2019版高考数学(文)培优增分一轮全国经典版培优讲义:第3章 三角函数、解三角形 第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 .docx
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1、第4讲函数yAsin(x)的图象及应用板块一知识梳理自主学习必备知识考点1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0,0),x0,)振幅周期频率相位初相ATfx考点2用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时,要找五个特征点如下表所示 xx02yAsin(x)0A0A0考点3函数ysinx的图象经变换得到yAsin(x)的图象的步骤必会结论函数yAsin(x)(A0,0)的图象的两种作法:(1)五点法:用“五点法”作图,关键是通过变量代换,设zx,由z取0,2来求出相应的x,通过列表,描点得出图象如果在限定的区间内作图象,还应注意端点的确定(2)图象变换法:由函数ysinx的图象通过变
2、换得到yAsin(x)的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”(即“先后”)与“先伸缩后平移”(即“先后”)考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)将ysin2x的图象向右平移个单位长度,得到ysin的图象()(2)函数f(x)Asin(x)(A0)的最大值为A,最小值为A.()(3)把ysinx的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍,得到ysinx的图象,则的值为.()(4)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致()(5)函数yAcos(x)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()答案(1)(2)(3)(4)(5)
3、2.2018柳州模拟若函数ysin(x)(0)的部分图象如图,则()A5 B4C3 D2答案B解析由图象可知,x0x0,即T,故4.32016全国卷将函数y2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为()Ay2sin By2sinCy2sin Dy2sin答案D解析函数y2sin的周期为,所以将函数y2sin的图象向右平移个单位长度后,得到函数图象对应的解析式为y2sin2sin.故选D.42018西安模拟已知函数f(x)cos(0)的最小正周期为,则该函数的图象()A关于点对称 B关于直线x对称C关于点对称 D关于直线x对称答案D解析得2,函数f(x)的对称轴满足2xk(kZ),解得
4、x(kZ),当k1时,x.选D.5已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是()A.f(x)2sinBf(x)2sinCf(x)2sinDf(x)2sin答案B解析由图象知函数的最大值为2,即A2,函数的周期T42,解得1,即f(x)2sin(x),由题图知2k(kZ),解得2k(kZ),又因为00)个单位长度【变式训练1】将函数ycos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位,所得函数图象的一条对称轴是()Ax Bx Cx Dx答案D解析ycosycosycos,即ycos.由余弦函数的性质知,其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,又当
5、x时,ycos()1.故选D.考向求函数yAsin(x)的解析式例22016全国卷函数yAsin(x)的部分图象如图所示,则()A.y2sinBy2sinCy2sinDy2sin答案A解析由题图知A2,则T,所以2,则y2sin(2x),因为题图经过点,所以2sin2,2k,kZ,即2k,kZ.当k0时,所以y2sin.故选A.触类旁通确定yAsin(x)b(A0,0)的解析式的步骤(1)求A,b,确定函数的最大值M和最小值m,则A,b.(2)求,确定函数的周期T,则.(3)求,常用方法有:代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区
6、间上还是在下降区间上)五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口【变式训练2】已知函数f(x)Atan(x),yf(x)的部分图象如图,则f_.答案解析由函数图象,知,所以T,即,所以2.结合图象可得2k,kZ,即k,kZ.因为|,所以.又由图象过点(0,1),代入得Atan1,所以A1.所以函数的解析式为f(x)tan,所以ftan.考向函数yAsin(x)的图象与性质的综合应用命题角度1函数图象与性质的综合应用例32015全国卷函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.,kZB.,kZC.,kZD.,kZ答案D解析由图象可知2m,2m,m
7、Z,所以,2m,mZ,所以函数f(x)coscos的单调递减区间为2kx2k,kZ,即2kx0,0)的性质(1)奇偶性:当k(kZ)时,函数yAsin(x)为奇函数;当k(kZ)时,函数yAsin(x)为偶函数(2)周期性:yAsin(x)的最小正周期为T.(3)单调性:根据ysint和tx(0)的单调性来研究,由2kx2k(kZ)得单调递增区间;由2kx2k(kZ)得单调递减区间(4)对称性:利用ysinx的对称中心为(k,0)(kZ)求解,令xk(kZ)求得对称中心的横坐标利用ysinx的对称轴为xk(kZ)求解,令xk(kZ)得其对称轴核心规律1.已知f(x)Asin(x)(A0,0)的
8、部分图象求其解析式时,A比较容易看图得出,由即可求出;确定时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0,则令x00(或x0),即可求出.2.由函数yAsin(x)的性质求解析式时,若最大值与最小值对应的自变量为x1,x2,则|x1x2|min.通过代入解析式点的坐标解出和,若对A,的符号或对的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求满分策略1.在三角函数的平移变换中,无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移|个单位,都是相应的解析式中的x变为x|.2.函数f(x)Asin(x)的图象关于直线xx0对称,则x0k(kZ),即过函数图象的最高点或最低点,且与x轴垂直的
9、直线为其对称轴3.函数f(x)Asin(x)的图象关于点(x0,0)成中心对称,则x0k(kZ),即函数图象与x轴的交点是其对称中心.板块三启智培优破译高考题型技法系列5异名三角函数的图象变换技巧2017全国卷已知曲线C1:ycosx,C2:ysin,则下面结论正确的是()A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的
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