -121)21(2121)21(12121212121kkkkkkk-数学归纳法证题三注意:数学归纳法证题三注意:1. n n0 0不一定等于不一定等于1 2.项数不一定只增加一项。项数不一定只增加一项。 3.一定要用上假设一定要用上假设5、证明:、证明:1+2+22+2n-1=2n-1 (nN*)证明证明:(1)当当n=1时时,左边左边=1,右边右边=1,等式是成立的。等式是成立的。 (2)假设当假设当n=k时等式成立,即是时等式成立,即是 1+2+22+2k-1=2k-1 则当则当n=k+1时,时, 1+2+22+2k-1+2k=2k-1+
7、2k =22k-1 =2k+1-1 这就是说,当这就是说,当n=k+1时,等式也成立。时,等式也成立。 因此因此,根据根据(1)和和(2)可断定可断定,等式对于任何等式对于任何nN*都成立。都成立。6. .用数学归纳法证明用数学归纳法证明 1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) )2n)(1n( n31+ 从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么变化有什么变化用假设用假设凑结论凑结论证明证明:2)假设假设n=k时命题成立时命题成立,即即122334k(k+1)2)(1(31kkk)2)(1() 1(.4332211kkkkkn时,左边则当)2)(1()2)(1(31k
8、kkkk)3)(2)(1(31kkk n=k+1时命题正确。时命题正确。 由由(1)和和(2)知,当知,当 ,命题正确,命题正确。Nn右边2) 1(1) 1)(1(31kkk1)当当n=1时,左边时,左边=12=2,右边右边= =2. 命题成立命题成立1 111223 33 3用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项:用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项: 明确初始值明确初始值n0并验证真假。(必不可少)并验证真假。(必不可少) “假设假设n=k时命题正确时命题正确”并写出命题形式。并写出命题形式。分析分析“n=k+1时时”命题是什么,并找出与命题是什么,并找出与“n=k”时时命题形式的差别命
9、题形式的差别,弄清左端应增加的项。弄清左端应增加的项。明确等式左端变形目标,掌握恒等式变形常用的明确等式左端变形目标,掌握恒等式变形常用的方法:方法:乘法公式、因式分解、添拆项、配方乘法公式、因式分解、添拆项、配方等,等, 并一定要用上假设。并一定要用上假设。 数学归纳法是一种完全归纳法数学归纳法是一种完全归纳法 ,它是在可靠的基它是在可靠的基础上,利用命题自身具有的传递性,运用础上,利用命题自身具有的传递性,运用“有限有限”的的手段,来解决手段,来解决“无限无限”的问题。它克服了完全归纳法的问题。它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点,又克服了不完全归纳法结论的繁杂、不可行的缺点,又克服了不
10、完全归纳法结论不可靠的不足,使我们认识到事情由简到繁、由特殊不可靠的不足,使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷到一般、由有限到无穷。 数学归纳法的核心思想数学归纳法的核心思想作业分析作业分析:课本作业课本作业 p50. 习题习题4. 1 1,2 补充作业补充作业: :用数学归纳法证明用数学归纳法证明: : ,已知函数)(, 1;22)().3(1 -1nnxfxxxxxf), 2(Nnn并用数学归纳法证明。猜测;)求nxxxx)2,14322) 1() 1() 1(4321).1 (1 -n21222nnnn-nnnnn212111211214131211).2 (-)(Nn)
11、(Nn补充作业答案补充作业答案 (1)、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明证明证明: (1)当当n=1n=1时,左边时,左边=1,=1,右边右边= =1. = =1. 命题成立命题成立 )221() 1-(1-n2) 1() 1(1kkk-2) 1() 1(kk-则当则当 n=k+1n=k+1时时, , 2 22 22 22 2k k- -1 12 21 1 - -2 2 + +3 3 - -4 4 + + +( (- -1 1) )k kk2k2+(-1)(k+1)+(-1)(k+1)2)2)(1() 1(kkk-提出什提出什么么 好呢好呢? ?注意结论的注意结论的形式形式 2) 1() 1
12、() 1(43211 -21222nnnnn-2 1) 1)(1() 1(1)1(kkk- n=k+1 n=k+1时命题正确。时命题正确。 由由(1)(1)和和(2)(2)知,当知,当 ,命题正确。,命题正确。 +Nn(2)(2)假设假设n=kn=k时命题正确,即时命题正确,即 2) 1() 1() 1 - (43211 -21222kkkkk-)222)(1() 1(kkkk-nnnnn21211121-12141-3121-1(2)求证求证:当当 时时,证明证明: ) 1(21-11121213121kkkkkk121121213121kkkkk1211-1212-121211111kkk
