数学-初三-圆的相互概念与垂径定理.doc

-! 精锐教育1对1辅导讲义 学员姓名： 学科教师： 年级： 辅导科目： 主题：圆基本概念与垂径定理 授课时间： 学习目标 1、掌握圆的相关基本概念 2、运用垂径定理解决问题 教学内容 1、 圆是如何确定的？大小怎么判定？ 2、 圆中有哪些概念？ 3、 垂径定理如何应用？ 【知识梳理1】圆的确定 定理 同圆或等圆中半径相等 1.点与圆的位置关系 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 点与圆心的距离为，则点在直线外；点在直线上；点在直线内。 【例题精讲】 例1.如图，圆O的半径为15，O到直线l的距离OH=9，P、Q、R为l上的三点.PH=9，QH=12，RH=15， 请分别说明点P、Q、R与圆O的位置关系. 【试一试】 1.矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）． (A) 点B、C均在圆P外； (B) 点B在圆P外、点C在圆P内； (C) 点B在圆P内、点C在圆P外； (D) 点B、C均在圆P内． 2.如图所示，已知，，，，于点，以为圆心，5为半径作圆C （ ） .点在圆内，在圆外 .点在圆内，点在圆上，点在圆外 .点、在圆内，在圆外 .点、都在圆外 2. 过三点的圆 1.不在同一直线上的三点确定一个圆。 2.经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。 例2.如图，作出所在圆的圆心，并补全整个圆. 【试一试】 1. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商定去的一块玻璃片应该是 （ ） .第①快 .第②快 .第③快 .第④快 2. 三角形的外心一定在该三角形上的三角形是（　　　　） A.锐角三角形　B.钝角三角形　C.直角三角形　D.等腰三角形 【知识梳理2】圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1.圆心角：顶点在圆心的角。 2.弧：圆上任意两点之间的部分。大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，能够重合的弧叫等弧。 3.弦：联结圆上任意两点的线段。直径是一条特殊的弦，并且是圆中最大的弦。 4.弦心距：从圆心到弦的距离。 定理1在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 【例题精讲】 例1.已知，如图，ABCD是⊙O的直径，弦AE∥CD，联结CEBC. 求证：BC=DE. 定理2在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 例2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC，∠AOB=∠BOC，探究△ABC的形状，并说明理由. 【巩固练习】 1.如图，,OE⊥AB，OF⊥CD，∠OEF=25，求∠EOF的度数. 2.如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点AB，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD. 求证：（1）PO平分∠BPD （2） 例3.如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的倍，C为的中点，AB、OC相交于P. 求证：四边形OACB为菱形. 【巩固练习】 1.如图，弦AB和CD相交于圆O内一点P，且∠OPB=∠OPD，求证； 【知识梳理3】垂径定理 定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 推论1一条直线，如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧．这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质． 推论2圆的平行弦所夹的弧相等 【例题精讲】 例1. 已知中，，垂足为D，且，以AD为直径作圆O，交AB边于点G，交AC边于点F，如果点F恰好是的中点． （1）求CD的长度； （2）当时，求BG的长度． 【试一试】 1.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长等于8，OD⊥AB，垂足为点D，DO的延长线与⊙O相交 于点C，点E在弦AB的延长线上，CE与⊙O相交于点F，cosC=， 求：（1）CD的长（5分）；（2）EF的长（7分）. 例2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，过点A、B向CD引垂线，垂足分别为E、F. 求证：CE=DF 【试一试】 1.如图，CD为⊙O的弦，EF在直径AB上， EC⊥CD，DF⊥CD. 求证：AE=DF 1.下列命题中假命题是（ ） （A）平分弦的半径垂直于弦； （B）垂直平分弦的直线必经过圆心； （C）垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧； （D）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦． 2.如图，是⊙的直径，交⊙于、，为的中点，于点，于点，则下列结论错误的是（） ．； ．； ．； ．． 3.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图4，在Rt△和Rt△中，，点在边的延长线上，如果，那么△和△的外心距是 ． 4.如图，已知在中，弦垂直于直径，垂足为点，如果，，那么　　 　　． 5. 点为⊙内一点，过点的最长的弦长为10，最短的弦长为8，那么的长等于 . 6.如图，CD为⊙O的直径，以D为圆心，DO长为半径作弧，交⊙O于AB两点， 求证： 7.已知：如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以点D为圆心、CD为半径作半圆，分别与边AC、BC相交于点E和点F．如果AB=AC=5，cosB=，AE=1． 求：（1）线段CD的长度； （2）点A和点F之间的距离． 1.下列说法中，结论错误的是（ ） ．直径相等的两个圆是等圆； ．长度相等的两条弧是等弧； ．圆中最长的弦是直径； ．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧． 2.已知○是以坐标原点为圆心，5为半径的圆，点的坐标为，则点与○的位置关系为（ ） A. 在○上； B. 在○内； C. 在○外； D. 在○右上方； 3.如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　） A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5 4.如图，的直径垂直弦于，且是半径的中点，，则直径的长为 ； 5.如图，圆过点，圆心在等腰直角三角形内部，那么圆的半径为 ； 6.如图，已知是⊙的直径，，点是所在直线上一点，，点是⊙上一点，交⊙于点，，求的长； 7.如图，在△中，，，于，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，交于、，且； （1）求的长； （2）求的值； 1.如图，点D、E、F、G为两边上的点，且，若DE、FG将的面积三等分，那么下列结论正确的是（　　） (A) (B) (C) (D) 2.如图，点、位于△的两边上，下列条件能判定∥的是（ ） A. B. C. D. 3.已知非零向量、、，下列命题中是假命题的是（ ） A. 如果，那么∥； B. 如果，那么∥； C. 如果，那么∥； D. 如果，，那么∥； 4.如图，已知AD是△ABC的中线,G是△ABC的重心，联结BG并延长交AC于点E,联结DE. 则的值为 ． 5.已知在△中，，，那么边的长等于（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 6.抛物线在直线右侧的部分是__________.(从“上升的”或“下降的”中选择). 7.已知抛物线与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是－2，那么a=__________ 8.下列说法正确的是（　　） (A) 相切两圆的连心线经过切点 (B) 长度相等的两条弧是等弧 (C) 平分弦的直径垂直于弦 (D) 相等的圆心角所对的弦相等 9.已知○的半径长为3，○的半径长（），如果，那么○与○ 不可能存在的位置关系是（ ） A. 两圆内含； B. 两圆内切； C. 两圆相交； D. 两圆外切；