2022年对抽象函数周期性的认识 .pdf
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1、对抽象函数周期性的认识麻城实验高中阮晓锋对于函数)( xfy,如果存在一个不为零的常数T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有)()(xfTxf都成立, 那么就把函数)( xfy叫做周期函数, 不为零的常数T叫做这个函数的周期。可见周期函数是一类特殊的函数,下面就谈谈我对抽象函数周期性的认识。几种特殊的抽象函数的周期:设函数 yfx 对定义域内任一实数x 满足:(1)()(x)fxTf(T0) ,则 T 是函数 yfx的一个周期, 且 kT(k?Z)也是其周期推论:若( +)=(+)fxafxb,则 T=b-a 是函数 yfx的一个周期。(2) fxafx,则xf是以2Ta为周期的周期函数
2、;推论:若函数)( xfy定义域为 R , 且满足条件)()(bxfxaf, 则)( xfy是以)(2baT为周期的周期函数。 (3 )1fxafx,则xf是以2Ta为周期的周期函数;(4) fxafxa ,则xf是以2Ta为周期的周期函数;(5)1( )()1( )fxfxafx,则xf是以2Ta为周期的周期函数. (6)( )+1( +)=( )-1f xf x af x,则xf是以2Ta为周期的周期函数. (7)1( )()1( )fxfxafx,则xf是以4Ta为周期的周期函数. (8)1( )()1( )fxfxafx,则xf是以4Ta为周期的周期函数. (9)若函数f(x)有一条对
3、称轴x=a 和一个对称点 (b,c),那么该函数一定为周期函数,且其中一个周期为T4|ab|推论:若奇函数()yfx满足()()faxfax(0a) ,则其周期为4Ta 。(10)若函数f(x)有两条对称轴x=a 和 x=b(ab) ,那么该函数一定为周期函数,且其中一个周期为T2|a b|推论:若偶函数()fx满足)()(xafxaf,则其周期为2Ta . (11)若函数 f(x)有两个对称点 (a,c),(b,c),那么该函数一定为周期函数,且其中一个周期为T2|a b|(12)若.2,)2()(,0pTppxfpxfp则认识:名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -
4、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - 1. 判断一个函数是否是周期函数要抓住两点:是对定义域中任意的x 恒有()()fxTfx; 是能找到适合这一等式的非零常数T,一般来说,周期函数的定义域均为无限集 . 2. 解决周期函数问题时,要注意灵活运用以上结论,同时要重视数形结合思想方法的运用,还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。3.要注意函数变化后的对称性周期性条件要永远把握住 “ 同号看周期,异号看对称” 这一句话,结合前面的结论,便可以解决这一类问题。只要题目当中给出F
5、f(x+a),f(x+b) =0,那基本上都是间接告诉你该函数的周期;若给出 F f(x+a),f(-x+b) =0,那基本上也是间接告诉对称性的。这就需要我们对给出的条件进行化简,使之变成与周期性和对称性有关的式子。一般的方法是在f(x+a)与 f(x+b)中的 x 同时加上 a-b,多化简几步,自然就能化简出来。如:函数f(x)对任意 x 满足 f(x+2)=1( )f x。这条件是同号的,铁定跟周期性有关,这就需要我们对其进行化简,同时在括号里加上2 得到:f(x+4)=1( +2)f x=f(x),说明该函数是以 4 为周期。又如: f(x+2)(1-f(x)=1+f(x)。这条件也是
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