2022年欧拉方程.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载欧拉方程 刚体运动 莱昂哈德 欧拉 用欧拉角 来描述 刚体 在三维欧几里得空间的 取向 ;对于任何一个参考系,一个刚体的取向, 是依照次序, 从这 参考系 ,做三个欧拉角的 旋转 而设定的; 所以,刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来打算;换句话说, 任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合 而成的;静态的定义三个欧拉角: ;蓝色的轴是xyz-轴,红色的轴是XYZ- 坐标轴;绿色的线是交点线N ;对于在三维空间里的一个参考系,任何坐标系的取向,都可以用三个欧拉角来表现;参考系又称为试验室参考系,是静止不动的;而坐标系就
2、固定于刚体,随着刚体的旋转而旋转;参阅右图;设定 xyz- 轴为参考系的参考轴;称 xy- 平面与 XY- 平面的相交为 交点线 ,名师归纳总结 用英文字母()代表;zxz 顺规 的欧拉角可以静态地这样定义: 第 1 页,共 24 页是 x-轴与交点线的夹角,是 z-轴与 Z-轴的夹角,是交点线与X- 轴的夹角;- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载很惋惜地,对于夹角的次序和标记,夹角的两个轴的指定,并没有任何常规;科学家对 此从未达成共识;每当用到欧拉角时,我们必需明确的表示出夹角的次序,指定其参考 轴;实际上,有很多方法可以设定两个坐
3、标系的相对取向;欧拉角方法只是其中的一种;此 外,不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述,或用不同的名字表示同样的欧拉角;因 此,使用欧拉角前,必需先做好明确的定义;编辑 角值范畴值从 0 至 2 弧度 ; 值从 0 至 弧度;对应于每一个取向,设定的一组欧拉角都是特殊唯独的;除了某些例外:两组欧拉角的,一个是0 ,一个是2,而 与 分别相等,就此两组欧拉角都描述同样的取向;两组欧拉角的,一个是0 ,一个是2,而 与 分别相等,就此两组欧拉角都描述同样的取向;编辑 旋转矩阵前面提到,设定刚体取向的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵合成的:单独分开作用,每个矩阵各自代表围着其转动轴的旋转;但是,当它们照
4、次序相乘,最里面的 最右的 矩阵代表围着 z 轴的旋转;最外面的 最左的 矩阵代表围着 Z 轴的旋转;在中间的矩阵代表围着交点线的旋转;经过一番运算 , 的逆矩阵 是:名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载编辑 别种次序在经典力学 里,常常用 zxz 顺规来设定欧拉角; 照着其次个转动轴的轴名,简称为 x 顺规;另外,仍有别种欧拉角组;合法的欧拉角组中,唯独的限制是,任何两个连续的旋转,必需围着不同的转动轴旋转;因此,一共有 12 种顺规;例如, y 顺规,其次个转动轴是 y- 轴,常常用在 量子力学
5、 ,核子物理学 ,粒子物理学 ;另外,仍有一种顺规,xyz 顺规,是用在航空航天工程学;参阅Tait-Bryan angles;欧拉运动定律 (Eulers laws of motion)是 牛顿运动定律 的延长,可以应用于多粒子系统运动或 刚体运动 ,描述多粒子系统运动或刚体的 平移运动 、旋转运动 分别与其感受 的力 、力矩 之间的关系; 在艾萨克 牛顿 发表牛顿运动定律之后超过半个世纪,于 1750 12 年, 莱昂哈德 欧拉 才胜利地表述了这定律;刚体也是一种多粒子系统,但抱负刚体是一种有限尺寸,可以忽视形变的固体;不论是 否感受到作用力,在刚体内部,点与点之间的距离都不会转变;名师归
6、纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载欧拉运动定律也可以加以延长,应用于 可变形体 (deformable body)内任意部分的平移运动与旋转运动;角动量守恒定律维基百科,自由的百科全书跳转到:导航 , 搜寻在一个旋转系统中,力F 与力矩 ;动量 p 与角动量 L 的关系;角动量守恒定律是指系统所受合外力矩 为零时系统的 角动量 保持不变;当 方程式 右边 力矩 为零时,可知 角动量 不随时间变化;角动量守恒定律是 自然界 普遍存在的 基本定律 之一,角动量的守恒实质上对应着空间旋转不变性 ;例如,当考虑
7、到 太阳系 中的 行星 受到 太阳 的万有引力这一 有心力 时,由于 万有引力 对太阳这个参考点力矩为零,所以他们以太阳为参考点的角动量守恒,这也说明了行星绕太阳 公转 单位时间内与太阳连线扫过的面积大小总是恒定值的缘由;另外,角动量守恒定律也是 陀螺效应 的缘由;需要留意的是, 由于成立的条件不同, 角动量是否守恒与动量 是否守恒没有直接的联系;在古典力学中, 转动惯量 又称 惯性矩 ,通常以 I 表示, 国际单位制基本单位 为kg m 2 ;转动惯量用以描述一个物体对于其旋转运动的转变的对抗,是一个物体对于其旋转运动的 惯性 ;转动惯量在 旋转动力学 中的角色相当于线性动力学中的 质量,描
