2022年线性代数期末试题及参考答案 .pdf
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1、1 / 8 线性代数期末试卷及参考答案一、单项选择题(每小题3 分,共 15 分)1下列矩阵中,()不是初等矩阵。(A)001010100 (B)100000010 (C) 100020001(D) 1000120012设向量组123,线性无关,则下列向量组中线性无关的是()。(A)122331,(B)1231,(C)1212,23(D )2323,23设 A 为 n 阶方阵,且250AAE。则1(2 )AE() (A) AE (B) EA (C) 1()3AE (D) 1()3AE4设A为nm矩阵,则有()。(A)若nm,则bAx有无穷多解;(B)若nm,则0Ax有非零解,且基础解系含有mn
2、个线性无关解向量;(C )若 A有 n阶子式不为零,则bAx有唯一解;(D )若 A有 n阶子式不为零,则0Ax仅有零解。5若 n 阶矩阵 A,B 有共同的特征值,且各有n 个线性无关的特征向量,则()(A)A与 B相似( B)AB,但|A-B|=0 (C )A=B (D)A与 B不一定相似,但 |A|=|B| 二、判断题 ( 正确填 T,错误填 F。每小题 2 分,共 10 分) 1A是 n阶方阵,R,则有AA。()2A,B是同阶方阵,且0AB,则111)(ABAB。()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页2 / 8
3、 3如果 A与 B 等价,则 A的行向量组与 B 的行向量组等价。 ( ) 4若BA,均为 n阶方阵,则当BA时,BA,一定不相似。 ( ) 5n维向量组4321,线性相关,则321,也线性相关。()三、填空题(每小题4 分,共 20 分)101210nn。2 A为 3 阶矩阵,且满足A3, 则1A=_,*3A。3向量组1111,2025,3247,4120是线性(填相关或无关)的,它的一个极大线性无关组是。4 已知123,是四元方程组Axb的三个解,其中 A的秩()R A=3,11234,234444,则方程组Axb的通解为。5设23111503Aa,且秩 (A)=2,则 a=。四、计算下列
4、各题(每小题9 分,共 45 分)。1已知 A+B=AB ,且121342122A,求矩阵 B。2. 设(1, 1, 1,1),( 1,1,1, 1),而TA,求nA。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页3 / 8 3. 已知方程组1123211232123xxaxxxxxaxxa有无穷多解,求a以及方程组的通解。4. 求一个正交变换将二次型化成标准型32312123222132184422),(xxxxxxxxxxxxf5 A,B 为 4 阶方阵, AB+2B=0,矩阵 B 的秩为 2 且| E+A|=|2 E- A
5、|=0 。(1)求矩阵 A 的特征值;( 2)A是否可相似对角化?为什么?;(3)求| A+3E| 。五证明题(每题5 分,共 10 分)。1若 A是对称矩阵, B 是反对称矩阵,ABBA是否为对称矩阵?证明你的结论。2设A为m n矩阵,且的秩()R A为 n,判断TA A是否为正定阵?证明你的结论。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页4 / 8 线性代数试卷解答一、1(F)(AAn)2(T)3(F)。如反例:100010000A,000010001B。4(T)(相似矩阵行列式值相同)5(F)二、1选 B。初等矩阵一定
6、是可逆的。2选 B。A 中的三个向量之和为零,显然A 线性相关; B 中的向量组与1,2,3等价, 其秩为 3,B 向量组线性无关; C、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合, C、D 中的向量组线性相关。3选 C 。由052EAA2232()3AAEEAEAEE,112()3AEAE)。4选 D。A 错误,因为nm,不能保证()(| )R AR A b;B 错误,0Ax的基础解系含有ARn个解向量; C 错误,因为有可能()(| )1R AnR A bn,bAx无解; D 正确,因为()R An。5 选A 。 A 正 确 , 因 为 它 们 可 对 角 化 , 存 在 可 逆 矩 阵,P
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