竞赛讲座-类比、归纳、猜想.docx
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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -竞赛专题讲座类比、归纳、猜想数学解题与数学发觉一样,通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上,获得对有关问题的结论或解决方法的猜想,然后再设法证明或否定猜想,进而达到解决问题的目的类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法所谓类比,就是由两个对象的某些相同或相像的性质,推断它们在其他性质上也有可能相同或相像的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理,因此,要确认其猜想的正确性,仍须经过严格的规律论证运用类比法解决问题,其基本过程可用框图表示如下:可见,运用类比法的关键是查找一个合适的类比对象按
2、查找类比对象的角度不同,类比法常分为以下三个类型( 1)降维类比将三维空间的对象降到二维(或一维)空间中的对象,此种类比方法即为降维类比【例 1】如图,过四周体 V-ABC的底面上任一点 O分别作 OA1 VA,OB1 VB,OC1 VC,A1, B1, C1 分别是所作直线与侧面交点求证:+为定值分析 考虑平面上的类似命题:“过 ABC(底)边 AB 上任一点 O分别作 OA1AC,OB1BC,分别交 BC、AC于 A1、B1,求证+为定值”这一命题利用相像 三角形性质很简洁推出其为定值1另外,过 A、O分别作 BC垂线,过 B、O分别作AC垂线,就用面积法也不难证明定值为 1于是类比到空间
3、围形,也可用两种方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -证明其定值为 1证明:如图,设平面OA1 VABC M,平面 OB1 VBAC N,平面 OC1 VCAB=L,就有MOA1 MAV,NOB1 NBV, LOC1 LCV得+=+。在底面 ABC中,由于 AM、BN、CL交于一点 O,用面积法易证得:+=1。+=1。【例 2】以棱长为 1
4、的正四周体的各棱为直径作球,S 是所作六个球的交集证明S中没有一对点的距离大于【分析】考虑平面上的类比命题: “边长为 1 的正三角形, 以各边为直径作圆, S是所作三个圆的交集”,通过探究 S的类似性质, 以寻求此题的论证思路如图, 易知 S包含于以正三角形重心为圆心,以为半径的圆内因此S内任意两点的距离不大于以此方法即可获得解此题的思路证明:如图,正四周体ABCD中, M、 N 分别为 BC、AD的中点, G为 BCD的中心,MNAG O明显 O是正四周体 ABCD的中心易知 OG=AG=,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - -
5、- -第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -并且可以推得以O为球心、 OG为半径的球内任意两点间的距离不大于,其球 O必包含 S现证明如下依据对称性,不妨考察空间区域四周体OMCG设 P 为四周体 OMCG内任一点,且P不在球 O内,现证 P 亦不在 S 内如球 O交 OC于 T 点。TON中,ON=,OT=,cosTON=cos - TOM=-。由余弦定理:222TN=ON+OT+2ONOT=, TN=。又在 RtAGD中, N 是 AD的中点,
6、GN=。由 GN= NT, OG OT, ON=ON,得 GON TON。 TON GON,且均为钝角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是明显在 GOC内,不属于球O的任何点 P,均有 PON P 点在 N 为球心, AD为直径的球外, P 点不属于区域 STON,即有 PNTN= ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此可见,球O包含六个球的交集S,即 S 中不存在两点,使其距离大于( 2)结构类比某些待解决的问题没有现成的类比物,但可通过观看,凭借结构上的相像性等查找类比问题,然后可通过适当的代换,将原问题转化为类比问题来解决【例 3】任给 7 个实数 xk
7、(k=1,2,, , 7)证明其中有两个数xi , xj ,满意不等式 0【分析】如任给7 个实数中有某两个相等,结论明显成立如7 个实数互不相等,就难以下手但认真观看可发觉:与两角差的正切公式在结构上极为相像,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -故可选后者为类比物,并通过适当的代换将其转化为类比问题作代换:xk=tg k( kl ,2,, ,
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