26二次函数的图像和性质.doc
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1、2.6 二次函数yax2bxc的图像和性质问题1 函数yax2与yx2的图象之间存在怎样的关系?为了研究这一问题,我们可以先画出y2x2,yx2,y2x2的图象,通过这些函数图象与函数yx2的图象之间的关系,推导出函数yax2与yx2的图象之间所存在的关系先画出函数yx2,y2x2的图象先列表:x-3-2-10123x294101492x2188202818yx2y2x2图2.2-1xOy从表中不难看出,要得到2x2的值,只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了再描点、连线,就分别得到了函数yx2,y2x2的图象(如图21所示),从图21我们可以得到这两个函数图象之间的关系:函数y2x2的图象可以
2、由函数yx2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数yx2,y2x2的图象,并研究这两个函数图象与函数yx2的图象之间的关系通过上面的研究,我们可以得到以下结论:图2.2-2xyO1y2x2y2(x1)2y2(x1)21二次函数yax2(a0)的图象可以由yx2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到在二次函数yax2(a0)中,二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小问题2 函数ya(xh)2k与yax2的图象之间存在怎样的关系?同样地,我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们可以作出函数y2(x1)21与y2x2
3、的图象(如图22所示),从函数的同学我们不难发现,只要把函数y2x2的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位,就可以得到函数y2(x1)21的图象这两个函数图象之间具有“形状相同,位置不同”的特点类似地,还可以通过画函数y3x2,y3(x1)21的图象,研究它们图象之间的相互关系通过上面的研究,我们可以得到以下结论:二次函数ya(xh)2k(a0)中,a决定了二次函数图象的开口大小及方向;h决定了二次函数图象的左右平移,而且“h正左移,h负右移”;k决定了二次函数图象的上下平移,而且“k正上移,k负下移”由上面的结论,我们可以得到研究二次函数yax2bxc(a0)的图象的方法:由于yax2b
4、xca(x2)ca(x2)c ,所以,yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数yax2的图象作左右平移、上下平移得到的,于是,二次函数yax2bxc(a0)具有下列性质:(1)当a0时,函数yax2bxc图象开口向上;顶点坐标为,对称轴为直线x;当x时,y随着x的增大而减小;当x时,y随着x的增大而增大;当x时,函数取最小值y(2)当a0时,函数yax2bxc图象开口向下;顶点坐标为,对称轴为直线x;当x时,y随着x的增大而增大;当x时,y随着x的增大而减小;当x时,函数取最大值y xyOxA图2.2-3xyOxA图2.2-4xOyx1A(1,4)D(0,1)BC图2.25上述二次函数的性
5、质可以分别通过图223和图224直观地表示出来因此,在今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题例1 求二次函数y3x26x1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值),并指出当x取何值时,y随x的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象解:y3x26x13(x1)24,函数图象的开口向下;对称轴是直线x1;顶点坐标为(1,4);当x1时,函数y取最大值y4;当x1时,y随着x的增大而增大;当x1时,y随着x的增大而减小;采用描点法画图,选顶点A(1,4),与x轴交于点B和C,与y轴的交点为D(0,1),过这五点画出图象(如图25所示)说明:从这个例
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- 26 二次 函数 图像 性质
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