2022年随机信号分析课后习题答案 .pdf
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1、1 第一次作业:练习一之1、2、3 题1.1 离散随机变量 X 由 0,1,2,3 四个样本组成,相当于四元通信中的四个电平,四个样本的取值概率顺序为1/2,1/4,1/8,和 1/8。求随机变量的数学期望和方差。解:875.087813812411210)(41iiixXPxXE81)873(81)872(41)871(21)870()(2224122iiiPXExXD109.164711.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为21201)(2sin0.500)(xxxxxF求(1)系数 A; (2)X 取值在( 0.5,1)内的概率)15.0(xP。解:其他0201)(2cos2)()(x
2、xAdxxdFxf由1)(dxxf得2A021)(2Asin1)d(2cos2xxxA21A35.042)15.0(2sin21)11 (2sin21)5 .0(F)1 (F) 15.0(xP1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数,如果是概率分布函数,求其概率密度。(1)000e1)(2xxxFx(2)111000)(2xxxxxF(3)0)()()(aaxuxuaxxF(4)0)()()(aaxuaxaxuaxxF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1
3、页,共 14 页 - - - - - - - - - 2 解: (1)000e1)(2xxxFx当0 x时,对于12xx,有)()(12xFxF,)(xF是单调非减函数;1)(0 xF成立;)()(xFxF也成立。所以,)(xF是连续随机变量的概率分布函数。求得,00021)()(2xxedxxdFxfx(2)111000)(2xxxxxF在 A0 时,对于12xx,有)()(12xFxF,)(xF是单调非减函数;欲使1)(0 xF和)()(xFxF成立,必须使 A=1。所以,在 A=1 时,)(xF是连续随机变量的概率分布函数。同理,00012)()(xxAxdxxdFxf欲满足1)(dxx
4、f,也必须使 A=1。所以,00012)(xxxxf(3)0)()()(aaxuxuaxxF上式可改写为000)()()(aaxaxuxuaxxF其他对于12xax,)()(12xFxF不成立。所以,)(xF不是连续随机变量的概率分布函数。(4)0)()()(aaxuaxaxuaxxF0)()()(aaxuaxuxuax名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 14 页 - - - - - - - - - 3 0120100axaxaaxxax当xa时,不满足1)(
5、0 xF,所以)(xF不是连续随机变量的概率分布函数。第二次作业:练习一之4、5、6、7 题1.4 随机变量 X 在 , 上均匀分布,求它的数学期望和方差。解:因 X 在 , 上均匀分布其他下01)(xf2dd)(E-xxxxxfX)2(31dd)(E222-22xxxxfxX222-2)(121)XE(XEd)()XE(DxxfxX1.5 设随机变量 X 的概率密度为其他0101)(xxfX,求 Y=5X+1 的概率密度函数。解:反函数 X = h(y) = (Y-1)/5h(y) = 1/5 1 y6fY (y) = fX (h(y)h(y)= 1 1/5 = 1/5于是有其他0615/1
6、)(yyfY1.6 设随机变量b, a,21在nXXX上均匀分布,且互相独立。若n1iiXY,求(1)n=2 时,随机变量 Y 的概率密度。(2)n=3 时,随机变量 Y 的概率密度。解:nibxaabxfii, 2, 101)(其它名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 14 页 - - - - - - - - - 4 n=2时,)()()(21yfyfyfXXY111)()()(21dxxyfxfyfXXYbadxabab111ab1同理, n=3时,)(yf
7、Yab11.7 设随机变量 X 的数学期望和方差分别为m 和, 求随机变量23XY的数学期望、方差及 X 和 Y 的相关矩。解:数学期望:23mYE方差:90)3(2YD23)23(2XXEXXEXYERXY222)(mXEXDXE相关矩:mmRXY2332第三次作业:练习一之9、10、11 题1.9 随机变量 X 和 Y 分别在0,a和0,2上均匀分布,且互相独立。对于ab,证明:abYbxP2)cos(证:rv. X 和 Y分别在 0,a和0,2上均匀分布有其它001)(axaXf和其它0202)(yYf20cos0coscosyybxabybYbxYbxcos)20 ,cos0()cos
8、(yybxpybxp2/0cos0),(ybdxdyyxfdy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 14 页 - - - - - - - - - 5 2/0cos0)()(ybdxdyyfxfdy因为 rv. X 和 Y 相互独立2/0cos021ybdxdyady2/0cos2ydyabab2命题得证1.10 已知二维随机变量 (21, XX) 的联合概率密度为),(2121xxfXX, 随机变量(21, XX)与随机变量(21,YY)的关系由下式唯一确定21
