2022年高中数学概率与统计知识点 .pdf
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1、学习必备欢迎下载高中数学之概率与统计求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件 (古典概型 )的概率: P(A)()(IcardAcardnm; 等可能事件概率的计算步骤:计算一次试验的基本事件总数n; 设所求事件A,并计算事件A 包含的基本事件的个数m; 依公式()mP An求值 ; 答,即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率:P(AB)P(A)P(B); 特例:对立事件的概率:P(A)P(A)P(AA) 1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P(AB) P(A) P(B); 特例:独立重复试验的概率:Pn(k)knkknp
2、pC)1(.其中 P为事件A 在一次试验中发生的概率,此式为二项式(1-P)+Pn 展开的第 k+1 项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”:求概率的步骤是:第一步,确定事件性质等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步,判断事件的运算和事件积事件即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件. 第三步,运用公式()()()()()()()( )(1)kknknnmP AnP ABP AP BP ABP AP BPkCpp等可能事件 : 互斥事件:独立事件:n次独立重复试验:求解第四步,答,即给提出的问题有一个明确的
3、答复. 例 1在五个数字1 2 3 4 5,中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是(结果用数值表示) 解答过程 0.3 提示 :1335C33.54C102P例 2 一个总体含有100 个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5 的样本,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页学习必备欢迎下载则指定的某个个体被抽到的概率为解答过程 1.20提示 :51.10020P例 3.接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.80.现有 5 人接种该疫苗,至少有3 人出现发热反应的概率为_.(精确到0.01)考查
4、目的 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力. 解答提示 至少有 3 人出现发热反应的概率为33244555550.800.200.800.200.800.94CCC. 故填 0.94. 离散型随机变量的分布列1.随机变量及相关概念随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母 、等表示 . 随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. 随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地,设离散型随机变量可
5、能取的值为1x,2x, ,ix, ,取每一个值ix(i1,2,)的概率P(ix)=iP,则称下表 . 为随机变量的概率分布,简称的分布列 . 由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质:(1)0iP,i1,2, ;(2)21PP=1. 常见的离散型随机变量的分布列:(1)二项分布n次独立重复试验中, 事件 A 发生的次数是一个随机变量, 其所有可能的取值为0, 1, 2, n,并且knkknkqpCkPP)(,其中nk0,pq1,随机变量的分布列如下:0 1 knP nnqpC00111nnqpCknkknqpC0qpCnnn称 这 样 随 机 变 量服 从 二 项 分 布
6、 , 记 作),(pnB, 其 中n、p为 参 数 , 并 记 :),;(pnkbqpCknkkn. (2) 几何分布1x2xixP P1 P2 iP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页学习必备欢迎下载在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量,“k”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量的概率分布为:1 2 3 k P p qp 2q p1kqp例 1厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,
7、以决定是否接收这批产品. ()若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4 件进行检验 ,求至少有1件是合格的概率;()若厂家发给商家20 件产品中 ,其中有 3 件不合格 ,按合同规定该商家从中任取2 件.都进行检验 ,只有 2件都合格时才接收这批产品.否则拒收 ,求出该商家检验出不合格产品数的分布列及期望E,并求出该商家拒收这批产品的概率. 解答过程 ()记“厂家任取4 件产品检验,其中至少有1 件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算,有4110.20.9984P AP A()可能的取值为0,1,22172201360190CPC,11317220511190C CPC,23
8、22032190CPC136513301219019019010E记“商家任取2 件产品检验,都合格”为事件B,则商家拒收这批产品的概率136271119095PP B所以商家拒收这批产品的概率为2795例 12某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被012P136190511903190精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页学习必备欢迎下载淘汰 . 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52,且各轮问题能否正确回答互不影响. ()求该选手被淘汰的概率;
9、()该选手在选拔中回答问题的个数记为,求随机变量的分布列与数学期望. (注:本小题结果可用分数表示)解答过程 解法一:()记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为(1 23)iA i,则14()5P A,23()5P A,32()5P A,该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()() ()PP AA AA A AP AP A P AP A P AP A142433101555555125()的可能值为12 3, ,11(1)()5PP A,1212428(2)()()()5525PP A AP A P A,12124312(3)()()()5525PP A AP A P
10、 A的分布列为1 2 3 P1582512251812571235252525E解法二:()记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为(1 2 3)iA i,则14()5P A,23()5P A,32()5P A该选手被淘汰的概率1231231()1()()()PP A A AP A P AP A4321011555125()同解法一离散型随机变量的期望与方差随机变量的数学期望和方差(1)离散型随机变量的数学期望:2211pxpxE;期望反映随机变量取值的平均水平. 离散型随机变量的方差:222121)()(pExpExDnnpEx2)(;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
11、归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页学习必备欢迎下载方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度. 基本性质:baEbaE)(;DabaD2)(. (4)若B(n, p),则npE; D=npq(这里 q=1-p) ; 如果随机变量服从几何分布,),()(pkgkP,则pE1,D=2pq其中 q=1-p. 例 1甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为、, 和的分布列如下:0 1 2 0 1 2 P 610110103P 510103210则比较两名工人的技术水平的高低为. 思路: 一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的
12、平均值,即期望; 二是要看出次品数的波动情况,即方差值的大小. 解答过程:工人甲生产出次品数 的期望和方差分别为:7 .0103210111060E,891.0103)7. 02(101)7. 01 (106)7. 00(222D;工人乙生产出次品数的期望和方差分别为:7.0102210311050E,664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222D由 E=E知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但DD,可见乙的技术比较稳定 . 小结: 期望反映随机变量取值的平均水平;方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度 . 例 2. 某商场经销某商品,根据以往资料统
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