2019版高考数学(理)高分计划一轮高分讲义:第9章 统计与统计案例 9.1 随机抽样 .docx
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1、91随机抽样知识梳理1简单随机抽样(1)定义:设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(nN),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样(2)最常用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数表法2系统抽样(1)定义:当总体中的个体数目较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照事先定出的规则,从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本,这种抽样方法叫做系统抽样(2)系统抽样的操作步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本先将总体的N个个体编号;确定分段间隔k,对编号进行分段,当(n是样本容量)是整数时,取k;当不是整数时,可随机地从总体中
2、剔除余数x,取k;在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(lk);按照一定的规则抽取样本,通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号1k,再加k得到第3个个体编号12k,依次进行下去,直到获取整个样本3分层抽样(1)定义:在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫做分层抽样(2)应用范围:当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样注:三种抽样方法的比较诊断自测1概念思辨(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关()(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样()(3)分层抽样是
3、将每层各抽取相同的个体数构成样本,分层抽样为保证各个个体等可能入样,必须进行每层等可能抽样()(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需要剔除2个学生,这样对被剔除者不公平()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A3P64A组T3)某单位有职工140人,其中科技人员91人,行政干部28人,职员21人,为了了解职工的某种情况要从中抽取一个容量为20的样本以下抽样方法中,依简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的顺序是()将140人从1140编号,然后制出有编号1140的140个形状大小相同的号签;将号签放入同一个箱子时进行均匀搅拌,并从中抽取20个号签,编号与
4、签号相同的20人选出将140个人分成20组,每组7个人,并将每组7人按17编号,在第一组中采用抽签的方法抽出K号(1K7),则其余各组K号也被抽到,20个人被选出按2014017的比例,从科技人员中抽取13人,从行政人员中抽取4人,从职员中抽取3人,从各类人员中抽取所需人员时,均采用随机数表法,可抽出20人A B C D答案C解析从简单随机抽样、系统抽样、分层抽样各自的操作步骤入手故选C.(2)(必修A3P64A组T4)某初级中学有270人,其中一年级108人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽
5、样时,将按一、二、三年级依次统一编号为1,2,270;使用系统抽样时,将统一随机编号1,2,270,并将整个编号依次分为10段,如果抽得号码有下列四种情况:7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;30,57,84,111,138,165,192, 219,246,270.下列关于上述样本的结论正确的是()A都不能为系统抽样 B都不能为分层抽样C都可能为系统抽样 D都可能为分层抽样答案D解析从抽得号码的编号入手,若为系统抽样
6、,则抽样间隔应该相等,若可能为分层抽样,则一、二、三年级应按433的比例进行抽取,即1108号抽取4人,109189号抽取3人,190270号应抽取3人故选D.3小题热身(1)(2013全国卷)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是()A简单随机抽样 B按性别分层抽样C按学段分层抽样 D系统抽样答案C解析该地区不同学段学生视力情况有较大差异,不适合采用简单随机抽样和系统抽样,又男、女生视力差别不大,故不适合按性别分层抽样故选C
7、.(2)(2018长春模拟)将高一(9)班参加社会实践编号为:1,2,3,48的48名学生,采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知5号,29号,41号学生在样本中,则样本中还有一名学生的编号是_答案17解析根据系统抽样的概念,所取的4个样本的编号应成等差数列,故所求编号为17.题型1简单随机抽样下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为()从无限多个个体中抽取100个个体作为样本;盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里;从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验;某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组
8、织的篮球赛A0 B1 C2 D3应用简单随机抽样的定义进行判断答案A解析不是简单随机抽样因为被抽取样本的总体的个数是无限的,而不是有限的;不是简单随机抽样因为它是有放回抽样;不是简单随机抽样因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取;不是简单随机抽样因为不是等可能抽样,故选A.(2018河北模拟)总体由编号为01,02,19,20的20个个体组成利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为()78166572080263140701436997280198320492344935820036234869
9、69387481A08 B07 C02 D01随机数法答案D解析选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01,故选D.方法技巧1简单随机抽样的特点(1)被抽取样本的总体中的个体数是有限的;(2)是逐个抽取;(3)是不放回抽取;(4)是等可能抽取只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样2抽签法与随机数法的适用情况(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法适用于总体中个体数较多的情况(2)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法(3)在使用随机数法时,如遇到三位数或四位数,可从选择的随机数表中的某行某
10、列的数字计起,每三个或四个作为一个单位,自左向右选取,有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去冲关针对训练利用简单随机抽样,从n个个体中抽取一个容量为10的样本,若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为()A. B. C. D.答案C解析根据题意,解得n28.故每个个体被抽到的概率为.故选C.题型2系统抽样(2017徐州模拟)从编号为0,1,2,79的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本,若编号为42的产品在样本中,则该样本中产品的最小编号为()A8 B10 C12 D16确定分段间隔,再利用间隔不变解题答案B解析从80件产品中用
11、系统抽样的方法抽取5件,则可将这80件产品分成5组,每组16件,每组抽取1件,而编号为42的产品在第3组,所以第1组所抽取产品的编号为4216210,故选B.条件探究1把典例中条件“若编号为42的产品在样本中”改为“已知编号为10,a,42,b,74号在样本中”,求ab.解由典例中解析易知编号构成首项为10,公差为16的等差数列,易求得a26,b58,故ab84.条件探究2把典例中条件“若编号为42的产品在样本中”改为“抽到产品的编号之和为185”,则抽到的最小编号是多少?解利用等差数列前n项和公式S55a116185,得a15.方法技巧系统抽样的注意点1系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本
12、容量也较大2若不改变抽样规则,则所抽取的号码构成一个等差数列,其首项为第一组所抽取的号码,公差为样本间隔故问题可转化为等差数列问题解决3抽样规则改变,应注意每组抽取一个个体这一特性不变4如果总体容量N不能被样本容量n整除,可随机地从总体中剔除余数,然后再按系统抽样的方法抽样,其中起始编号的确定应用简单随机抽样的方法冲关针对训练(2018广东肇庆模拟)一个总体中有100个个体,随机编号为0,1,2,99.依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第1组中随机抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码的个位数字与mk的个位数字相同若m
13、6,则在第7组中抽取的号码是()A63 B64 C65 D66答案A解析由题设知,若m6,则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同,而第7组中数字编号依次为60,61,62,63,69,故在第7组中抽取的号码是63.故选A.题型3分层抽样(2015北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A90 B100 C180 D300根据抽样比列方程答案C解析设该样本中的老年教师人数为x,由题意及分层抽样的特点得,故x1
14、80.故选C.(2018西安摸底考试)某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且a,b,c构成等差数列,则第二车间生产的产品数为()A800 B1000 C1200 D1500答案C解析因为a,b,c成等差数列,所以2bac.所以.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的.根据分层抽样的性质,可知第二车间生产的产品数占总数的,即为36001200.故选C.方法技巧分层抽样问题类型及解题思路1求某层应抽个体数量:按该层所占总体的比例计算2已知某层个体数量,求总体容量或反之:根
15、据分层抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算3分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解,其中“抽样比”提醒:分层抽样时,每层抽取的个体可以不一样多,但必须满足抽取nin(i1,2,k)个个体(其中i是层数,n是抽取的样本容量,Ni是第i层中个体的个数,N是总体容量)冲关针对训练(2014广东高考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A200,20 B100,20 C200,10 D100,10答案A解析由题意可得该地区共有中小学生10000人,故样本容量为10000
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