2022年数列知识点总结及题型归纳3.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数列一、数列的概念(1)数列定义:按肯定次序排列的一列数叫做数列;数列中的每个数都叫这个数列的项;记作 a ,在数列第一个位置的项叫第 1 项(或首项),在其次个位置的叫第 2 项, ,序号为 n 的项叫第 n 项(也叫通项)记作 a ;数列的一般形式:a ,a ,a , ,a , ,简记作 a n;(2)通项公式的定义:假如数列 a n 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式;例如: 1 ,2 ,3 ,4, 5 ,说明:1 1,21,31,41,5Z;a n表示数列,a 表示数列中的第n 项,a
2、= fn 表示数列的通项公式; 同一个数列的通项公式的形式不肯定唯独;例如,n a = 1=1, n2 k1 k1, n2 k不是每个数列都有通项公式;例如,(3)数列的函数特点与图象表示:1,1.4 ,1.41 ,1.414 , 从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集N(或它的有限子集)的函数f n 当自变量 n 从 1开头依次取值时对应的一系列函数值f1, 2,f3, ,f n , 通常用a 来代替 fn ,其图象是一群孤立点 ;(4)数列分类:按数列项数是有限仍是无限分:有穷数列和无穷数列;按数列项与项之间的大小关 系分:递增数列、递减数列、常数列和摇摆数列;例:以下的数列,哪些是递
3、增数列、递减数列、常数列、摇摆数列?(1)1,2,3, 4,5,6, 210, 9, 8, 7, 6, 5, S 113 1, 0, 1, 0, 1, 0, 4a, a, a, a, a,(5)数列 a 的前 n 项和S 与通项a 的关系:anS nn1S nn 2二、等差数列 一 、等差数列定义:一般地,假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数 列 就 叫 等 差 数 列 , 这 个 常 数 叫 做 等 差 数 列 的 公 差 , 公 差 通 常 用 字 母 d 表 示 ; 用 递 推 公 式 表 示 为a n a n 1 d n 2 或 a n 1 a n
4、 d n 1例:等差数列 an 2n 1,a n a n 1 二 、 等差数列的通项公式:a n a 1 n 1 d ;说明:等差数列(通常可称为 A P 数列)的单调性:d 0 为递增数列,d 0 为常数列,d 0 为递减数列;例: 1. 已知等差数列 a n 中,a 7 a 9 16,a 4 1,就 a 12 等于()A15 B30 C 31 D 64 2. a n 是首项 a 1 1,公差 d 3 的等差数列,假如 a n 2005,就序号 n 等于(A) 667 (B) 668 (C)669 (D)670 3. 等差数列 a n 2 n ,1 b n 2 n 1,就 a 为 b 为(填
5、“ 递增数列” 或1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - “ 递减数列”) 三 、等差中项的概念:定义:假如 a , A , b 成等差数列,那么A 叫做 a 与 b 的等差中项;其中Aa2b()a , A , b 成等差数列Aa2b即:2 an1anan2(2 ananma nm)例:1(全国 I )设a n是公差为正数的等差数列,如a 1a2a315,a a a380,就a 11a 12a 13A120 B 105C 90 D 75 四 、等差数列的性质:(1)在等差数列a n中,从第 2 项起,每哪一项它相邻二
6、项的等差中项;(2)在等差数列a n中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列;(3)在等差数列a n中,对任意 m , nN ,anamnm d ,danammn ;nm(4)在等差数列a n中,如 m , n , p , qN 且 mnpq ,就a manapa ; 五 、等差数列的前n 和的求和公式:S nn a 12anna1n n1d1n2(a 1d)n;222SnAn2BnA,B为常数an是等差数列 递推公式:Sna1annamanm1n22例: 1. 假如等差数列a n中,a3a 4a512,那么a 1a 2.a 7( A)14 ( B)21 ( C)28 (D)35 2. (湖南卷
7、文)设S 是等差数列a n的前 n 项和,已知a23,a611,就S 等于 A13 B 35 C49 D 63 3. (全国卷)设等差数列a n的前 n 项和为S ,如S 972, 就a 2a4a = 4. 如一个等差数列前3 项的和为 34,最终 3 项的和为 146,且全部项的和为390,就这个数列有(A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项5. 已知等差数列a n的前 n 项和为S ,如S 1221,就a2a5a8a 116. (全国卷)设等差数列a n的前 n 项和为S ,如a55 a 就S 9S 57. 已知an数列是等差数列,a 1010,其前 10 项的和S 1070,就
