2022年空间向量与立体几何知识点归纳总结 .pdf
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1、学习必备欢迎下载一对一授课教案学员姓名:年级:所授科目:上课时间:年月日时分至时分共小时老师签名学生签名教学主题空间向量与立体几何上次作业检查本次上课表现本次作业一知识要点。1. 空间向量的 概念 :在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。注: (1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。(2)向量具有 平移不变性2. 空间向量的 运算 。定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。OBOAABab;BAOAOBab;()OPaR运算律: 加法交换律:abba加法结合律:)()(cbacba数乘分配律:baba)(运算法则 :三角形法则、平行
2、四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,a平行于b,记作ba/。(2)共线向量定理:空间任意两个向量a、b(b0) ,a/b存在实数 ,使ab。(3)三点共线 :A、B、C 三点共线 ACAB) 1(yxOByOAxOC其中(4)与a共线的单位向量为aa4. 共面向量(1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明:空间任意的两向量都是共面的。(2)共面向量定理:如果两个向量,a b不共线,p与向量,a b共面的条件是存在实数, x y使pxayb。(3)四点共面:若A、B、C、P四点共
3、面 ACyABxAP)1(zyxOCzOByOAxOP其中5. 空间向量基本定理: 如果三个向量,a b c不共面,那么对空间任一向量p, 存在一个唯一的有序实数组, ,x y z,使pxaybzc。若三向量, ,ab c不共面,我们把, , a b c叫做空间的一个基底,, ,a b c叫做基向量,空间任意三个不共面的向精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页学习必备欢迎下载量都可以构成空间的一个基底。推 论 : 设,O A B C是 不 共 面 的 四 点 , 则 对 空 间 任 一 点P, 都 存 在 唯 一 的 三
4、 个 有 序 实 数, ,x y z, 使OPxOAyOBzO C。6. 空间向量的直角坐标系:(1)空间直角坐标系中的坐标:在空间直角坐标系Oxyz中,对空间任一点A,存在唯一的有序实数组( , , )x y z ,使zkyixiOA,有序实数组( , , )x y z叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,记作( , , )A x y z,x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标。注:点 A(x,y,z)关于 x 轴的 的对称点为 (x,-y,-z), 关于 xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反。在y 轴上的点设为 (0,y,0)
5、,在平面 yOz 中的点设为 (0,y,z)(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位 正交基底 ,用 , , i j k表示。空间中任一向量kzjyi xa=(x,y,z)(3)空间向量的直角坐标运算律:若123(,)aa a a,123( ,)bb b b,则112233(,)abab ab ab,112233(,)abab ab ab,123(,)()aaaaR,1 12233a baba ba b,112233/,()abab ab abR,1 1223 30ababa ba b。若111(,)A xy z,222(,)B xyz,则212121(,)ABxx
6、yy zz。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 定比分点公式 :若111(,)Axyz,222(,)B xyz,PBAP, 则点P坐 标为)1,1,1(212121zzyyxx。推导 :设 P (x,y,z)则),(),(22211, 1zzyyxxzzyyxx,显然,当 P为 AB 中点时,)2,2,2(212121zzyyxxP),(),(,333222111zyxCzyxB)zy,A(xABC中,三角形重心P坐标为)2,2,3(321321321zzzyyyxxxPABC的五心 :内心 P:内切圆的圆心,角平分线的交点。)(ACACABAB
7、AP(单位向量)外心 P:外接圆的圆心,中垂线的交点。PCPBPA垂心 P:高的交点:PCPBPCPAPBPA(移项,内积为0,则垂直)重心 P:中线的交点,三等分点(中位线比))(31ACABAP中心:正三角形的所有心的合一。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页学习必备欢迎下载(4)模长公式 :若123(,)aa a a,123(,)bb b b,则222123|aa aaaa,222123|bb bbbb(5)夹角公式:1 1223 3222222123123cos| |aba ba ba ba babaaabbb
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