数列求和方法小结.doc
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1、数列求和方法小结 浑源五中 李向虹数列求和是数列的重要内容之一,对等差数列和等比数列的求和可直接应用求和公式进行计算推导,而既非等差数列又非等比数列的也就不能直接用公式来求解,对于这种非常规数列的求和问题,针对具体情况,现归结为以下几种方法,供大家参考。一、倒序相加法此法来源于等差数列求和公式的推导方法。 如果一个数列an,与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。例1. 已知求解:。 把等式的右边顺序倒过来写,即可以写成以下式子: 把两式相加得 二、错位相减法此法来源于等比数列求和公式的推导方法。错位相减法
2、是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列anbn中,an成等差数列,bn成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。例2. 求数列的前n项和。解:设当时,当时, 式两边同时乘以公比a,得 两式相减得 三、拆项分组求和法把一个数列分拆成若干个简单数列(等差数列、等比数列),然后利用相应公式分别求和。例3. 求数列的前n项和。解:设数列的前n项和为,则 当时,当时,说明:在运用等比数列的前n项和公式时,应对q1与的情况进行讨论。 四、裂项相消法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然
3、后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.用裂项相消法求和,需要掌握一些常见的裂项技巧。如: (1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (2)1/(2n-1)(2n+1)=1/21/(2n-1)-1/(2n+1)(3)1/n(n+1)(n+2)=1/21/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)(4)1/(a+b)=1/(a-b)(a-b)(5) nn!=(n+1)!-n例4. 求数列的前n项和。解: 五、奇偶数讨论法如果一个数列为正负交错型数列,那么从奇数项和偶数项分别总结出与n的关系进行求解。例5. 已知数列求该数列的前n项和。解:对n分奇数、偶数讨论求和。当时, 当时, 六、通项公式法利用,问题便转化成了求数列的通项问题。这种方法不仅思路清晰,而且运算简洁。例6. 已知数列求该数列的前n项和。解: 即数列是一个常数列,首项为说明:对于以上的各种方法,大家应注意体会其中所蕴含的分类讨论及化归的数学思想方法。当然,数列求和的方法还有很多,大家平时还应多注意总结。
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