8、述角动量 、角速度 、力矩 和角加速度 等数个量之间的关系;名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载对于一个 质点 ,I = mr 2,其中m 是其 质量 ,r 是质点和转轴的垂直距离;对于一个有多个质点的系统,;如该系统由 刚体 组成,可以用无限个质点的转动惯量和,即用积分 运算其转动惯量;名师归纳总结 假如一个质量为m 的物件, 以某条经过A 点的直线为轴, 其转动惯量为IA;在空间取第 5 页,共 24 页点 B,使得 AB 垂直于原本的轴;那么假如以经过B、平行于原本的轴的直线为轴,AB的距离为
9、d,就 IB = IA + md 2;- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载力矩在直线运动, F = ma;在旋转运动,就有编辑 动能 = I ,其中 是力矩 , 是角加速度 ;一般物件的 动能 是;将速度 v 和质量 m,用转动力学的定义取代:得出,简化得;假如一个人坐在一张可转动的椅子,双手拿重物,张开双手,转动椅子,然后突然将手缩到胸前,转动的速度将突然增加,由于转动惯量削减了; 编辑 惯性张量对于三维空间中任意一参考点 Q 与以此参考点为原点的直角坐标系 Qxyz ,一个刚体的惯性张量是;1 名师归纳总结 - - - - - -
10、-第 6 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 这里,矩阵的对角元素、精品资料欢迎下载、分别为对于 x- 轴、 y- 轴、 z- 轴的 转动惯量 ;设定为微小质量对于点 Q 的相对位置;就这些转动惯量以方程式定义为,2 ;矩阵的非对角元素,称为 惯量积 , 以方程式定义为,3 ;名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载编辑 导引图 A 如图 A ,一个刚体对于质心 G 与以点 G 为原点的 直角座标系 Gxyz 的角动量定义为;这里,代表微小质量 在 Gxyz 座标系的位置,
11、代表微小质量的速度;由于速度是角速度 叉积位置,所以,;运算 x- 轴重量,名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载相像地运算 y- 轴与 z- 轴重量,角动量为,;假如,我们用方程式 1 设定对于质心 G 的惯性张量,让角速度为,那么,;4 编辑 平行轴定理主条目: 平行轴定理平行轴定理能够很简易的,从对于一个以质心为原点的座标系统的惯性张量,转换至另外一个平行的座标系统;假如已知刚体对于质心 G 的惯性张量,而质心 G 的位置是,就刚体对于原点 O 的惯性张量,依照平行轴定理,可以表述为,5 ,名师
12、归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载,6 ;证明:图 B a 参考图 B ,让、分别为微小质量对质心 G 与原点 O 的相对位置:,;依照方程式 2 ,;名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载所以,相像地,可以求得、的方程式;b 依照方程式 3 ,;由于,所以相像地,可以求得对于点 O 的其他惯量积方程式;名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - -
13、- - - 精品资料 欢迎下载编辑 对于任意轴的转动惯量图 C 参视图 C ,设定点 O 为直角座标系的原点,点 Q 为三维空间里任意一点,Q 不等于O ;摸索一个刚体,对于 OQ-轴的转动惯量是;这里,是微小质量离 OQ-轴的垂直距离,是沿着 OQ-轴的 单位向量 ,是微小质量的位置;绽开叉积,;略微加以编排,名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 特殊留意,从方程式精品资料欢迎下载 x- 轴、 y- 轴、 z- 轴的2 、3 ,这些积分项目,分别是刚体对于转动惯量与惯量积;因此,;7 假如已经知道,刚体对于直角座标
14、系的三个座标轴,x- 轴、y- 轴、z- 轴的转动惯量;那么,对于 OQ-轴的转动惯量,可以用此方程式求得;编辑 主转动惯量由于惯性张量 是个 实值 的三维 对称矩阵 ,我们可以用对角线化,将惯量积变为零,使惯性张量成为一个 对角矩阵 1 ;所得到的三个 特点值 必是正实值;三个 特点向量 必定互相正交 ;换另外一种方法,我们需要解析特点方程式; 8 也就是以下 行列式 等于零的的 三次方程式 :;这方程式的三个根、都是正实的特点值;将特点值代入方程式 8 ,再加上方向余弦 方程式,我们可以求到特点向量、;这些特点向量都是刚体的 惯量主轴 ;而这些特点值就分别是刚体对于惯量主轴的 主转动惯量
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