《电路》邱关源-第十三章.ppt
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1、2. 2. 掌握非正弦周期函数的有效值和平均功率掌握非正弦周期函数的有效值和平均功率l 重点重点3. 3. 掌握非正弦周期电流电路的计算掌握非正弦周期电流电路的计算1. 1. 了解周期函数分解为傅里叶级数了解周期函数分解为傅里叶级数返 回13.1 13.1 非正弦周期信号非正弦周期信号 生产实际中,经常会遇到非正弦周期电流电生产实际中,经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面,电压和电流往往都是周期性的非正弦术等方面,电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。波形。l 非正弦周期交流信号的特点非正弦周期交流信号的特点(1
2、) 不是正弦波不是正弦波 (2) 按周期规律变化按周期规律变化)()(nTtftf 下 页上 页返 回例例2示波器内的水平扫描电压示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波周期性锯齿波下 页上 页例例1 1半波整流电路的输出信号半波整流电路的输出信号返 回脉冲电路中的脉冲信号脉冲电路中的脉冲信号 Tt例例3 3下 页上 页返 回交直流共存电路交直流共存电路例例4 4+V Es 下 页上 页返 回 13.2 13.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 ttfTd )(0若周期函数满足狄利赫利条件:若周期函数满足狄利赫利条件: 周期函数极值点的数目为有限个;周期函数极值点的数目为有限个;
3、间断点的数目为有限个;间断点的数目为有限个; 在一个周期内绝对可积,即:在一个周期内绝对可积,即:可展开成收敛的傅里叶级数可展开成收敛的傅里叶级数注意 一般电工里遇到的周期函数都能满足一般电工里遇到的周期函数都能满足狄利赫利条件。狄利赫利条件。下 页上 页返 回直流(恒定)分量直流(恒定)分量基波(和原基波(和原函数同频)函数同频)二次谐波二次谐波(2倍频)倍频) 高次谐波高次谐波)cos()(110 kkkmtkAAtf )cos()(1110 tAAtfm )2cos(212 tAm)cos(nnmtnA1周期函数展开成傅里叶级数:周期函数展开成傅里叶级数:下 页上 页返 回sincos)
4、(1110tkbtkaatfkkk tkbtkatkAkkkkm 111sincos )cos( 也可表示成:也可表示成:kkkkkmkkkmkkkkmabAbAabaAaA arctansin cos2200 系数之间的关系为:系数之间的关系为:下 页上 页返 回 20112011000)(d)sin()(1)(d)cos()(1d)(1ttktfbttktfattfTaAkkT 求出求出A0、ak、bk便可得到原函数便可得到原函数 f(t) 的展开式。的展开式。系数的计算:系数的计算:下 页上 页返 回利用函数的对称性可使系数的确定简化利用函数的对称性可使系数的确定简化 偶函数偶函数0 )
5、()( kbtftf0 )()( katftf 奇函数奇函数 奇谐波函数奇谐波函数0 )2()(22 kkbaTtftf注意注意 T/2t T/2f (t) o T/2t T/2f (t) otf (t)T/2To下 页上 页返 回纵轴对称纵轴对称原点对称原点对称镜像对称镜像对称周期函数的频谱图:周期函数的频谱图:m1kAk的图形的图形 幅度频谱幅度频谱 11117 5 3 Akmok1相位频谱相位频谱 的图形的图形 1kk下 页上 页返 回周期性方波信号的分解周期性方波信号的分解例例1解解图示矩形波电流在一个周期内的表达式为:图示矩形波电流在一个周期内的表达式为: TtTTtItiS2 02
6、0 )(m/200011( )dd2TTmSmIIittItTT 直流分量:直流分量:谐波分量:谐波分量: 20) (dsin)(1ttktibSK k为偶数为偶数k为奇数为奇数 20)cos1(0kItkkImm tT/2TSimIo下 页上 页返 回0sin1)(dcos)(1020 tkkIttktiamSk 22k2kkkIbabAmK (k为奇数)为奇数)si的展开式为:的展开式为:)5sin513sin31(sin22 tttIIimmS 下 页上 页返 回ttt基波基波直流分量直流分量三次谐波三次谐波五次谐波五次谐波七次谐波七次谐波周期性方波波形分解周期性方波波形分解下 页上 页
7、返 回基波基波直流分量直流分量直流分量直流分量+ +基波基波三次谐波三次谐波直流分量直流分量+ +基波基波+ +三次谐波三次谐波下 页上 页返 回211(sinsin 3sin 5)235mmSIIittt tT/2TSimIIS01si3si5si下 页上 页IS01si3si5si等效电源等效电源返 回)5sin513sin31(sin22 tttIIimmS 11117 5 3 Akmo矩形波的矩形波的幅度幅度频谱频谱tT/2TSimI11117 5 3 k1o-/21kk矩形波的矩形波的相位频谱相位频谱下 页上 页返 回 20200)(dcos 0)(dsinttkttk 13.3 1
8、3.3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率1. 1. 三角函数的性质三角函数的性质 正弦、余弦信号一个周期内的积分为正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。k整数整数 sin2、cos2 在一个周期内的积分为在一个周期内的积分为 。)(dcos )(dsin202202 ttkttk 下 页上 页返 回 0)(dsinsin 0)(dcoscos0)(dsincos202020 ttptkttptkttptk pk 三角函数的正交性三角函数的正交性下 页上 页返 回2. 2. 非正弦周期函数的有效值非正弦周期函数的有效值)cos()(10kkkmtkIIti 若若则有效值则有效值:
9、: )(dcos1)(d1201002ttkIITttiTITkkkmT 下 页上 页返 回 )(dcos12010ttkIITITkkkm d)(cos102122 TkkkmIttkIT d102020 TItIT 0d)cos(2100 TkttkIT 0d)cos()cos(210 TqqmkkmttqItkIT qk 下 页上 页返 回 21220 kkmIII 周期函数的有效值为直流分量及各周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。次谐波分量有效值平方和的方根。 222120 IIII结论结论下 页上 页返 回注意是有效值,注意是有效值,不是最大值不是最大值3.
