2022年高三数学一轮复习直线与圆锥曲线.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第九节 直线与圆锥曲线备考方向要明白 考 什 么 怎 么 考1.把握解决直线与椭圆、抛物线的 位置关系的思想方法2.明白圆锥曲线的简洁应用3.懂得数形结合的思想 . 直线与圆锥曲线的位置关系,是历年高考考查的重点,常以解答题形式考查, 以直线与圆锥曲线的方程为基础,结合有关概念及运算,将位置关系转化为相应的方程或 方程组的解的争论如 2022 年广东 T20 等 . 归纳 学问整合 1直线与圆锥曲线的位置关系判定直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,通常将直线 l 的方程 AxByC 0A,B 不同时为 0代入圆锥曲线 C 的方程 Fx,y0
2、,消去 y也可以消去 x得到一个关于变量 x或变量 y的一元方程即Ax ByC0,消去 y,得 ax2bxc 0. ,就 0. 直线与圆锥曲F x,y 0,1当 a 0 时,设一元二次方程ax2bxc0 的判别式为线 C 相交;0. 直线与圆锥曲线 C 相切;0,2D 16k 2 4 1k2 x 1 x24k20,1kx 1x210 20,1k解得15 3 k0.3km . 21m 23k21.xPxMxN3mk,从而 yPkxPm3k 2 12kAPyP1m3k21. xP3mk又|AM |AN|,APMN,就m3k 3mk 2 11 k,即 2m3k 21.M, N,且 |MN|2,把代入
3、,得m22m,解得 0m0,解得 m1 2. 3综上, m 的取值范畴是1 2m2. 保持本例题条件不变,如直线ykx 1 与椭圆相交于不同的两点求直线的斜率k. 解: 由1可知,椭圆方程为2 x 3 y 2 1. ykx1,由2 x 3y21,得3k 21x 26kx0. 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设 Mx1,y1,Nx2,y2,6k就 x1x2, x1x20. 3k 21就|MN |1k 2|x1x2| 1k 2 x1x2 24x1x21k 2|x1x2|1k 26|k| 2,3k 2136k 21k
4、243k 21 249k 46k 21,即 12k 24. 3k3 .与弦长有关问题的解法1求圆锥曲线的弦长问题的一般思路是:将直线方程代入圆锥曲线方程,消去 y或 x后,得到关于 x或 y的一元二次方程 ax 2bxc0或 ay 2byc0,再由弦长公式 |AB|1k 2|x1x2|1k 12|y1y2|,求其弦长在求 |x1x2|时,可直接利用公式 |x1x2|b 24ac求得|a|2涉及弦的中点及直线的斜率问题,可考虑用“ 点差法” ,构造出 kABy1y2 x1x2 和 x1x2,y1y2,运用整体代入的方法,求中点或斜率,表达“ 设而不求” 的思想22椭圆 ax2 by 21 与直线
5、 xy10 相交于 A,B 两点, C 是 AB 的中点,如AB2,OC 的斜率为2 2,求椭圆的方程解: 设 Ax1,y1,Bx2,y2,代入椭圆方程并作差得ax1 x2x1x2by1y2y1y20. 名师归纳总结 而y1y2 1,y1y2kOC2 2,第 6 页,共 21 页x1x2x1x2代入上式可得b2a. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 再由 |AB|1k 2|x2x 1|2|x2x1|22,其中 x1,x2 是方程 abx 22bx b10 的两根,故ab 2b2 4b1ab4,将 b2a 代入得 a1 3,b3 . 22 2x 2y故所
6、求椭圆的方程是 331. 圆锥曲线中最值 或取值范畴 问题2例 3 已知椭圆 x2y 21 的左焦点为 F,O 为坐标原点1求过点 O, F,并且与直线l:x 2 相切的圆 M 的方程;2设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点,线段AB 的垂直平分线与x轴交于点 G,求点 G 横坐标的取值范畴自主解答 1a22,b 21,c1,F1,0,24k 2x2k 2圆过点 O,F,圆心 M 在直线 x1 2上设 M 1 2,t ,就圆半径r1 2 23 2,由|OM |r,得1 22t23 2,解得 t 2,所求圆的方程为x1 22y229 4. 2设直线 AB 的方程为 ykx1k
