(浙江专版)2019版高考数学大一轮复习 第七章 数列与数学归纳法 第6节 数学归纳法学案 理.pdf
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1、第第 6 6 节节数学归纳法数学归纳法最新考纲1。了解数学归纳法的原理;2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题知 识 梳 理1数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N N )时命题成立;(2)(归纳递推)假设nk(kn0,kN N )时命题成立,证明当nk1 时命题也成立只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立2数学归纳法的框图表示*常用结论与微点提醒1数学归纳法证题时初始值n0不一定是 1.2推证nk1 时一定要用上nk时的假设,否则不是数学归纳法诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1
2、)用数学归纳法证明等式“122 222 2 。()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用()232n22n31”,验证n1 时,左边式子应为 1(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由nk到nk1 时,项数都增加了一项()解析对于(2),有些命题也可以直接证明;对于 (3),数学归纳法必须用归纳假设;对于(4),由nk到nk1,有可能增加不止一项答案(1)(2)(3)(4)2(选修 22P99B1 改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为错误错误! !n(n3)条时,第一步检验n等于()A1 B2 C3 D4解析三
3、角形是边数最少的凸多边形,故第一步应检验n3。答案C3已知f(n)错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !,则()Af(n)中共有n项,当n2 时,f(2)错误错误! !错误错误! !Bf(n)中共有n1 项,当n2 时,f(2)错误错误! !错误错误! !错误错误! !Cf(n)中共有nn项,当n2 时,f(2)错误错误! !错误错误! !Df(n)中共有nn1 项,当n2 时,f(2)错误错误! !错误错误! !错误错误! !解析f(n)共有nn1 项,当n2 时,错误错误! !错误错误! !,错误错误! !错误错误! !,故f(2)错误错误! !错误错误! !错误错误!
4、!。222答案D4(2018台州月考)用数学归纳法证明 1错误错误! !错误错误! !错误错误! !1),第一步要证的不等式是_解析当n2 时,式子为 1错误错误! !错误错误! !2。答案1错误错误! !错误错误! !错误错误! !成立(1)解由题意,Snbr,当n2 时,Sn1bn1n*xr,所以anSnSn1bn1(b1),由于b0,且b1,所以n2 时,an是以b为公比的等比数列,又a1br,a2b(b1),错误错误! !b,即错误错误! !b,解得r1.(2)证明由(1)知an2错误错误! !.n1,因此bn2n(nN N ),所证不等式为错误错误! !错误错误! !错误错误! !*
5、当n1 时,左式错误错误! !,右式错误错误! !,左式右式,所以结论成立假设nk时结论成立,即错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !,21则当nk1 时,错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !,2要证当nk1 时结论成立,只需证错误错误! !错误错误! !,即证错误错误! !错误错误! !,由基本不等式可得错误错误! !错误错误! !错误错误! !成立,故错误错误! !错误错误! !成立,所以当nk1 时,结论成立由可知,nN N 时,不等式错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !成立规律方法应用数学归纳法证明不
6、等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立,推证nk1 时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法1【训练 2】 (2018宁波十校适应性考试)已知数列an(nN N ),满足a11,2an1an2错误错误! !。(1)求证:错误错误! !an1an;(2)设数列an(nN N )的前n项和为Sn,证明:Sn错误错误! !。n1 时,2a2错误错误! !错误错误! !,a2错误错误! !错误错误! !错误错误! !,结论成立,2假
7、设nk时,结论成立,即ak1 ,3则nk1 时,2ak2错误错误! !ak1错误错误! !错误错误! !1错误错误! !,ak2错误错误! !,即nk1 时,结论成立,2an1 ,an1an错误错误! !an错误错误! !错误错误! !3错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !0。错误错误! !an1an;(2)问题等价于证明Sn错误错误! !错误错误! !,即错误错误! !(ai错误错误! !)错误错误! !,2设bnan ,则b1错误错误! !,2an1错误错误! !an错误错误! !可化为 2bn1错误错误! !bn
8、错误错误! !1,3错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !,bn错误错误! !错误错误! !错误错误! !,Sn错误错误! !错误错误! !错误错误! !,Sn1 时,对x(0,a1有(x)0,(x)在(0,a1上单调递减,(a1)0,使(x)0,ln(1x)ax1x不恒成立,综上可知,实数a的取值范围是(,1(3)由题设知g(1)g(2)g(n)错误错误! !错误错误! !错误错误! !,1),猜想结果为g(1)g(2)g(n)nln(n1)nf(n)nln(n证明如下:上述不等式等价于错误错误! !错误错误! !错误错误! !x1x,x0。令x错误错误! !
9、,nN N ,则错误错误! !ln错误错误! !。下面用数学归纳法证明当n1 时,错误错误! !ln 2,结论成立假设当nk时结论成立,即错误错误! !错误错误! !错误错误! !ln(k1)那么,当nk1 时,错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !ln(k1)错误错误! !错误错误! !(n2,nN N )”的过程中,由“nk变到“nk1”时,左边增加了()A1 项Bk项C2k1*项 D2 项kk解析左边增加的项为错误错误! !错误错误! !错误错误! !共 2 项,故选 D.答案D5对于不等式错误错误! !n1(nN N ),某同学用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n1
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