2022年求数列通项公式的十种方法.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 求数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细)总述:一利用递推关系式求数列通项的 11 种方法:累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法) 、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法(目的是去递推关系式中出现的根号)、数学归纳法、不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式)、特征根法 二。四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三 求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列。四求数列通项
2、的基本方法是:累加法和累乘法。五数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法名师归纳总结 1适用于:an1anf n ( )- 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。第 1 页,共 31 页,2若an1anf n (n2)a 2a 1f(1)则a 3a2f(2)LLnf n ( )a n1a nf n ( )两边分别相加得an1a 1k1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1 已知数列 a n满足an1an2 n1,a 11,求数列 an的通项公式。名师归纳总结 解:由an1an2n1得an1an2 n1则第 2 页,共
3、31 页an(ana n1)(a n1a n2)L(a3a 2)(a 2a 1)a 12(n1)12(n2)1L(221)(21 1)12(n1)(n2)L21(n1)12(n1) n(n1)12(n1)(n1)1n2所以数列 a n的通项公式为a n2 n 。例 2 已知数列 a n满足an1an2n 31,a 13,求数列 a n的通项公式。解法一:由a n1an23n1得a n1a n23n1则a n(a nan1)(an1an2)L(a 3a 2)(a2a 1)a 1(23n11)(23n21)L(2321)(21 31)32(3n13n2L2 31 3 )(n1)32n 3(1 31
4、)(n1)3133n3n133nn1所以an3nn1.解法二:an13 a n2n 31两边除以n 31,得an1a n211,3n1n 33n 3则an1an211,故3n13n33na n(a na n1)(a n1a n2)(a n2a n3)L(a 2a 1)a 1n 3n 3a n1a n1n 32n 32n 332 31 33(21)(211)(212)L(21)33n 33n 33n 332 332( n1)(111112L1)13n 3n 3n 3n 32 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 因此a n2(n1)1 (1 3 n n31
5、 31)12 n11,3 n3322 3 n则an2n3n13n1.N*)写出数列a n的通项公式. 322练习1.已知数列a n的首项为1 ,且a n1a n2 ( n n答案:n2n1(n2)练 习2. 已 知数 列an满足a 13,anan1n(11 )n, 求此 数列的 通项 公式 . n 的一次函数、二次函数、指数函; ; 答案:裂项求和an21n评注 :已知a1a,an1anf(n),其中 f(n) 可以是关于数、分式函数,求通项a . 若 f(n) 是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和若 f(n) 是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; 若 f(n) 是关于 n
6、 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和若 f(n) 是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。名师归纳总结 例 3.已知数列an中, an0且Sn1(annS nn),求数列an的通项公式 . 第 3 页,共 31 页2an(S n1解 :由已知S n1(ann)得S n1SnnS n1), 2an2化简有2 S n2 S n1n,由类型 (1)有2 Sn2 S 1231 )n, 又S 1a1得a 11,所以2 Snn(n)1sn2n(n,又a0,22, 则a n2 n(n1 )22n(n1 )此题也可以用数学归纳法来求解. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -
7、 - - 二、累乘法1.适用于:a n1f n an- 这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。名师归纳总结 2若an1f n ( ),则a 2fa 3(1),a 2f(2),L La n,an1f n ( )第 4 页,共 31 页ana 1两边分别相乘得,an1a 1kn1f k ( )a 1例 4 已知数列 a n满足an12(nn 1)5an,a 13,求数列 an的通项公式。解:因为an12(n1)5nan,a 13,所以an0,则an12(n1)5n,故a na na n1a n1La 3a 2a 1a na n2a 2a 12(nn 1 1)512(nn 2 1)52L2
8、(22 1) 5 2(11 1) 5 32n1 ( n n1)L3 2 5(n1) (n2)L2 13n n1)n 3 2152n!所以数列 a n的通项公式为a n32n15n n1)n!.2例 5.设an是首项为1 的正项数列,且n1a21na2an1an0(n=1,2, 3, ),nn则它的通项公式是a =_. 解:已知等式可化为:(an1an)(n1 )an1nan0an1nan0(nN*)(n+1)an1nan0, 即ann1ann1n2时,an1nanan1an1a2a1=nn1n211 1=n. anan2a1n12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -
9、- - - 评注: 本题是关于a 和an1的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到a 与an1的更为明显的关系式,从而求出a . 11 ,转化为练习 .已知an1nann,1a11,求数列 an 的通项公式 . 答案:an(n1 )!(a1)1-1. 评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式an1nannan11n(an1 ),若令bnan1,则问题进一步转化为bnnbn形式, 进而应用累乘法求出数列的通项公式. 三、待定系数法适用于an1qanf n ( )基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。1形如 a n 1 ca n
10、 d (, c 0 ,其中 a1 a )型( 1)若 c=1 时,数列 a 为等差数列 ; ( 2)若 d=0 时,数列 a 为等比数列 ; ( 3)若 c 1且d 0 时,数列 a 为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求 . 待定系数法:设an1c(an), 名师归纳总结 得an1can(c1 ),与题设an1cand,比较系数得第 5 页,共 31 页(c)1d,所以1cd1(,c0 )所以有:a ncd1c (an1cd) 1a ncdd构成以a 1因此数列c1为首项,以c 为公比的等比数列,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以
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