2022年第一讲—分式分式方程 .pdf
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1、优秀学习资料欢迎下载第一、二讲分式、分式方程【知识梳理】1.分式的定义:如果 A、B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子BA叫做 分式 。2.分式有意义条件:分式的分母不等于 0;3.分式值为零的条件:当分式的分子等于0 且分母不等于0 时,分式的值为0。(分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的,所以使分式AB为 0 的条件是A0,且 B 0. )4.分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0 的整式,分式的值不变。用式子表示为(0C) ,其中 A、B、C 是整式注意:(1)“C是一个不等于0 的整式 ” 是分式基本性质的一个制约条件;(2)应用分式的基本性质时,要
2、深刻理解“ 同” 的含义,避免犯只乘分子(或分母)的错误;(3)若分式的分子或分母是多项式,运用分式的基本性质时,要先用括号把分子或分母括上,再乘或除以同一整式 C;(4)分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。5.分式的通分:和分数类似,利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把几个异分母分式化成相同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分 。通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时,通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母,这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点:(1) “ 各分母所有因式的最高次幂” 是指凡出现的字母(
3、或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;(2)如果各分母的系数都是整数时,通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;(3)如果分母是多项式,一般应先分解因式。6.分式的约分:和分数一样,根据分式的基本性质,约去分式的分子和分母中的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分 。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式,这样的分式叫最简公因式。约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时,通常将分子、分母分解因式,然后再约分;(2)找公因式的方法: 当分子、分母都是单项式时,先找分子、分母系数的最大公约数,
4、再找相同字母的最低次幂,它们的积就是公因式;当分子、分母都是多项式时,先把多项式因式分解。易错点:(1)当分子或分母是一个式子时,要看做一个整体,易出现漏乘(或漏除以);( 2) 在式子变形中要注意分子与分母的符号变化,一般情况下要把分子或分母前的“” 放在分数线前;( 3)确定几个分式的最简公分母时,要防止遗漏只在一个分母中出现的字母;7.分式的运算:分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。分式除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。用式子表示是:;a cac aca dadb dbd bdb cbcCBCABACBCABA精选学习
5、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页优秀学习资料欢迎下载提示: (1)分式与分式相乘,若分子、分母是单项式,可先将分子、分母分别相乘,然后约去公因式,化为最简分式;若分子、分母是多项式,先把分子、分母分解公因式,看能否约分,然后再相乘;(2)当分式与整式相乘时,要把整式与分式的分子相乘作为积的分子,分母不变(3)分式的除法可以转化为分式的乘法运算;(4)分式的乘除混合运算统一为乘法运算。分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同,即按照从左到右的顺序,有括号先算括号分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理,可
6、先确定积的符号;分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式(分式的分子、分母没有公因式)或整式的形式。分式乘方法则: 分式乘方要把分子、分母各自乘方。 用式子表示是:()nnnaabb(其中 n 是正整数)注意: (1)乘方时,一定要把分式加上括号;(2)分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同,即正分式的任何次幂都为正;负分式的偶次幂为正,奇次幂为负;(3)分式乘方时,应把分子、分母分别看做一个整体;(4)在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时,应先算乘方,再算乘除,有多项式时应先分解因式,再约分。分式的加减法则:法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。用式子表示为:a
7、bcba cb法则:异分母的分式相加减,先通分,转化为同分母分式,然后再加减。用式子表示为:abcdadbdbcbdad bcbd注意: (1)“ 把分子相加减 ” 是把各个分子的整体相加减,即各个分子应先加上括号后再加减,分子是单项式时括号可以省略;(2)异分母分式相加减,“ 先通分 ” 是关键,最简公分母确定后再通分,计算时要注意分式中符号的处理,特别是分子相减,要注意分子的整体性;(3)运算时顺序合理、步骤清晰;(4)运算结果必须化成最简分式或整式。分式的混合运算: 分式的混合运算,关键是弄清运算顺序,与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号要先
8、算括号里面的,计算结果要化为整式或最简分式。8. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1, 即)0(10aa;当 n 为正整数时,nnaa1()0a注意:当幂指数为负整数时,最后的计算结果要把幂指数化为正整数。9. 整数指数幂:若 m、 n为正整数, a 0,am amnamam.an1an又因为 am amnammnan,所以 an1an一般地,当n 是正整数时,an1an(a0 ) ,即 an(a0 )是 an的倒数,这样指数的取值范围就推广到全体整数。整数指数幂可具有下列运算性质:(m,n 是整数 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
9、第 2 页,共 7 页优秀学习资料欢迎下载(1)同底数的幂的乘法:nmnmaaa;(2)幂的乘方:mnnmaa )(; (3)积的乘方:nnnbaab)(;(4)同底数的幂的除法:nmnmaaa( a 0);(5)商的乘方:nnnbaba)(;(b 0)规定: a0 1(a0 ) ,即任何不等于0 的零次幂都等于1. 10. 分式方程: 含分式,并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。分式方程的解法:(1)解分式方程的基本思想方法是:分式方程 整式方程 . (2)解分式方程的一般方法和步骤:去分母:即在方程的两边都同时乘以最简公分母,把分式方程化为整式方程,依据是等式的基本性质;解这个整式方程;
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