2022年高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 2.pdf
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1、名师总结优秀知识点高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线:在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 ) 上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系:若曲线C的方程是 f(x,y)=0,则点 P0(x0,y0) 在曲线 C上f(x0,y 0)=0 ;点 P0(x0,y0) 不在曲线 C上f(x0,y0)0。两条曲线的交点: 若曲线 C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=
2、0,则点 P0(x0,y0) 是 C1,C2的交点0),(0),(002001yxfyxf方程组有 n个不同的实数解,两条曲线就有n 个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点。二、圆:1、定义: 点集 M OM =r ,其中定点O为圆心,定长r 为半径 . 2、方程: (1) 标准方程:圆心在c(a,b),半径为 r 的圆方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是x2+y2=r2(2) 一般方程:当D2+E2-4F0 时,一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为)2,2(ED半径是2422FED。配方,将方程x2+y2+Dx+E
3、y+F=0化为 (x+2D)2+(y+2E)2=44F-ED22当 D2+E2-4F=0 时,方程表示一个点(-2D,-2E); 当 D2+E2-4F0 时,方程不表示任何图形. (3)点与圆的位置关系已知圆心 C(a,b), 半径为 r, 点 M的坐标为 (x0,y0),则 MC r点 M在圆 C 内, MC =r点 M在圆 C上, MC r点 M在圆 C内,其中 MC =2020b)-(ya)-(x。(4)直线和圆的位置关系:直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线与圆相交有两个公共点; 直线与圆相切有一个公共点;直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定:(i)判别式法; (i
4、i)利用圆心 C(a,b) 到直线 Ax+By+C=0的距离22BACBbAad与半径 r 的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统一定义:平面内的动点P(x,y) 到一个定点F(c,0) 的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数e(e 0), 则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0) 称为焦点,定直线l 称为准线,正常数e 称为离心率。当0e1 时,轨迹为椭圆;当e=1 时,轨迹为抛物线;当e1 时,轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线:椭圆双曲线抛物线定义1到两定点F1,F2的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|) 的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点
5、的轨迹 . (0e1)1到两定点 F1,F2的距离之差的绝对值为定值 2a(02a1)与定点和直线的距离相等的点的轨迹 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页名师总结优秀知识点轨迹条件点集: (M MF1+MF2=2a, F 1F2 2a点集: M MF1- MF2. =2a, F2F2 2a. 点集 M MF =点 M到直线 l的距离 . 图形方程标准方程12222byax(ba0) 12222byax(a0,b0) pxy22参数方程为离心角)参数(sincosbyax为离心角)参数(tansecbyaxptyp
6、tx222(t 为参数 ) 范围a x a, b y b |x| a ,yR x 0 中心原点 O (0,0)原点 O(0,0)顶点(a,0), (a,0), (0,b) , (0, b) (a,0), (a,0) (0,0) 对称轴x 轴, y 轴;长轴长 2a, 短轴长 2b x 轴, y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. x 轴焦点F1(c,0), F2( c,0) F1(c,0), F2( c,0) )0 ,2(pF准线x=ca2准线垂直于长轴,且在椭圆外. x=ca2准线垂直于实轴,且在两顶点的内侧. x=-2p准线与焦点位于顶点两侧,且到顶点的距离相等.焦距2c (c=22ba
7、)2c (c=22ba)离心率)10(eace)1(eacee=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页名师总结优秀知识点【备注 1】双曲线:等轴双曲线:双曲线222ayx称为等轴双曲线,其渐近线方程为xy,离心率2e. 共轭双曲线: 以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与2222byax互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:02222byax. 共渐近线的双曲线系方程:)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时,它的双曲
8、线方程可设为)0(2222byax.【备注 2】抛物线:(1)抛物线2y=2px(p0) 的焦点坐标是 (2p,0) ,准线方程x=-2p,开口向右;抛物线2y=-2px(p0) 的焦点坐标是 (-2p,0) ,准线方程 x=2p,开口向左;抛物线2x=2py(p0) 的焦点坐标是 (0,2p) ,准线方程y=-2p,开口向上;抛物线2x=-2py(p0)的焦点坐标是(0,-2p) ,准线方程y=2p,开口向下 . (2)抛物线2y=2px(p0) 上的点 M(x0,y0) 与焦点 F 的距离20pxMF;抛物线2y=-2px(p0) 上的点 M(x0,y0) 与焦点 F 的距离02xpMF(
9、3)设抛物线的标准方程为2y=2px(p0) ,则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p,顶点到准线的距离2p,焦点到准线的距离为p. (4)已知过抛物线2y=2px(p0) 焦点的直线交抛物线于A 、B两点,则线段AB称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长AB=21xx+p 或2sin2pAB( 为直线 AB的倾斜角 ) ,221pyy,2,41221pxAFpxx(AF叫做焦半径 ). 五、坐标的变换:(1)坐标变换:在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向) 叫做坐标变换 . 实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐
10、标与曲线的方程. (2)坐标轴的平移:坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴。(3) 坐标轴的平移公式: 设平面内任意一点M , 它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y) ,在新坐标系x O y中的坐标是),(yx.设新坐标系的原点O 在原坐标系xOy中的坐标是 (h,k),则kyyhxx或kyyhxx叫做平移 ( 或移轴 )公式 . (4)中心或顶点在 (h,k)的圆锥曲线方程见下表:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页名师总结优秀知识点方程焦点焦线对称轴椭圆22h
11、)-(xa+22k)-(yb=1 ( c+h,k) x=ca2+h x=h y=k 22h)-(xb+22k)-(ya =1 (h, c+k) y=ca2+k x=h y=k 双曲线22h)-(xa-22k)-(yb=1 ( c+h,k) x=ca2+k x=h y=k 22k)-(ya-22h)-(xb=1 (h, c+h) y=ca2+k x=h y=k 抛物线(y-k)2=2p(x-h) (2p+h,k) x=-2p+h y=k (y-k)2=-2p(x-h) (-2p+h,k) x=2p+h y=k (x-h)2=2p(y-k) (h, 2p+k) y=-2p+k x=h (x-h)2
12、=-2p(y-k) (h,- 2p+k) y=2p+k x=h 六、椭圆的常用结论:1.点 P处的切线 PT平分 PF1F2在点 P处的外角 . 2.PT平分 PF1F2在点 P处的外角,则焦点在直线PT上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5.若000(,)P xy在椭圆22221xyab上,则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab. 6.若000(,)P xy在椭圆22221xyab外, 则过0P作椭圆的两条切线切点为P1、 P2, 则切点弦P1P2
13、的直线方程是00221x xy yab. 7.椭圆22221xyab (a b0) 的左右焦点分别为F1,F 2,点 P为椭圆上任意一点12F PF,则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb.8.椭圆22221xyab(ab0)的焦半径公式10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc ,2( ,0)Fc00(,)Mxy). 9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P 、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页名师总结优秀知
14、识点N两点,则 MF NF. 10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q交于点 M ,A2P和 A1Q交于点 N,则 MFNF. 11.AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦,M),(00yx为 AB的中点,则22OMABbkka,即0202yaxbKAB。12.若000(,)P xy在椭圆22221xyab内,则被 Po所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab;【推论】:1、若000(,)P xy在椭圆22221xyab内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab。椭
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