10、3. 非正弦周期函数的平均值非正弦周期函数的平均值00d)(1IttiTIT 其直流值为:其直流值为:)cos()(10kkkmtkIIti 若若其平均值为:其平均值为: TavttiTI0d)(1 正弦量的平均值为:正弦量的平均值为: 898. 0dcos10 TmavIttITI 下 页上 页返 回4.4.非正弦周期交流电路的平均功率非正弦周期交流电路的平均功率 TtiuTP0d1)cos()(10ukkkmtkUUtu )cos()(10ikkkmtkIIti 利用三角函数的正交性,得:利用三角函数的正交性,得:001012cos ().kkkkukikkPU IU IPPP 下 页上
11、页返 回平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率 coscos 22211100 IUIUIUP结论结论下 页上 页返 回3210PPPPP 1025 12 1cos30cos6002228.661.2511.9 W 有效值有效值 A87. 15 . 02121221V28. 85 .6825 .12504222521022222222 IU例例 已知:已知:)602sin()30sin(213sin22sin5sin102 ttitttu 求:电路吸收的平均功率和电压、电流的有效值。求:电路吸收的平均功率和电压、电流的有效值。+-ui解解 平均功率平均
12、功率返 回上 页下 页 13.4 13.4 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路的计算的计算1. 计算步骤计算步骤(2)根据叠加定理,分别计算直流分量和各次谐波激励单独根据叠加定理,分别计算直流分量和各次谐波激励单独作用时产生的响应。作用时产生的响应。 (1)将周期性非正弦电源,分解为傅里叶级数,根据要求取将周期性非正弦电源,分解为傅里叶级数,根据要求取有限项。有限项。 (3)将计算结果以瞬时值形式相加(各次谐波激励所产生的将计算结果以瞬时值形式相加(各次谐波激励所产生的相量形式的响应不能进行相加,因其频率不同)。相量形式的响应不能进行相加,因其频率不同)。(b b)各次谐波单独作用时均为正弦
13、稳态电路,可采用相量法计)各次谐波单独作用时均为正弦稳态电路,可采用相量法计算。要注意电感和电容的阻抗随频率算。要注意电感和电容的阻抗随频率 的变化而变化的变化而变化。 (a)直流分量单独作用相当于解直流电路。(直流分量单独作用相当于解直流电路。(L 短路、短路、C 开路)开路) 返 回上 页下 页2. 2. 计算举例计算举例例例1方波信号激励的电路。求方波信号激励的电路。求u , 已知:已知:s28. 6 A157pF1000 mH1 20 TICLRm、tT/2TSimI解解(1) (1) 方波信号的展开式为:方波信号的展开式为:)5sin51 3sin31(sin22 tttIIimmS
14、 s28. 6 ,A157 TIm代入已知数据:代入已知数据:0下 页上 页RLCuSi返 回直流分量:直流分量:A5 .78215720IIm A 10014.357.1221 mmII基波最大值:基波最大值:A205115 mmII五次谐波最大值:五次谐波最大值:66223.1410rad/s6.2810T 角频率:角频率:三次谐波最大值:三次谐波最大值:A3.333113 mmII下 页上 页返 回A5 .780 SI 电流源电流源各频率的谐波分量为:各频率的谐波分量为:A10sin10061tis A103sin310063tis A105sin510065tis (2 2) 对对各次
15、谐波分量单独计算:各次谐波分量单独计算:(a) a) 直流分量直流分量 IS0 作用作用A5 .780 SI电容断路,电感短路电容断路,电感短路mV57. 1105 .7820600 SRIU下 页上 页Ru0SI返 回(b)b)基波作用基波作用A 10sin10061tis k11010k110100010113611261 LC k50)( j)j()j()(1 RCLRXXXXRXXRZCLCLCL XLRmV250001050210100(36111 ) ZIU下 页上 页RLCu1Si返 回mV)sin(5000)10sin(500061ttu (c)三次谐波作用三次谐波作用A 10
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