8、其公差d等于 A2B1 C.1 D. 323338. (陕西卷文)设等差数列a n的前 n 项和为ns, 如a6s 312, 就a n2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9(全国)设 an为等差数列,Sn为数列 an的前 n 项和,已知S7 7,S15 75,Tn 为数列Sn 的 n前 n 项和,求 Tn; 六. 对于一个等差数列:(1)如项数为偶数,设共有2n项,就S偶S奇nd; S 奇a n1;_ ;S 偶a n(2)如项数为奇数,设共有2 n1项,就 S 奇S偶naa中;S 奇nn1;S 偶1. 一个等差数
9、列共2022 项,求它的奇数项和与偶数项和之比_ 2. 一个等差数列前20 项和为 75,其中奇数项和与偶数项和之比1:2,求公差 d 3. 一个等差数列共有10 项,其偶数项之和是15,奇数项之和是25 ,就它的首项与公差分别是2 七 . 对与一个等差数列,S n,S 2nSn,S3nS2n仍成等差数列;例: 1. 等差数列 an的前 m项和为 30,前 2m项和为 100,就它的前3m项和为()A.130 B.170 C.210 D.260 2. 一个等差数列前n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,就前 3n 项的和为3已知等差数列an的前 10 项和为 100,前 100 项和
10、为 10,就前 110 项和为4. 设S 为等差数列an的前 n 项和,S 414,S 10S 730,就S 9= 5(全国 II )设 Sn是等差数列 an的前 n 项和,如S 31 3,就S 6S 6S 12A3 10B1 3 C1 8D1 9 八 判定或证明一个数列是等差数列的方法:定义法:an1and常数)(nN)an是等差数列中项法:2an1ana n2(nNan是等差数列通项公式法:a nknbk,b为常数an是等差数列前 n 项和公式法:SnAn2BnA ,B 为常数an是等差数列 D.无法判定例: 1. 已知数列an满意ana n12,就数列an为 ()A. 等差数列 B.等比
11、数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 2.已知数列an的通项为an2n5,就数列an为 () D.无法判定A. 等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列3. 已知一个数列an的前 n 项和sn2 n24,就数列an为()无法判定A. 等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.4. 已知一个数列an的前 n 项和sn2n2,就数列an为()3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - A. 等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判定5. 已知一个数列 a n
12、满意 a n 2 2 a n 1 a n 0,就数列 a n 为()A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判定6. 数列 a n 满意 a =8,a 4 2,且 a n 2 2 a n 1 a n 0(n N)求数列 a n 的通项公式;7(天津理, 2)设 Sn是数列 an 的前 n 项和,且 Sn=n 2,就 an 是()A. 等比数列,但不是等差数列 B. 等差数列,但不是等比数列C.等差数列,而且也是等比数列 D. 既非等比数列又非等差数列 九 . 数列最值(1)a 1 0,d 0 时,S 有最大值;a 1 0,d 0 时,S 有最小值;2(2)
13、S 最值的求法:如已知 S ,S 的最值可求二次函数 S n an bn 的最值;可用二次函数最值的求法(n N );或者求出 na 中的正、负分界项,即:a n 0 a n 0如已知 a ,就 S 最值时 n 的值( n N )可如下确定 或;a n 1 0 a n 1 0例: 1等差数列 a n 中,a 1 0,S 9 S 12,就前 项的和最大; 2设等差数列 a n 的前 n 项和为 S ,已知a 3 12,S 12 0,S 13 0求出公差 d 的范畴,指出 S 1,S 2,S 12 中哪一个值最大,并说明理由;3(上海)设 an(nN *)是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且
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