2019版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义:第3章三角函数、解三角形 3.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 .docx
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1、34函数yAsin(x)的图象及应用 知识梳理1“五点法”作函数yAsin(x)(A0,0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点,作图时的一般步骤为:(1)定点:如下表所示 (2)作图:在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接得到yAsin(x)在一个周期内的图象(3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得yAsin(x)在R上的图象2函数ysinx的图象经变换得到yAsin(x)(A0,0)的图象的步骤如下:诊断自测1概念思辨(1)将函数y3sin2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y3sin.()(2)利用图象变换作图时“先平移,后伸
2、缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致()(3)函数yAcos(x)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()(4)由图象求解析式时,振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(必修A4P57T1)为了得到函数ysin的图象,只需把函数ysin2x的图象上所有的点()A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左平行移动个单位长度D向右平行移动个单位长度答案D解析ysin可变形为ysin,所以将ysin2x的图象向右平行移动个单位长度即可故选D.(2)(必修A4P70T18)函数f(x)sin
3、xcosxcos2x的最小正周期和振幅分别是()A,1 B,2 C2,1 D2,2答案A解析由f(x)sinxcosxcos2xsin2xcos2xsin,得最小正周期为,振幅为1.故选A.3小题热身(1)(2017柳州模拟)若函数ysin(x)(0)的部分图象如图,则()A5 B4C3 D2答案B解析由图象可知,x0x0,即T,故4.故选B.(2)(2018成都检测)为了得到函数ysin(x1)的图象,只需把函数ysinx的图象上所有的点向_平移_个单位长度为了得到函数ysin(2x1)的图象,只需把函数ysin2x的图象上所有的点向_平移_个单位长度答案左1左题型1函数yAsin(x)的图
4、象(2015湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度,得到yg(x)的图象若yg(x)图象的一个对称中心为,求的最小值用五点法解(1)根据表中已知数据,解得A5,2,.数据补全如下表:且函数表达式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin,得g(x)5sin.因为ysinx的对称中心为(k,0),kZ.令2x2k,kZ,解得x,kZ.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称,令,kZ,解得,kZ.由
5、0可知,当k1时,取得最小值.条件探究将本典例中的条件变为(1)求x1,x2,x3的值及函数f(x)的表达式;(2)将函数f(x)的图象向右平移(0)个单位,可得到函数g(x)的图象若yg(x)的图象的一条对称轴方程为x,求的最小值解(1)由0,可得,.由x1,x2,x32,可得x1,x2,x3.由Asin2,得A2,所以f(x)2sin.(2)f(x)2sin的一条对称轴为x,.方法技巧函数yAsin(x)(A0,0)图象的作法1五点法:用“五点法”作yAsin(x)的简图如典例2图象变换法:由函数ysinx的图象通过变换得到yAsin(x)的图象,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩
6、后平移”如条件探究冲关针对训练(2018济南模拟)设函数f(x)sinxcosx(0)的周期为.(1)求它的振幅、初相;(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象;(3)说明函数f(x)的图象可由ysinx的图象经过怎样的变换而得到的解(1)f(x)sinxcosx22sin,又T,即2.f(x)2sin.函数f(x)sinxcosx的振幅为2,初相为.(2)令X2x,则y2sin2sinX.列表,并描点画出图象:(3)把ysinx的图象上所有的点向左平移个单位长度,得到ysin的图象;再把ysin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到ysin的图象;最后把ysin
7、2x上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y2sin的图象.题型2函数yAsin(x)的图象与性质的综合应用角度1由函数图象及性质求解析式函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示,求函数f(x)的解析式可确定T求,代值求.解由题中图象可知TTT,则2.又图象过点,则f22sin2sin1.,.函数f(x)2sin.角度2函数图象与性质的综合 (2015全国卷)函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.,kZB.,kZC.,kZD.,kZ根据局部单调性,结合周期确定单调区间答案D解析由题图可知1,所以T2.结合题图可知,在(f(x)的一个
8、周期)内,函数f(x)的单调递减区间为.由f(x)是以2为周期的周期函数可知,f(x)的单调递减区间为,kZ.故选D.角度3图象变换与性质的综合 (2018滨州模拟)已知向量a(m,cos2x),b(sin2x,n),函数f(x)ab,且yf(x)的图象过点和点.(1)求m,n的值;(2)将yf(x)的图象向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图象,若yg(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求yg(x)的单调递增区间本题用方程组法解(1)由题意知f(x)abmsin2xncos2x.因为yf(x)的图象过点和,所以即解得m,n1.(2)由(1)知f(x)sin2xcos2
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