13、kk n=k+1时命题正确。时命题正确。 由由(1)和和(2)知,当知,当 ,命题正确,命题正确。Nn(1)当当n=1时,左边时,左边=2121-1;右边右边21=左边左边=右边,右边,n=1时,命题成立时,命题成立。(2)假设假设n=k时命题正确,即时命题正确,即: kkkkk21211121-12141-3121-1-当当n=k+1时时, 左边左边= kk211-2141-3121-1-) 1(21-1-) 1(21kkkkk212111221-121kkNn数学归纳法应用举例数学归纳法应用举例1用数学归纳法证明整数用数学归纳法证明整数(整式整式)整除问题;整除问题;2用数学归纳法证明一些
14、简单的几何问题用数学归纳法证明一些简单的几何问题 了解数学归纳法应用的广泛性,了解数学归纳法应用的广泛性,进一步掌握数学归纳法的证明步骤进一步掌握数学归纳法的证明步骤整除。能够被证明:例6)(5. 13Nnnn练习练习:用数学归纳法证明:用数学归纳法证明:34n+252n+1能被能被14整除整除证明:证明:(i)当当n1时,时,341+2521+17541416,当当n1时,时,34n+252n+1能被能被14整除整除(ii)设设nk(k1,kN*)时,时,34k+252k+1能被能被14整除整除那么当那么当nk1时时34(k+1)+252(k+1)+134k+23452k+152 8134k
15、+22552k+1(2556)34k+22552k+1 25(34k+252k+1)5634k+2 (34k+252k+1)能被能被14整除,整除,56能被能被14整除整除 34n+252n+1能被能被14整除即整除即nk1时,命题成立时,命题成立 根据根据(i)、(ii)可知可知, 34n+252n+1能被能被14整除整除例例2.平面上有平面上有 个点,其中任何三个点,其中任何三点都不在同一条直线上。过这些点中任意两点作点都不在同一条直线上。过这些点中任意两点作直线,这样的直线共有多少条?证明你的结论。直线,这样的直线共有多少条?证明你的结论。)3,(nNnn 变式:变式:平面内有平面内有n
16、(n2)条直线,其中任何两条条直线,其中任何两条不平行不平行,任何三条不过同一点任何三条不过同一点,证明这证明这n条直线条直线的交点的个数为的交点的个数为:).1(21)(nnnf数学归纳法综合应用数学归纳法综合应用,1)2(,1)( :分析1221211222nnnnfxfxxx的大小,与2试比较),),已知 . 3例*1122g(n)f(N(ng(nf(x)nnxxxxnnnn并说明理由并说明理由. .的大小。与2的大小既比较)(与)2(比较2nngfn例例4 .设),(113121Nnann是否存在 的整式 ,n)(ng使得等式) 1()(1321nnangaaaa对大于1的一切自然数
17、都成立?并证明你的结论.n1.课本作业 p50. 习题4. 1 第4,5,6题 ;作业:作业:)(证明:*1) 1(1321211. 2Nnnnnn.2)(:,. 42个部分个圆把平面分成这求证于同一点并且每三个圆都不相交两点其中每两个圆都相交于个圆平面上有nnnfnn3. 用数学归纳法证明用数学归纳法证明: 能被能被8 整除整除.)( 1325*1NnAnnn例例.用数学归纳法证明用数学归纳法证明:当当n为正偶数时为正偶数时,xn-yn能被能被x+y 整除整除.证证:(1)当当n=2时时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被即能被x+y整除整除,故命故命 题成立题成立.(2)假设当假设当
18、n=2k时时,命题成立命题成立,即即x2k-y2k能被能被x+y整除整除.则当则当n=2k+2时时,有有kkkkyyxxyx22222222)()()()(2222222222yxyxyyxxyxyyxxkkkkkk 都能被都能被x+y整除整除.)()(2222yxyxyyxxkkk、故故x2k+2-y2k+2能被能被x+y整除整除,即当即当n=2k+2时命题成立时命题成立.由由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立知原命题对一切正偶数均成立.变式:求证变式:求证: :( (n+1)(n+2)n+1)(n+2)(n+n)=2(n+n)=2n n 1 1 3 3 (2n-1)(2n-1)证明:
19、证明: n=1 n=1时:左边时:左边=1+1=2=1+1=2,右边,右边=2=21 11=21=2,左边,左边= =右边,等右边,等 式成立。式成立。 假设当假设当n=k(kN n=k(kN )时有:)时有: (k+1)(k+2)(k+1)(k+2)(k+k)=2(k+k)=2k k 1 1 3 3 (2k-1), (2k-1), 当当n=k+1n=k+1时:时: 左边左边=(k+2)(k+3)=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)(k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)(k+k) = 2 = 2k k 1 1 3 3(2k-1)(2k+1)(2k-1)(2k+1)2 2 = 2 = 2k+1k+11 1 3 3 (2k-1) (2k-1) 2(k+1)-1=2(k+1)-1=右边,右边, 当当n=k+1n=k+1时等式也成立。时等式也成立。 由由 、可知,对一切可知,对一切nN ,nN ,原等式均成立。原等式均成立。 (2k+1)(2k+2)k+1
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