7、0,代入2 x 2y 21,整理得 12k 2x20. 直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴,方程有两个不等实根如图,设 Ax1, y1,Bx2,y2, AB 中点 Nx0,y0,就 x1x2名师归纳总结 4k2,x01 2x1x22 2k,y0kx012k 212kk,21第 7 页,共 21 页2k21AB 的垂直平分线NG 的方程为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yy01 kxx0令 y0,得 xGx0ky02k22 k2k 212k2 k211 24k1,222k21k 0,1 2xG0 ,其焦点 F 到准线的距离为1 2. 1试求抛
8、物线C 的方程;2设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为tt0,过 P 的直线交 C 于另一点 Q,交 x 轴于 M,名师归纳总结 过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N,如 MN 是 C 的切线,求t 的最小值第 8 页,共 21 页解: 1焦点F 到准线的距离为2,p 1 2. 故抛物线 C 的方程为 x2y. 2设 Pt,t2,Qx,x2,Nx0, x 20,就直线 MN 的方程为 yx 2 02x0xx0 令 y0,得 M x0 2,0 ,kPM2 tx0t22 2t,2t x0kNQx2 0x2x0x. x0 xNQQP ,且两直线斜率存在,kPMkNQ 1,即2 2tx0 x
9、 1,2tx0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 整理得 x02t 2x2t2.1 2t又 Qx,x 2在直线 PM 上,就 MQ与 MP 共线,得 x02xtxt.由得2t 2x2t2 2xt12t xtt0,tx 213x x 3 1 3x . t2 3或 t2 3舍去 所求t 的最小值为2 3. 2 种思想 函数与方程思想和数形结合思想在解决直线与圆锥曲线问题中的应用直线与圆锥曲线位置关系的判定、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查,始终是高考考查的重点,特殊是焦点弦和中点弦等问题,涉及中点公式、 根与系数的关系以及
10、设而不求、整体代入的技巧和方法,也是考查数学思想方法的热点题型3 类问题 圆锥曲线中的三类问题1直线与圆锥曲线的位置关系判定将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组,然后判定方程组是否有解,有几个解, 这是直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法中最常用的方法,留意:在没有给出直线方程时,要对是否有斜率不存在的直线的情形进行争论,防止漏解2证明定点和定值问题的方法定点和定值问题的证明方法有两种:一是争论一般情形,通过规律推理与运算得到定点或定值,这种方法难度大,运算量大,且思路不好查找;另外一种方法就是先利用特殊情形确定定点或定值,然后验证,这样在整理式子或求值时就有了明确的方向3圆锥曲线中常见的最值
11、问题及解法圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类:涉及距离、 面积的最值以及与之相关的一些问题;求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题名师归纳总结 求最值常见的解法有几何法和代数法. 第 9 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答题模板 圆锥曲线中的探干脆问题2 2x y典例 2022 福建高考 满分 13 分如图,椭圆 E:a 2b 21ab0的左焦点为 F 1,右焦点为 F 2,离心率 e1 2.过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且ABF 2的周长为 8. 1求椭圆 E 的方程;2设动直线 l:
12、ykxm 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x4 相交于点 Q.摸索究: 在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?如存在, 求出点M 的坐标;如不存在,说明理由快速规范审题 第1问:1审条件,挖解题信息观看条件: 椭圆方程及左、右焦点F 1,F 2,离心率 e1 2, ABF 2 的周长为8椭圆定义及离心率公式 ABF2 的周长为 4a,ec a. 2审结论,明确解题方向观看所求结论:求椭圆的方程 需建立关于a,b,c 的方程组求解3.建联系,找解题突破口由条件可得4a8,c a1 2a 2b 2c 2可得 a2, b 23 代入椭圆方程得 E 的方2
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