9、11221111YdYcXYbYaX212211dXcXYbXaXY证明: (21,YY)的联合概率密度为),(1),(21112111212121ydycybyafbcadyyfXXYY证:做由),(2121yyfYY到),(2121xxfXX的二维变换),(2121xxfXX= J),(2121yyfYY),(2121yyfYY=J1),(2121xxfXXbcaddcbaxyxyxyxyJ22122111),(1),(21112111212121ydycybyafbcadyyfXXYY1.11 随机变量 X,Y 的联合概率密度为2,0)sin(),(yxyxAyxfXY求: (1)系数
10、A; (2)X,Y 的数学期望;(3)X,Y 的方差; (4)X,Y 的相关矩及相关系数。解:名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 14 页 - - - - - - - - - 6 (1)202020202020sincoscossin)sin(),(ydyxdxAydyxdxAdxdyyxAdxdyyxfXY12A21A(2)ydyxydyxdyyxdyyxfxfXYXsincos21cossin21)sin(21),()(202020)cos(sin21xx
11、同理)cos(sin21)(yyxfY2020202020sin21cos21cos21sin21)cos(sin21yydyydydyyydyydyyyymmYX2020sin2102sin21cos2102cos21ydyyyydyyy4(3)202022)4cos()4(22)cos(sin21)4(ydydyyyyYDXDdyyyyy202)4cos()4(22202)4cos()4(22202)4sin()4(216ydyydyyy202)4sin(202)4sin()4(21622162(4)相关矩2020202012)sin(21),(dxdyyxxydxdyyxxyfXYERX
12、YXY协方差11622YEXERCXYXY相关系数32816822YXXYXYCr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 14 页 - - - - - - - - - 7 第四次作业:练习一之12、13、14、15 题1.12 求随机变量 X 的特征函数,已知随机变量X 的概率密度02)(xexfxX解:dxexfxjXX)()(dxeetuxjx)(2利用傅氏变换:jetut1)(jX2)(1.13 已知随机变量 X 服从柯西分布221)(xxfX,求他的特征函
13、数。解:dxexfxjXX)()(dxexxj22221利用傅氏变换:ex222eX)(1.14 求概率密度为xXexf21)(的随机变量 X 的特征函数。解:dxexfxjXX)()(dxeexjx21利用傅氏变换:xe222211)(X1.15 已知相互独立的随机变量X1,X2,X3,Xn的特征函数,求 X1,X2,X3,Xn线性组合niiicXaY1的特征函数。 ai和 c 是常数。解:互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积。)(exp)(11niXajcjniiiYiieEecXajE第五次作业:练习二之1、2、3、4、5 题2.1 随机过程tBtAtXsincos)
14、(,其中为常数,A、B 是两个相互独立的高斯变量,并且0BEAE,222BEAE。求 X(t)的数学期望和自相关函数。解:sincossincos)(tBEtAEtBtAEtXEtBEtAEsincos0(0BEAE)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 14 页 - - - - - - - - - 8 )sincos)(sincos()()(),(22112121tBtAtBtAEtXtXEttRXsinsincossinsincoscoscos2122121
15、212ttBttABttABttAE2122121212sinsincossinsincoscoscosttBEttBEAEttBEAEttAE212212sinsincoscosttBEttAE(22)(XEXDXE))(cos122tt)(cos2(12tt)2.2 若随机过程 X(t)在均方意义下连续,证明它的数学期望也必然连续。证: 由均方连续的定义0)()(lim20tXttXEt,展开左式为:)()()()()()(lim220tXtXttXtXttXttXEt=0)()()()()()(lim0tXttXtXEtXttXttXEt固有0)()(lim0tXEttXEt,证得数学期
16、望连续。2.3 证明随机过程存在均方导数的充分条件是:自相关函数在他的自变量相等时存在二阶偏导数2121212),(ttttttR。证:12121101212110121)()()()(lim),(),(lim),(11ttXtXEtXttXEtttRtttRtttRtXt1111201212110)()()(lim)()()()(lim11ttXttXtXEttXtXtXttXEtt211112111220,021212)()()()()()(lim),(21tttXttXtXEtXttXttXEttttRtt)()()()(lim211112220, 021tttXttXtXttXEtt在
17、21tt时存在,也就是)()(lim20ttXttXEt存在。2.4 判断随机过程)cos()(tAtX是否平稳?其中为常数, A、分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量,且相互独立。2021)(f;0)(2222aeaafaA解:021)cos()cos(20dttE0)cos()cos()(tEAEtAEtXEcos)22cos(21)(cos)cos(),(22tEAEttAEttRX名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 14 页 - - - - - - -
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